Strona główna › Poradnik maturalny › Matura rozszerzona › PR17 PR17 Parametr, funkcja kwadratowa i wzory Viète’a — klucz maturalny, poziom rozszerzony 🔑 Sygnał: $a\ne0$ → $\Delta\gt 0$ → warunek przez Viète’a → część wspólna.
🔒
Zaloguj się , aby zapisywać wyniki zadań tego klucza na swoim koncie.
Teoria Wzory Algorytm Pułapki Przykład Ślad w CKE Zadania (15)
🎯 Co musisz umieć zapisywać warunki: $a\ne0$, $\Delta\gt 0$ (dwa różne), $\Delta\ge0$ (istnieją), stosować wzory Viète’a i wyrażać sumy potęg przez $x_1+x_2$ i $x_1x_2$, badać znaki pierwiastków (oba dodatnie, różnych znaków, tego samego znaku), rozwiązywać nierówności z parametrem (także wymierne) i wyznaczać część wspólną wszystkich warunków. 🔍 Jak rozpoznać zadanie „dwa różne rozwiązania rzeczywiste spełniające warunek $x_1^2+x_2^2\dots$” → $\Delta\gt 0$ + Viète, „tego samego znaku” → $x_1x_2\gt 0$; „dodatnie” → dodatkowo $x_1+x_2\gt 0$, współczynnik przy $x^2$ zależny od $m$ → osobno $a\ne0$ (i ewentualnie przypadek $a=0$).
📘 Teoria w pigułce Viète: $x_1+x_2=-\frac ba$, $x_1x_2=\frac ca$. $x_1^2+x_2^2=(x_1+x_2)^2-2x_1x_2$; $x_1^3+x_2^3=(x_1+x_2)^3-3x_1x_2(x_1+x_2)$; $\frac1{x_1}+\frac1{x_2}=\frac{x_1+x_2}{x_1x_2}$; $|x_1-x_2|=\frac{\sqrt\Delta}{|a|}$. Oba pierwiastki dodatnie: $\Delta\gt 0$, $x_1x_2\gt 0$, $x_1+x_2\gt 0$. Różnych znaków: $x_1x_2\lt 0$ (wtedy $\Delta\gt 0$ automatycznie). Liczba $k$ leży między pierwiastkami ⇔ $a\cdot f(k)\lt 0$. Odpowiedź = część wspólna wszystkich warunków (zapisz ją na osi). ⚙️ Algorytm krok po kroku Warunek $a\ne0$ (jeśli $a$ zależy od $m$). Warunek $\Delta\gt 0$ — rozwiąż nierówność z $m$. Warunek z treści: zamień na $x_1+x_2$ i $x_1x_2$, podstaw Viète’a, rozwiąż. Część wspólna wszystkich warunków — odpowiedź. ✍️ Przykład wzorcowy typ zadań 11–12 z matur 2023–2026
Wyznacz wszystkie wartości parametru $m$, dla których równanie $x^2-3mx+2m^2+1=0$ ma dwa różne rozwiązania rzeczywiste $x_1$, $x_2$ spełniające warunek $x_1^2+x_2^2=43$.
▼ Pokaż rozwiązanie
$\Delta=9m^2-4(2m^2+1)=m^2-4\gt 0 \iff m\in(-\infty,-2)\cup(2,\infty)$. $x_1^2+x_2^2=(3m)^2-2(2m^2+1)=5m^2-2$. $5m^2-2=43 \Rightarrow m^2=9 \Rightarrow m=\pm3$. Oba spełniają $|m|\gt 2$. Odpowiedź: $m=-3$ lub $m=3$. Odpowiedź: $m=-3$ lub $m=3$
Jak CKE przyznaje punkty: 1 pkt — warunek $\Delta\gt 0$ i jego rozwiązanie, 2 pkt — wyrażenie $x_1^2+x_2^2$ przez Viète’a, 3 pkt — równanie $5m^2-2=43$, 4 pkt — $m=\pm3$, 5 pkt — sprawdzenie warunku $\Delta\gt 0$ i odpowiedź. 📊 Ślad w prawdziwych arkuszach CKE
Zadania autentyczne. Niżej są prawdziwe zadania z arkuszy CKE — numer i punktacja zgodne z oryginalnym arkuszem. Kliknij rok, aby otworzyć cały arkusz.
✍️ Trening: 15 zadań w formacie maturalnym
Zadania autorskie. To nie są przedruki z arkuszy — ułożyliśmy je w formacie maturalnym, na wzorów z tabeli „Ślad w arkuszach CKE” powyżej. Typ, punktacja i poziom trudności odpowiadają realnym zadaniom egzaminacyjnym.
Zadania zamknięte sprawdzają się po kliknięciu odpowiedzi (jedna próba). W otwartych porównaj swoje rozwiązanie z wzorcowym i wystaw samoocenę według schematu punktowania — wynik zapisze się na koncie.
PR17.1 odpowiedź krótka ★★★ 0–2 pkt 🔗 Wyznacz wszystkie $m$, dla których równanie $x^2-5x+m=0$ ma dwa różne rozwiązania.
▼ Pokaż rozwiązanie $\Delta=25-4m\gt 0 \iff m\lt \frac{25}4$. Odpowiedź: $m\lt \tfrac{25}4$
✎ Samoocena wg schematu punktowania — ile punktów zdobył(a)byś? 0 1 2 / 2 pkt
PR17.2 odpowiedź krótka ★★★ 0–2 pkt 🔗 Nie rozwiązując równania $2x^2-6x-3=0$, oblicz sumę i iloczyn jego rozwiązań.
▼ Pokaż rozwiązanie $x_1+x_2=\frac62=3$, $x_1x_2=-\frac32$ ($\Delta=36+24\gt 0$). Odpowiedź: $x_1+x_2=3$, $x_1x_2=-\tfrac32$
✎ Samoocena wg schematu punktowania — ile punktów zdobył(a)byś? 0 1 2 / 2 pkt
PR17.3 otwarte ★★★ 0–3 pkt 🔗 Wyznacz wszystkie $m$, dla których równanie $x^2+mx+4=0$ ma dwa różne rozwiązania dodatnie.
▼ Pokaż rozwiązanie $\Delta=m^2-16\gt 0 \iff m\lt -4$ lub $m\gt 4$. $x_1x_2=4\gt 0$ zawsze; $x_1+x_2=-m\gt 0 \iff m\lt 0$. Część wspólna: $m\lt -4$. Odpowiedź: $m\in(-\infty,-4)$
Schemat punktowania: 1 pkt — warunek $\Delta\gt 0$, 2 pkt — warunki Viète’a na znaki, 3 pkt — odpowiedź. ✎ Samoocena wg schematu punktowania — ile punktów zdobył(a)byś? 0 1 2 3 / 3 pkt
PR17.4 otwarte ★★★ 0–4 pkt 🔗 Wyznacz wszystkie $m$, dla których równanie $x^2-2mx+m+2=0$ ma dwa różne rozwiązania spełniające warunek $x_1^2+x_2^2=8$.
▼ Pokaż rozwiązanie $\Delta=4m^2-4(m+2)\gt 0 \iff m^2-m-2\gt 0 \iff m\lt -1$ lub $m\gt 2$. $x_1^2+x_2^2=4m^2-2(m+2)=4m^2-2m-4=8 \Rightarrow 2m^2-m-6=0$. $m=2$ lub $m=-\frac32$. Dla $m=2$: $\Delta=0$ — odrzucamy. Odpowiedź: $m=-\frac32$. Odpowiedź: $m=-\tfrac32$
Schemat punktowania: 1 pkt — warunek $\Delta\gt 0$, 2 pkt — wyrażenie przez Viète’a, 3 pkt — rozwiązanie równania, 4 pkt — odrzucenie $m=2$ i odpowiedź. ✎ Samoocena wg schematu punktowania — ile punktów zdobył(a)byś? 0 1 2 3 4 / 4 pkt
PR17.5 otwarte ★★★ 0–4 pkt 🔗 Wyznacz wszystkie $m\ne2$, dla których równanie $(m-2)x^2-2(m-1)x+m=0$ ma dwa różne rozwiązania tego samego znaku.
▼ Pokaż rozwiązanie $\frac\Delta4=(m-1)^2-m(m-2)=1\gt 0$ — zawsze dwa różne rozwiązania. Ten sam znak: $x_1x_2=\frac{m}{m-2}\gt 0 \iff m\lt 0$ lub $m\gt 2$. Odpowiedź: $m\in(-\infty,0)\cup(2,\infty)$
Schemat punktowania: 1 pkt — obliczenie $\Delta$, 2 pkt — wniosek $\Delta\gt 0$ dla każdego $m\ne2$, 3 pkt — warunek $x_1x_2\gt 0$, 4 pkt — odpowiedź. ✎ Samoocena wg schematu punktowania — ile punktów zdobył(a)byś? 0 1 2 3 4 / 4 pkt
PR17.6 otwarte ★★★ 0–5 pkt 🔗 Wyznacz wszystkie $m$, dla których równanie $x^2-4x+m-1=0$ ma dwa różne rozwiązania spełniające nierówność $\dfrac1{x_1}+\dfrac1{x_2}\gt 2$.
▼ Pokaż rozwiązanie $\Delta=16-4(m-1)\gt 0 \iff m\lt 5$; pierwiastki niezerowe: $m\ne1$. $\frac1{x_1}+\frac1{x_2}=\frac{4}{m-1}\gt 2 \iff \frac{4-2(m-1)}{m-1}\gt 0 \iff \frac{6-2m}{m-1}\gt 0 \iff m\in(1,3)$. Część wspólna z $m\lt 5$: $m\in(1,3)$. Odpowiedź: $m\in(1,3)$
Schemat punktowania: 1 pkt — $\Delta\gt 0$, 2 pkt — wyrażenie $\frac{x_1+x_2}{x_1x_2}$, 3 pkt — nierówność wymierna, 4 pkt — jej rozwiązanie, 5 pkt — odpowiedź. ✎ Samoocena wg schematu punktowania — ile punktów zdobył(a)byś? 0 1 2 3 4 5 / 5 pkt
PR17.7 otwarte ★★★ 0–4 pkt 🔗 Wyznacz wszystkie $m$, dla których równanie $x^2+(m+1)x+m=0$ ma dwa różne rozwiązania, których odległość na osi liczbowej jest równa $2$.
▼ Pokaż rozwiązanie $\Delta=(m+1)^2-4m=(m-1)^2\gt 0 \iff m\ne1$. Rozwiązania: $x=-1$ i $x=-m$ (albo $|x_1-x_2|=\sqrt\Delta=|m-1|$). $|m-1|=2 \Rightarrow m=3$ lub $m=-1$. Odpowiedź: $m=-1$ lub $m=3$
Schemat punktowania: 1 pkt — $\Delta=(m-1)^2$, 2 pkt — $|x_1-x_2|=|m-1|$, 3 pkt — równanie $|m-1|=2$, 4 pkt — odpowiedź. ✎ Samoocena wg schematu punktowania — ile punktów zdobył(a)byś? 0 1 2 3 4 / 4 pkt
PR17.8 otwarte ★★★ 0–5 pkt 🔗 Wyznacz wszystkie $m$, dla których równanie $x^2-(m+2)x+m=0$ ma dwa różne rozwiązania spełniające warunek $x_1^3+x_2^3=8$.
▼ Pokaż rozwiązanie $\Delta=(m+2)^2-4m=m^2+4\gt 0$ — zawsze. $x_1^3+x_2^3=s^3-3ps=(m+2)^3-3m(m+2)=(m+2)(m^2+m+4)$. $(m+2)(m^2+m+4)=8 \iff m^3+3m^2+6m=0 \iff m(m^2+3m+6)=0$. $m^2+3m+6$ nie ma pierwiastków ($\Delta=-15$), więc $m=0$ (kontrola: $x^2-2x=0$, $0+8=8$ ✓). Odpowiedź: $m=0$
Schemat punktowania: 1 pkt — $\Delta\gt 0$ dla każdego $m$, 2 pkt — wzór na $x_1^3+x_2^3$, 3 pkt — równanie z $m$, 4 pkt — rozkład, 5 pkt — $m=0$. ✎ Samoocena wg schematu punktowania — ile punktów zdobył(a)byś? 0 1 2 3 4 5 / 5 pkt
PR17.9 otwarte ★★★ 0–3 pkt 🔗 Wyznacz wszystkie $m$, dla których liczba $1$ leży między rozwiązaniami równania $x^2-2mx+m^2-1=0$.
▼ Pokaż rozwiązanie $a=1\gt 0$, więc warunek: $f(1)\lt 0$. $f(1)=1-2m+m^2-1=m^2-2m\lt 0 \iff m\in(0,2)$. (Kontrola: pierwiastki to $m-1$ i $m+1$; $m-1\lt 1\lt m+1 \iff 0\lt m\lt 2$.) Odpowiedź: $m\in(0,2)$
Schemat punktowania: 1 pkt — warunek $a\cdot f(1)\lt 0$, 2 pkt — nierówność $m^2-2m\lt 0$, 3 pkt — odpowiedź. ✎ Samoocena wg schematu punktowania — ile punktów zdobył(a)byś? 0 1 2 3 / 3 pkt
PR17.10 otwarte ★★★ 0–6 pkt 🔗 Wyznacz wszystkie $m$, dla których równanie $x^2-2(m+1)x+m^2+3=0$ ma dwa różne rozwiązania dodatnie spełniające warunek $x_1^2+x_2^2\lt 22$.
▼ Pokaż rozwiązanie $\frac\Delta4=(m+1)^2-(m^2+3)=2m-2\gt 0 \iff m\gt 1$. Dodatnie: $x_1x_2=m^2+3\gt 0$ zawsze, $x_1+x_2=2(m+1)\gt 0 \iff m\gt -1$. $x_1^2+x_2^2=4(m+1)^2-2(m^2+3)=2m^2+8m-2\lt 22 \iff m^2+4m-12\lt 0 \iff m\in(-6,2)$. Część wspólna: $m\in(1,2)$. Odpowiedź: $m\in(1,2)$
Schemat punktowania: 1 pkt — $\Delta\gt 0$, 2 pkt — warunki dodatniości, 3 pkt — wyrażenie $x_1^2+x_2^2$, 4 pkt — nierówność $m^2+4m-12\lt 0$, 5 pkt — jej rozwiązanie, 6 pkt — część wspólna. ✎ Samoocena wg schematu punktowania — ile punktów zdobył(a)byś? 0 1 2 3 4 5 6 / 6 pkt
PR17.11 zamknięte ★★★ 0–1 pkt 🔗 Dla jakiego $m$ równanie $x^2-2x+m=0$ ma jedno rozwiązanie?
▼ Pokaż rozwiązanie $\Delta=4-4m=0\Rightarrow m=1$. Odpowiedź: A
Dlaczego nie pozostałe? B - błąd.
PR17.12 zamknięte ★★★ 0–1 pkt 🔗 Suma pierwiastków równania $2x^2-8x+3=0$ jest równa
▼ Pokaż rozwiązanie $\Delta=64-24>0$, więc pierwiastki istnieją. Wzór Viète’a: $x_1+x_2=-\tfrac ba=\tfrac82=4$. Odpowiedź: B
Dlaczego nie pozostałe? A gubi minus we wzorze, C to iloczyn $\tfrac ca$, D nie dzieli przez $a$.
PR17.13 zamknięte ★★★ 0–1 pkt 🔗 Iloczyn pierwiastków równania $3x^2+5x-12=0$ jest równy
A $4$
B $-\tfrac53$
C $-4$
D $-12$
▼ Pokaż rozwiązanie $\Delta=25+144>0$. Wzór Viète’a: $x_1x_2=\tfrac ca=\tfrac{-12}{3}=-4$. Odpowiedź: C
Dlaczego nie pozostałe? A gubi znak, B to suma pierwiastków, D nie dzieli przez $a$.
PR17.14 zamknięte ★★★ 0–1 pkt 🔗 Równanie $x^2-6x+m=0$ ma dwa różne pierwiastki rzeczywiste wtedy i tylko wtedy, gdy
A $m>9$
B $m\le9$
C $m=9$
D $m\lt 9$
▼ Pokaż rozwiązanie Dwa różne pierwiastki: $\Delta>0$. $\Delta=36-4m>0\Rightarrow m\lt 9$. Odpowiedź: D
Dlaczego nie pozostałe? A odwraca nierówność, B dopuszcza pierwiastek podwójny, C to jeden pierwiastek.
PR17.15 odpowiedź krótka ★★★ 0–1 pkt 🔗 Równanie $x^2+bx+12=0$ ma pierwiastek $x_1=3$. Wyznacz $b$ oraz drugi pierwiastek.
▼ Pokaż rozwiązanie Wzór Viète’a: $x_1x_2=12\Rightarrow x_2=4$. $x_1+x_2=-b\Rightarrow 7=-b\Rightarrow b=-7$. Sprawdzenie: $9-21+12=0$. Odpowiedź: $b=-7$, drugi pierwiastek $x_2=4$
✎ Samoocena wg schematu punktowania — ile punktów zdobył(a)byś? 0 1 / 1 pkt
← PR16 Stereometria rozszerzona Wszystkie klucze
PR18 Pochodna, monotoniczność i ekstrema →
Pobierz PDF — matura rozszerzona
