Wzory: Termodynamika i ciepło

Do czego służy: Oblicza ile ciepła (J) trzeba dostarczyć (lub ile zostanie oddane) by zmienić temperaturę ciała o $\Delta T$.

Zmienne

• $Q$ — ciepło (J); $Q > 0$ — pobrane, $Q \lt 0$ — oddane
• $m$ — masa ciała (kg)
• $c$ — ciepło właściwe substancji [J/(kg·K)]; woda: $c = 4200$, żelazo: $c = 450$
• $\Delta T = T_k - T_p$ — zmiana temperatury (K lub °C, wartości różnicy są równe)

Bilans cieplny

W układzie izolowanym: $\sum Q_i = 0$ (ciepło oddane = ciepłu pobranemu):

$$m_1 c_1 (T_k - T_1) + m_2 c_2 (T_k - T_2) = 0$$

Przykład

Ile energii trzeba do podgrzania 2 kg wody od 20°C do 100°C?

1. $\Delta T = 100 - 20 = 80 \text{ K}$
2. $Q = 2 \cdot 4200 \cdot 80 = 672\,000 \text{ J} = 672 \text{ kJ}$

⚠️ Częsty błąd: $\Delta T$ możesz liczyć w stopniach Celsjusza (różnica jest taka sama jak w Kelwinach). Ale $c$ jest dla konkretnej substancji — nie używaj wartości dla wody do obliczania metalu!

Co liczy: ciepło potrzebne do ogrzania ciała.

Oznaczenia: $c$ — ciepło właściwe, $\Delta T$ — zmiana temperatury.

Do czego służy: łączy temperaturę z ruchem cząsteczek. Energia wewnętrzna to łączna energia wszystkich cząsteczek ciała. Temperatura jest miarą średniej energii ich ruchu — im wyższa, tym szybciej drgają/poruszają się cząsteczki. Skala Celsjusza i Kelvina ($0^\circ\text{C} = 273\ \text{K}$).

Do czego służy: opisuje przekazywanie energii cieplnej. Ciepło ($Q$) samorzutnie przepływa od ciała cieplejszego do chłodniejszego, aż wyrównają się temperatury. Sposoby przekazywania ciepła: przewodzenie, konwekcja (unoszenie) i promieniowanie.

Do czego służy: pozwala obliczyć temperaturę końcową mieszaniny. Gdy zetkniemy ciała o różnych temperaturach, cieplejsze oddaje tyle ciepła, ile chłodniejsze pobiera — aż osiągną wspólną temperaturę (równowaga cieplna).

Do czego służy: opisuje zmiany stanu skupienia. Topnienie (ciało stałe → ciecz) i krzepnięcie (ciecz → ciało stałe) zachodzą w stałej temperaturze topnienia (dla lodu $0^\circ\text{C}$). Dostarczane ciepło zużywane jest na zmianę stanu, a nie na wzrost temperatury.

Do czego służy: opisuje przemiany między cieczą a gazem. Parowanie zachodzi z powierzchni cieczy w każdej temperaturze (szybciej w wyższej i przy większej powierzchni). Wrzenie to gwałtowne parowanie w całej objętości (woda wrze w $100^\circ\text{C}$). Skraplanie to przejście pary w ciecz.

Do czego służy: tłumaczy zjawiska takie jak przerwy dylatacyjne w mostach i działanie termometru. Większość ciał (stałych, cieczy, gazów) rozszerza się przy ogrzewaniu i kurczy przy oziębianiu, bo cząsteczki drgają mocniej i potrzebują więcej miejsca.

Do czego służy: Opisuje każdy stan gazu doskonałego (idealnego) — ciśnienie, objętość i temperaturę w jednym równaniu.

Zmienne

• $p$ — ciśnienie (Pa = N/m²)
• $V$ — objętość (m³)
• $n$ — liczba moli (mol)
• $R = 8{,}314 \text{ J/(mol·K)}$ — uniwersalna stała gazowa
• $T$ — temperatura bezwzględna (K); $T = t[°C] + 273$

Dla stałej masy gazu (forma przejściowa)

$$\frac{p_1 V_1}{T_1} = \frac{p_2 V_2}{T_2} = nR = \text{const}$$

Jak stosować

1. Przelicz temperaturę: $T = t + 273$ K — ZAWSZE!
2. Przelicz ciśnienie na Pa, objętość na m³
3. Zastosuj $\frac{p_1 V_1}{T_1} = \frac{p_2 V_2}{T_2}$ do znalezienia nieznanej wielkości

Przykład

Gaz w 27°C, 1 atm, 2 L. Ogrzano do 127°C przy stałym ciśnieniu. Objętość?

1. $T_1 = 300 \text{ K}$, $T_2 = 400 \text{ K}$, $p_1 = p_2$
2. $\frac{V_1}{T_1} = \frac{V_2}{T_2} \Rightarrow V_2 = 2 \cdot \frac{400}{300} = 2{,}67 \text{ L}$

⚠️ Częsty błąd: Temperatura MUSI być w Kelwinach! $0°C = 273 K$. Wstawienie stopni Celsjusza (np. 0°C do licznika) da błędny wynik.

Do czego służy: Uproszczone prawa dla gazu stałej masy, gdy jedna z wielkości ($T$, $p$ lub $V$) pozostaje stała.

Trzy przemiany

• Izotermiczna ($T = \text{const}$): $p_1 V_1 = p_2 V_2$ — prawo Boyle'a-Mariotte'a
  Przykład: ściskanie strzykawki w stałej temperaturze
• Izobaryczna ($p = \text{const}$): $\frac{V_1}{T_1} = \frac{V_2}{T_2}$ — prawo Gay-Lussaca
  Przykład: ogrzewanie balonika przy stałym ciśnieniu
• Izochoryczna ($V = \text{const}$): $\frac{p_1}{T_1} = \frac{p_2}{T_2}$ — prawo Charlesa
  Przykład: ogrzewanie butli gazowej (zamkniętej)

Jak stosować

1. Zidentyfikuj przemianę: co jest stałe ($T$, $p$ czy $V$)?
2. Przelicz temperaturę na Kelwiny
3. Zastosuj odpowiedni wzór — skrócona forma z $p_1 V_1/T_1 = p_2 V_2/T_2$

⚠️ Częsty błąd: Temperatura koniecznie w Kelwinach! I pamiętaj który parametr jest stały — to on jest po lewej i prawej stronie bez zmian.

Do czego służy: Zasada zachowania energii dla układów termodynamicznych — energia wewnętrzna układu zmienia się gdy dostarcza się ciepło lub wykonuje się nad nim pracę.

Zmienne

• $\Delta U$ — zmiana energii wewnętrznej (J)
• $Q$ — ciepło dostarczone do układu ($Q > 0$) lub oddane ($Q \lt 0$)
• $W$ — praca wykonana nad układem ($W > 0$) lub przez układ ($W \lt 0$)

Uwaga o konwencji

Niektóre podręczniki piszą $\Delta U = Q - W$, gdzie $W$ to praca wykonana przez układ. Sprawdź konwencję w swoim podręczniku!

Dla przemiany izochorycznej ($V = \text{const}$)

Gaz nie zmienia objętości → nie wykonuje pracy → $W = 0$, więc $\Delta U = Q$

Sprawność silnika cieplnego

$$\eta = \frac{W}{Q_1} = 1 - \frac{Q_2}{Q_1} \leq 1 - \frac{T_2}{T_1}$$ gdzie $Q_1$ — ciepło pobrane, $Q_2$ — oddane, $T_1, T_2$ — temperatury źródeł.

Przykład

Gaz pobiera $Q = 500$ J i wykonuje pracę $W = 200$ J. Zmiana energii wewnętrznej?

1. $\Delta U = Q - W_{\text{przez układ}} = 500 - 200 = 300 \text{ J}$

⚠️ Częsty błąd: Konwencja znaku! Praca przez układ to ujemna praca nad układem. Czytaj uważnie czy zadanie mówi o pracy „wykonanej przez gaz" czy „nad gazem".

Do czego służy: Obliczanie energii potrzebnej do zmiany stanu skupienia (topnienie, parowanie) lub oddawanej przy krzepnięciu/skraplaniu — bez zmiany temperatury!

Zmienne

• $Q$ — ciepło (J)
• $m$ — masa (kg)
• $L_t$ — ciepło topnienia substancji [J/kg]; lód: $L_t = 334\,000$ J/kg
• $L_p$ — ciepło parowania [J/kg]; woda: $L_p = 2\,260\,000$ J/kg

Uwaga kluczowa

Podczas topnienia i parowania temperatura nie zmienia się! Ciepło jest zużywane wyłącznie na zmianę stanu skupienia (zrywanie wiązań między cząsteczkami).

Pełny bilans (ogrzewanie + topnienie)

$$Q = mc(T_t - T_0) + mL_t + mc'(T_f - T_t)$$

Przykład

Ile ciepła potrzeba do stopienia 500 g lodu w 0°C?

1. $Q = 0{,}5 \cdot 334\,000 = 167\,000$ J $= 167$ kJ

⚠️ Częsty błąd: Ciepło topnienia/parowania to dodatkowe ciepło, ponad to, które zużywasz na samo ogrzewanie. Jeśli lód jest w −20°C, najpierw ogrzejesz do 0°C ($Q = mc\Delta T$), potem dopiero roztopisz ($Q = mL_t$).

Co liczy: stan gazu doskonałego.

$n$ — liczba moli, $R$ — stała gazowa, $T$ w kelwinach.

Prawo Boylea-Mariottea dla stałej temperatury.

Co liczy: zmianę energii wewnętrznej jako sumę ciepła i pracy.

Co liczy: ciepło potrzebne do zmiany temperatury ciała.

Co liczy: sprawność jako stosunek pracy do ciepła pobranego.

Do czego służy: wiąże temperaturę gazu z ruchem jego cząsteczek. $k$ to stała Boltzmanna, $T$ — temperatura w kelwinach. Im wyższa temperatura, tym szybciej poruszają się cząsteczki.