Wzory: Fizyka atomowa i jądrowa

Do czego służy: Obliczanie ile jąder promieniotwórczych pozostanie po czasie $t$ oraz jak długo trwa rozpad do danego poziomu.

Zmienne

• $N(t)$ — liczba jąder po czasie $t$
• $N_0$ — liczba jąder na początku ($t = 0$)
• $T_{1/2}$ — okres połowicznego zaniku: czas, po którym $N$ spada o połowę
• $\lambda = \ln 2 / T_{1/2}$ — stała rozpadu

Jak stosować

1. Oblicz ile okresów połowicznych minęło: $n = t / T_{1/2}$
2. Pozostało: $N = N_0 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^n$
3. Lub bezpośrednio: $N(t) = N_0 \cdot 2^{-t/T_{1/2}}$

Przykład

Jod-131 ma $T_{1/2} = 8$ dni. Ile pozostanie po 24 dniach z $N_0 = 10^{20}$ jąder?

1. $n = 24 / 8 = 3$ okresy
2. $N = 10^{20} \cdot (1/2)^3 = 10^{20} / 8 = 1{,}25 \times 10^{19}$

⚠️ Częsty błąd: Po każdym $T_{1/2}$ liczba jąder zmniejsza się o połowę, nie o $T_{1/2}$ procent! Każdy okres działa niezależnie.

Do czego służy: Zapis i analiza przemian jądrowych — rozpadów alfa, beta i reakcji syntezy/rozszczepienia.

Zasady zachowania w reakcjach jądrowych

• Liczba masowa A — suma przed = suma po
• Liczba atomowa Z — suma ładunków przed = suma po
• Energia: całkowita energia (masa + kinetyczna) jest zachowana

Trzy typy rozpadów

• Rozpad $\alpha$ ($^4_2$He): $^A_Z X \to \;{}^{A-4}_{Z-2}Y + \;{}^4_2\text{He}$ — A maleje o 4, Z maleje o 2
• Rozpad $\beta^-$ (elektron): $^A_Z X \to \;{}^A_{Z+1}Y + e^- + \bar{\nu}$ — A bez zmian, Z rośnie o 1
• Promieniowanie $\gamma$ (foton): A i Z bez zmian — tylko zmiana stanu energetycznego

Jak uzupełniać reakcje

1. Zsumuj liczby masowe ($A$) po obu stronach — muszą być równe
2. Zsumuj liczby atomowe ($Z$) po obu stronach — muszą być równe
3. Brakujące $A$ i $Z$ identyfikują pierwiastek (tablica układu okresowego)

Przykład

Uran $^{238}_{92}$U emituje cząstkę $\alpha$. Produkt?

1. $A: 238 - 4 = 234$; $Z: 92 - 2 = 90$
2. Element $Z = 90$ → Tor: $^{234}_{90}$Th

⚠️ Częsty błąd: Neutrina ($\nu$) w rozpadzie $\beta$ też mają zerową liczbę masową i atomową — pamiętaj o nich w bilansie, choć nie zmieniają A ani Z produktu głównego.

Do czego służy: Opisuje zjawisko wybijania elektronów z metalu przez światło — dowód korpuskularnej natury światła (Einstein, Nagroda Nobla 1921).

Zmienne

• $E_k$ — energia kinetyczna wybitego elektronu (J)
• $h = 6{,}626 \times 10^{-34}$ J·s — stała Plancka
• $f$ — częstotliwość światła (Hz)
• $W$ — praca wyjścia elektronu z metalu (J) — zależy od materiału

Energia fotonu

$$E_{\text{fotonu}} = hf = \frac{hc}{\lambda}$$

Kiedy zachodzi fotoefekt?

Tylko gdy $hf \geq W$, czyli gdy częstotliwość światła $f \geq f_{\min} = W/h$. Natężenie światła nie ma znaczenia — liczy się tylko częstotliwość.

Jak stosować

1. Oblicz energię fotonu: $E = hf$ lub $E = hc/\lambda$
2. Sprawdź czy $E > W$ (czy zajdzie fotoefekt)
3. Oblicz energię kinetyczną: $E_k = hf - W$

Przykład

Światło $f = 10^{15}$ Hz pada na metal o $W = 3 \times 10^{-19}$ J. Energia elektronu?

1. $E = hf = 6{,}63\times10^{-34} \cdot 10^{15} = 6{,}63\times10^{-19}$ J
2. $E_k = 6{,}63\times10^{-19} - 3\times10^{-19} = 3{,}63\times10^{-19}$ J

⚠️ Częsty błąd: Zwiększenie natężenia (jasności) światła nie zwiększy $E_k$ elektronu — tylko więcej elektronów zostanie wybitych. Większa $E_k$ wymaga większej częstotliwości.

Co liczy: bilans energii fotonu: praca wyjścia i energia elektronu; foton $E=hf$.

Co liczy: długość fali stowarzyszonej z cząstką o pędzie $p$.

Co liczy: energię wiązania z deficytu masy jądra.

Co liczy: liczbę jąder po czasie $t$; $T$ — czas połowicznego rozpadu.

Do czego służy: podaje energię elektronu na dozwolonych orbitach atomu wodoru. $n$ — numer orbity. Znak minus oznacza, że elektron jest związany. Przejściom między poziomami towarzyszy emisja lub pochłonięcie fotonu.

Do czego służy: wiąże barwę (częstotliwość $f$) linii widmowej z przejściem elektronu. $h$ — stała Plancka. Każde przejście między poziomami daje foton o ściśle określonej energii — stąd charakterystyczne linie widmowe pierwiastków.

Do czego służy: opisuje światło jako strumień cząstek (fotonów) o energii $E = hf$. Jednocześnie światło wykazuje własności falowe (interferencja, dyfrakcja). To dwoiste zachowanie nazywamy dualizmem korpuskularno-falowym.

Do czego służy: opisuje skład jądra. $A$ — liczba masowa (nukleony), $Z$ — liczba atomowa (protony), $N$ — liczba neutronów. Jądro utrzymują razem siły jądrowe — bardzo silne, ale krótkozasięgowe.

Do czego służy: pozwala ustalić produkt rozpadu promieniotwórczego. Rozpad α: emisja jądra helu ($A$ maleje o 4, $Z$ o 2). Rozpad β⁻: neutron zmienia się w proton ($A$ bez zmian, $Z$ rośnie o 1). Promieniowanie γ: emisja energii, bez zmiany $A$ i $Z$.

Do czego służy: oblicza energię reakcji jądrowej z ubytku masy. W rozszczepieniu ciężkie jądro (np. uranu) dzieli się na lżejsze; w syntezie lekkie jądra łączą się (jak w Słońcu). W obu procesach część masy zamienia się w ogromną energię.