Wartość bezwzględna — równania i nierówności — klucz maturalny, poziom rozszerzony

1. $2x-3=5 \Rightarrow x=4$ lub $2x-3=-5 \Rightarrow x=-1$.

Odpowiedź: $x=-1$ lub $x=4$

1. Suma odległości $x$ od $-1$ i od $3$ jest równa $4$ — dokładnie długości odcinka $[-1,3]$.
2. Każdy $x\in[-1,3]$ spełnia równanie; poza odcinkiem suma jest większa.

Odpowiedź: $x\in[-1,3]$

1. $x\ge2$: $x-2\lt 2x+1 \Rightarrow x\gt -3$ — cały przedział $[2,\infty)$.
2. $x\lt 2$: $2-x\lt 2x+1 \Rightarrow x\gt \frac13$ — $\left(\frac13,2\right)$.
3. Suma: $\left(\frac13,\infty\right)$.

Odpowiedź: $x\in\left(\tfrac13,+\infty\right)$

1. $x\lt -2$: $-(x+2)-(1-x)=-3\ge1$ — sprzeczność.
2. $-2\le x\lt 1$: $(x+2)-(1-x)=2x+1\ge1 \Rightarrow x\ge0$ → $[0,1)$.
3. $x\ge1$: $(x+2)-(x-1)=3\ge1$ — cały $[1,\infty)$.
4. Suma: $[0,\infty)$.

Odpowiedź: $x\in[0,+\infty)$

1. $x\lt -2$: $(1-x)-2(x+2)=-3x-3\gt 7 \Rightarrow x\lt -\frac{10}3$.
2. $-2\le x\lt 1$: $(1-x)+2(x+2)=x+5\gt 7 \Rightarrow x\gt 2$ — brak w przedziale.
3. $x\ge1$: $(x-1)+2(x+2)=3x+3\gt 7 \Rightarrow x\gt \frac43$.
4. Suma: $\left(-\infty,-\frac{10}3\right)\cup\left(\frac43,\infty\right)$.

Odpowiedź: $x\in\left(-\infty,-\tfrac{10}3\right)\cup\left(\tfrac43,+\infty\right)$

1. $\sqrt{x^2-6x+9}=\sqrt{(x-3)^2}=|x-3|$.
2. $x\ge3$: $x-3+2x\le9 \Rightarrow x\le4$ → $[3,4]$.
3. $x\lt 3$: $3-x+2x\le9 \Rightarrow x\le6$ → $(-\infty,3)$.
4. Suma: $(-\infty,4]$.

Odpowiedź: $x\in(-\infty,4]$

1. Prawa strona musi być dodatnia: $x\gt 0$.
2. $x\ge2$: $x^2-4\lt 3x \Rightarrow x^2-3x-4\lt 0 \Rightarrow x\in(-1,4)$ → $[2,4)$.
3. $0\lt x\lt 2$: $4-x^2\lt 3x \Rightarrow x^2+3x-4\gt 0 \Rightarrow x\lt -4$ lub $x\gt 1$ → $(1,2)$.
4. Suma: $(1,4)$.

Odpowiedź: $x\in(1,4)$

1. Wykres $y=|x^2-4x|$: parabola $y=x^2-4x$ (miejsca zerowe $0$ i $4$, wierzchołek $(2,-4)$) z częścią pod osią odbitą do góry — „garb” o wierzchołku $(2,4)$.
2. Prosta $y=m$: dla $m\lt 0$ — brak punktów wspólnych; $m=0$ — dwa ($x=0$, $x=4$); $0\lt m\lt 4$ — cztery.
3. $m=4$ — trzy (wierzchołek garbu i dwa na ramionach); $m\gt 4$ — dwa.

Odpowiedź: $m\lt 0$: $0$; $m=0$: $2$; $0\lt m\lt 4$: $4$; $m=4$: $3$; $m\gt 4$: $2$

1. $|a|=|b| \iff a=b$ lub $a=-b$.
2. $x-1=2x+4 \Rightarrow x=-5$; $x-1=-2x-4 \Rightarrow x=-1$.
3. Sprawdzenie: $|-6|=|-6|$, $|-2|=|2|$ ✓.

Odpowiedź: $x=-5$ lub $x=-1$

1. $x\lt -3$: $-2x-1=3x+1 \Rightarrow x=-\frac25$ — poza przedziałem.
2. $-3\le x\lt 2$: $5=3x+1 \Rightarrow x=\frac43$ ✓.
3. $x\ge2$: $2x+1=3x+1 \Rightarrow x=0$ — poza przedziałem.
4. Odpowiedź: $x=\frac43$.

Odpowiedź: $x=\tfrac43$

1. $x=\pm5$.

Odpowiedź: A

Dlaczego nie pozostałe? B gubi rozwiązanie.

1. $x-3=2$ lub $x-3=-2$.
2. $x=5$ lub $x=1$.

Odpowiedź: B

Dlaczego nie pozostałe? D - błąd znaku.

1. $|x-2|\le3\iff -3\le x-2\le3$.
2. Dodaj $2$: $-1\le x\le5$.

Odpowiedź: C

Dlaczego nie pozostałe? A przesuwa w złą stronę, B pomija końce przedziału, D to rozwiązanie nierówności $\ge3$.

1. Poza przedziałem $(-2,2)$.

Odpowiedź: D

Dlaczego nie pozostałe? A to obszar przeciwny.

1. $x+1=4$ lub $x+1=-4$.
2. $x=3$ lub $x=-5$.

Odpowiedź: $x=3$ lub $x=-5$