Start › Klasy › Fizyka — Klasa 2 LO › Drgania harmoniczne

Drgania harmoniczne

Fizyka — Klasa 2 LO — teoria, wzory, quizy i zadania do tego tematu.

📘Teoria 2

Ruch harmoniczny prosty

Definicja: Ruch harmoniczny prosty (RHP) to ruch, w którym siła przywracająca jest proporcjonalna do wychylenia i skierowana ku pozycji równowagi: $$F = -kx \quad \text{(prawo Hooke'a)}$$ Równanie ruchu: $x(t) = A\cos(\omega t + \varphi_0)$
Gdzie: $A$ — amplituda, $\omega = 2\pi f = \dfrac{2\pi}{T}$ — częstość kołowa, $\varphi_0$ — faza początkowa.
Okres: $T = 2\pi\sqrt{\dfrac{m}{k}}$ (wahadło sprężynowe); $T = 2\pi\sqrt{\dfrac{l}{g}}$ (wahadło matematyczne)

Prosto mówiąc: Ciężarek na sprężynie kiwający w górę i dół. Raz w górę, raz w dół — symetrycznie, regularnie, bez tłumienia. Matem. opisuje go cosinus lub sinus czasu.

Energie w RHP:

Energia potencjalna: $E_p = \dfrac{1}{2}kx^2$
Energia kinetyczna: $E_k = \dfrac{1}{2}mv^2 = \dfrac{1}{2}k(A^2-x^2)$
Energia całkowita: $E = \dfrac{1}{2}kA^2$ (stała — zasada zachowania energii)
Prędkość max. w $x=0$: $v_{max} = A\omega$

Przykład: Wahadło matematyczne długości 1 m. Jaki okres na Ziemi ($g = 9{,}81$ m/s²)? $$T = 2\pi\sqrt{\frac{l}{g}} = 2\pi\sqrt{\frac{1}{9{,}81}} \approx 2\pi \cdot 0{,}319 \approx 2{,}006\ \text{s}$$

⚡ Zapamiętaj: Okres wahadła matematycznego zależy od długości i $g$ — NIE zależy od masy wahadła ani amplitudy (dla małych wychyleń). Dlatego wahadła zegarowe zachowują stały rytm.

Drgania harmoniczne (klasa 2 LO)

Definicja

Drgania, w których siła jest wprost proporcjonalna do wychylenia i skierowana do równowagi.

Wychylenie

$x=A\sin(\omega t+\varphi)$.

Wielkości

Amplituda $A$, częstość kołowa $\omega$, faza początkowa $\varphi$.

∑Wzory 1

Ruch harmoniczny (klasa 2 LO)

$$x=A\sin(\omega t+\varphi)$$

Co opisuje: wychylenie w ruchu harmonicznym.

🧩Quizy 1

▶Drgania harmoniczne — quiz8 pyt. średni

✍Zadania dodatkowe 11

Zadania ćwiczeniowe ze zbiorów Matematix — z rozwiązaniami krok po kroku.

Zadanie nr 1

Ciało wykonuje $50$ drgań w ciągu $25\ \text{s}$. Oblicz okres i częstotliwość drgań.

Zadanie nr 2

Częstotliwość drgań wynosi $4\ \text{Hz}$. Ile wynosi okres drgań?

Zadanie nr 3

Wahadło wykonuje pełne drganie w ciągu $2\ \text{s}$. Ile drgań wykona w ciągu jednej minuty?

Zadanie nr FZ11.1

Ciężarek o masie $0{,}4$ kg drga na sprężynie o współczynniku sprężystości $k=100\,\tfrac{\text{N}}{\text{m}}$. Oblicz okres drgań.

Zadanie nr FZ11.3

Amplitudę drgań ciężarka na sprężynie zwiększono dwukrotnie. Wtedy:

A okres wzrośnie $2$ razy

B okres wzrośnie $4$ razy

C energia wzrośnie $2$ razy

D energia wzrośnie $4$ razy

Zadanie nr FZ11.4

Ciężarek drga na sprężynie w pionie. Oceń prawdziwość stwierdzeń.

W skrajnym położeniu prędkość ciężarka jest największa.
W położeniu równowagi siła wypadkowa działająca na ciężarek jest równa zero.
W skrajnym położeniu wartość przyśpieszenia ciężarka jest największa.

Oceń prawdziwość każdego stwierdzenia (P — prawda, F — fałsz) i wybierz odpowiedni układ.

P/P/P 1. P, 2. P, 3. P

P/P/F 1. P, 2. P, 3. F

P/F/P 1. P, 2. F, 3. P

P/F/F 1. P, 2. F, 3. F

F/P/P 1. F, 2. P, 3. P

F/P/F 1. F, 2. P, 3. F

F/F/P 1. F, 2. F, 3. P

F/F/F 1. F, 2. F, 3. F

Zadanie nr FZ11.5

Ciało o masie $0{,}2$ kg drga harmonicznie z amplitudą $5$ cm i okresem $0{,}5$ s. Oblicz maksymalną prędkość ciała.

Zadanie nr FZ11.6

Sprężyna o współczynniku $k=200\,\tfrac{\text{N}}{\text{m}}$ jest rozciągnięta o $6$ cm i puszczona z ciężarkiem o masie $0{,}5$ kg (na gładkim poziomym stole). Oblicz maksymalną prędkość ciężarka.

Zadanie nr FZ11.7

Ciężarek zawieszony na sprężynie wydłuża ją w spoczynku o $\Delta l=8$ cm. Oblicz okres drgań tego ciężarka ($g=10\,\tfrac{\text{m}}{\text{s}^2}$).

Zadanie nr FZ11.8

Ciężarek o masie $0{,}25$ kg drga na sprężynie o $k=40\,\tfrac{\text{N}}{\text{m}}$ z amplitudą $6$ cm ($g=10\,\tfrac{\text{m}}{\text{s}^2}$). Oblicz wartość siły sprężystości w najwyższym i najniższym położeniu ciężarka.

Zadanie nr FZ11.10

Wykaż, że dla ciężarka drgającego na sprężynie stosunek maksymalnej wartości siły sprężystości do minimalnej (w drganiach pionowych o amplitudzie $A$) jest równy $\dfrac{\Delta l+A}{\Delta l-A}$, i oblicz ten stosunek dla $\Delta l=10$ cm i $A=4$ cm.

📄Zadania z arkuszy 2

Prawdziwe zadania z arkuszy egzaminacyjnych (matura, egzamin ósmoklasisty, próbne) dotyczące tego tematu.

Zadanie nr 3.1 · Matura 2024

Zadanie 3.1. Oceń prawdziwość (P/F):
1. W chwili t = 0,2 s siły działające na ciężarek się równoważą.
2. Energia kinetyczna w t = 0,1 s jest równa energii kinetycznej w t = 0,3 s.
3. Wartość przyśpieszenia w t = 0,4 s jest większa od wartości przyśpieszenia w t = 0,5 s.