Wzory: Praca, moc i energia

Co liczy: pracę siły działającej wzdłuż drogi.

Jednostka: dżul, $1\,\mathrm{J}=1\,\mathrm{N}\cdot\mathrm{m}$.

Co liczy: moc jako pracę w jednostce czasu.

Jednostka: wat, $1\,\mathrm{W}=\frac{1\,\mathrm{J}}{\mathrm{s}}$.

Co liczy: energię ciała podniesionego na wysokość $h$.

Rośnie z masą i wysokością.

Co liczy: energię ciała w ruchu.

Uwaga: zależy od kwadratu prędkości.

Co liczy: równowagę dźwigni dwustronnej.

Oznaczenia: $r$ — ramię siły (odległość od osi).

Do czego służy: porządkuje formy energii. Energia kinetyczna (ruchu), potencjalna (położenia lub sprężystości), cieplna, elektryczna, chemiczna, jądrowa. Energia może przechodzić z jednej formy w inną i jest zawsze zachowana.

Do czego służy: pozwala śledzić przemiany energii bez znajomości sił. Gdy nie działa tarcie, energia potencjalna zamienia się w kinetyczną i odwrotnie, a ich suma się nie zmienia. Np. spadające ciało traci energię potencjalną, a zyskuje kinetyczną.

Do czego służy: Praca mierzy efektywne działanie siły — liczy się tylko składowa siły wzdłuż ruchu. Moc to szybkość wykonywania pracy.

Zmienne

• $W$ — praca (J = N·m)
• $F$ — siła (N)
• $s$ — droga (m)
• $\alpha$ — kąt między wektorem siły a wektorem przemieszczenia
• $P$ — moc (W = J/s)
• $t$ — czas (s)

Trzy ważne przypadki kąta

• $\alpha = 0°$: $\cos 0° = 1$ → $W = Fs$ (siła i ruch w tym samym kierunku)
• $\alpha = 90°$: $\cos 90° = 0$ → $W = 0$ (siła prostopadła do ruchu — zero pracy!)
• $\alpha = 180°$: $\cos 180° = -1$ → $W = -Fs$ (siła hamuje → praca ujemna)

Przykład

Ciągniemy walizkę siłą 50 N pod kątem 30° do poziomego podłoża przez 10 m. Praca?

1. $W = 50 \cdot 10 \cdot \cos 30° = 500 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \approx 433 \text{ J}$

⚠️ Częsty błąd: Dźwig unosi ciężar pionowo (praca = $mgs$), ale jeśli ciężar jedzie poziomo na przenośniku taśmowym — grawitacja nie wykonuje pracy ($\alpha = 90°$)!

Do czego służy: $E_k$ — energia ruchu; $E_p$ — energia związana z położeniem w polu grawitacyjnym. Zasada zachowania energii łączy je obydwie.

Zmienne

• $E_k$ — energia kinetyczna (J)
• $m$ — masa (kg)
• $v$ — prędkość (m/s)
• $E_p$ — energia potencjalna grawitacyjna (J)
• $g \approx 9{,}81 \text{ m/s}^2$
• $h$ — wysokość (m) względem przyjętego poziomu odniesienia

Zasada zachowania energii mechanicznej

Gdy brak sił dyssypacyjnych (brak tarcia): $E_k + E_p = \text{const}$

$$\frac{1}{2}mv_1^2 + mgh_1 = \frac{1}{2}mv_2^2 + mgh_2$$

Jak stosować

1. Ustal poziom odniesienia dla $h$ (często podłoga lub najniższy punkt)
2. Wypisz energie w punkcie A i B
3. Przyrównaj sumy (jeśli brak tarcia) lub uwzględnij straty: $W_{\text{tarcie}} = E_{kA} + E_{pA} - E_{kB} - E_{pB}$

Przykład

Kamień spada z $h = 5$ m (z $v_0 = 0$). Prędkość tuż przed ziemią?

1. $mgh = \frac{1}{2}mv^2 \Rightarrow v = \sqrt{2gh} = \sqrt{2 \cdot 10 \cdot 5} = 10 \text{ m/s}$

⚠️ Częsty błąd: W $E_k = \frac{1}{2}mv^2$ prędkość jest w metrach na sekundę — nie wstawiaj km/h! I pamiętaj o $\frac{1}{2}$.

Do czego służy: Ocena efektywności urządzenia — jaka część dostarczonej energii jest rzeczywiście wykorzystana, a jaka zmarnowana (np. na ciepło).

Zmienne

• $\eta$ (eta) — sprawność (w ułamku lub procentach, zawsze $0 \leq \eta \leq 1$)
• $W_{\text{użyteczna}}$ — praca/energia użyteczna (J)
• $W_{\text{dostarczona}}$ — całkowita energia wejściowa (J)
• Straty: $W_{\text{straty}} = W_{\text{dostarczona}} - W_{\text{użyteczna}}$

Sprawność różnych urządzeń

• Żarówka tradycyjna: ok. 5% (reszta to ciepło)
• Silnik spalinowy: 25–40%
• Silnik elektryczny: 85–98%
• Żaden silnik nie osiąga 100% (II zasada termodynamiki)

Przykład

Dźwig pobiera 5000 J energii i unosi ciężar o $E_p = 3500$ J. Sprawność?

1. $\eta = \frac{3500}{5000} = 0{,}70 = 70\%$

⚠️ Częsty błąd: Sprawność nigdy nie może przekroczyć 100%! Jeśli wychodzi więcej niż 100% — masz błąd w obliczeniach lub przekręcone dane (licznik i mianownik odwrotnie).

Co liczy: pracę siły pod kątem $\alpha$ do przesunięcia.

Co liczy: moc oraz sprawność urządzenia.

Co liczy: energię ciała w ruchu postępowym.

Co liczy: energię potencjalną grawitacji i sprężystości.

Do czego służy: pozwala liczyć prędkości i wysokości bez znajomości sił. Gdy nie działają opory, energia mechaniczna się nie zmienia — energia potencjalna zamienia się w kinetyczną i odwrotnie.

Do czego służy: oblicza prędkość ciała spadającego z wysokości $h$: $v = \sqrt{2 g h}$. Wynika z równości energii potencjalnej na starcie i kinetycznej na dole.