Strona główna › Poradnik maturalny › Matura rozszerzona › PR05 PR05 Ciągi arytmetyczne i geometryczne — zadania łączone — klucz maturalny, poziom rozszerzony 🔑 Sygnał: Wszystko przez $a_1$ i $r$ (lub środkowy wyraz) → $b^2=ac$ / $2b=a+c$ → równanie → odrzuć sprzeczne.
🔒
Zaloguj się , aby zapisywać wyniki zadań tego klucza na swoim koncie.
Teoria Wzory Algorytm Pułapki Przykład Ślad w CKE Zadania (15)
🎯 Co musisz umieć parametryzować: arytmetyczny $(a-r,\ a,\ a+r)$, geometryczny $(a,\ aq,\ aq^2)$, łączyć warunki $2b=a+c$ i $b^2=ac$ w jeden układ, wykorzystywać $a_n=a_1+(n-1)r$ dla wyrazów o dalekich numerach, badać monotoniczność ciągu ($a_{n+1}-a_n$) i stosować wzory na sumy. 🔍 Jak rozpoznać zadanie „liczby $x,y,z$ są — odpowiednio — pierwszym, drugim i szóstym wyrazem ciągu arytmetycznego”, „po dodaniu … otrzymamy ciąg geometryczny”, dane: suma i iloczyn trzech wyrazów.
📘 Teoria w pigułce Wyrazy $a_1,a_k,a_m$ ciągu arytmetycznego to $a_1$, $a_1+(k-1)r$, $a_1+(m-1)r$ — podstaw do $b^2=ac$. Trzy wyrazy arytmetyczne o sumie $S$: środkowy $=\frac S3$. Trzy geometryczne o iloczynie $P$: środkowy $=\sqrt[3]{P}$. Ciąg rosnący/malejący i „różnica $\ne0$” — warunki eliminujące przypadki. Monotoniczność: znak $a_{n+1}-a_n$ dla każdego $n$. ⚙️ Algorytm krok po kroku Zapisz wszystkie wyrazy przez jak najmniej niewiadomych ($a_1$, $r$ lub środkowy wyraz). Ułóż warunek drugiego ciągu i sumy/iloczynu — dostaniesz układ. Rozwiąż (często równanie kwadratowe), odrzuć przypadki sprzeczne z treścią ($r\ne0$, rosnący…). Wypisz szukane liczby i sprawdź oba warunki. ✍️ Przykład wzorcowy typ zadań 7 (2024) i 6 (2026)
Liczby $a,b,c$ w podanej kolejności tworzą ciąg arytmetyczny, a ich suma jest równa $12$. Liczby $a,\ b,\ c+2$ tworzą ciąg geometryczny. Wyznacz $a$, $b$, $c$.
▼ Pokaż rozwiązanie
Środkowy wyraz: $b=\frac{12}3=4$, więc $a=4-r$, $c=4+r$. Warunek geometryczny: $16=(4-r)(6+r) \Rightarrow r^2+2r-8=0 \Rightarrow r=2$ lub $r=-4$. $r=2$: $(2,4,6)$, ciąg $(2,4,8)$ ✓; $r=-4$: $(8,4,0)$, ciąg $(8,4,2)$ ✓. Odpowiedź: $(2,4,6)$ lub $(8,4,0)$
Jak CKE przyznaje punkty: 1 pkt — $b=4$ i zapis $a=4-r$, $c=4+r$, 2 pkt — równanie $16=(4-r)(6+r)$, 3 pkt — $r=2$ lub $r=-4$, 4 pkt — obie trójki liczb. 📊 Ślad w prawdziwych arkuszach CKE
Zadania autentyczne. Niżej są prawdziwe zadania z arkuszy CKE — numer i punktacja zgodne z oryginalnym arkuszem. Kliknij rok, aby otworzyć cały arkusz.
✍️ Trening: 15 zadań w formacie maturalnym
Zadania autorskie. To nie są przedruki z arkuszy — ułożyliśmy je w formacie maturalnym, na wzorów z tabeli „Ślad w arkuszach CKE” powyżej. Typ, punktacja i poziom trudności odpowiadają realnym zadaniom egzaminacyjnym.
Zadania zamknięte sprawdzają się po kliknięciu odpowiedzi (jedna próba). W otwartych porównaj swoje rozwiązanie z wzorcowym i wystaw samoocenę według schematu punktowania — wynik zapisze się na koncie.
PR05.1 odpowiedź krótka ★★★ 0–2 pkt 🔗 Ile ujemnych wyrazów ma ciąg $a_n=3n-7$ ($n\ge1$)?
▼ Pokaż rozwiązanie $3n-7\lt 0 \Rightarrow n\lt \frac73$, czyli $n\in\{1,2\}$. Odpowiedź: $2$
✎ Samoocena wg schematu punktowania — ile punktów zdobył(a)byś? 0 1 2 / 2 pkt
PR05.2 odpowiedź krótka ★★★ 0–2 pkt 🔗 Oblicz sumę wszystkich liczb naturalnych dwucyfrowych podzielnych przez $7$.
▼ Pokaż rozwiązanie Liczby $14,21,\dots,98$ — ciąg arytmetyczny, $r=7$, $n=13$. $S=\frac{14+98}{2}\cdot13=728$. Odpowiedź: $728$
✎ Samoocena wg schematu punktowania — ile punktów zdobył(a)byś? 0 1 2 / 2 pkt
PR05.3 otwarte ★★★ 0–3 pkt 🔗 W ciągu arytmetycznym $(a_n)$ spełnione są warunki $a_2+a_5=17$ oraz $a_3\cdot a_4=70$. Wyznacz pierwszy wyraz i różnicę tego ciągu.
▼ Pokaż rozwiązanie $2a_1+5r=17$. Oznaczmy $s=a_1+\frac52r=\frac{17}2$; wtedy $a_3=s-\frac r2$, $a_4=s+\frac r2$. $a_3a_4=s^2-\frac{r^2}4=\frac{289}4-\frac{r^2}{4}=70 \Rightarrow r^2=9$. $r=3$: $a_1=1$; $r=-3$: $a_1=16$. Odpowiedź: $a_1=1,\ r=3$ lub $a_1=16,\ r=-3$
Schemat punktowania: 1 pkt — układ równań z $a_1$ i $r$, 2 pkt — równanie z jedną niewiadomą ($r^2=9$), 3 pkt — oba ciągi. ✎ Samoocena wg schematu punktowania — ile punktów zdobył(a)byś? 0 1 2 3 / 3 pkt
PR05.4 otwarte ★★★ 0–4 pkt 🔗 Trzywyrazowy ciąg $(x,y,z)$ jest geometryczny i rosnący, a suma jego wyrazów jest równa $39$. Liczby $x,y,z$ są — odpowiednio — pierwszym, drugim i piątym wyrazem pewnego ciągu arytmetycznego. Oblicz $x$, $y$, $z$.
▼ Pokaż rozwiązanie $x=a$, $y=a+r$, $z=a+4r$ ($r\ne0$, bo ciąg rosnący). $(a+r)^2=a(a+4r) \Rightarrow r^2=2ar \Rightarrow r=2a$. Wtedy $(x,y,z)=(a,3a,9a)$, suma $13a=39 \Rightarrow a=3$. $(3,9,27)$ — rosnący, $q=3$ ✓. Odpowiedź: $x=3,\ y=9,\ z=27$
Schemat punktowania: 1 pkt — zapis wyrazów przez $a$ i $r$, 2 pkt — warunek geometryczny i $r=2a$, 3 pkt — równanie z sumą, 4 pkt — $x=3$, $y=9$, $z=27$. ✎ Samoocena wg schematu punktowania — ile punktów zdobył(a)byś? 0 1 2 3 4 / 4 pkt
PR05.5 otwarte ★★★ 0–4 pkt 🔗 Ciąg arytmetyczny $(a_n)$ ma różnicę $r\ne0$ i $a_1=2$. Wyrazy $a_1$, $a_2$, $a_5$ tworzą (w tej kolejności) ciąg geometryczny. Oblicz $r$ oraz taką liczbę $n$, że suma $n$ początkowych wyrazów ciągu $(a_n)$ jest równa $200$.
▼ Pokaż rozwiązanie $(2+r)^2=2(2+4r) \Rightarrow r^2-4r=0$, $r\ne0 \Rightarrow r=4$. $a_n=4n-2$, $S_n=\frac{2+4n-2}{2}n=2n^2$. $2n^2=200 \Rightarrow n=10$. Odpowiedź: $r=4$, $n=10$
Schemat punktowania: 1 pkt — warunek $(2+r)^2=2(2+4r)$, 2 pkt — $r=4$, 3 pkt — $S_n=2n^2$, 4 pkt — $n=10$. ✎ Samoocena wg schematu punktowania — ile punktów zdobył(a)byś? 0 1 2 3 4 / 4 pkt
PR05.6 otwarte ★★★ 0–4 pkt 🔗 Liczby $a,b,c$ tworzą ciąg geometryczny, a ich suma jest równa $26$. Liczby $a+1,\ b+6,\ c+3$ tworzą ciąg arytmetyczny. Wyznacz $a,b,c$.
▼ Pokaż rozwiązanie Arytmetyczny: $2(b+6)=a+1+c+3 \Rightarrow a+c=2b+8$. Z sumą: $3b+8=26 \Rightarrow b=6$, $a+c=20$. Geometryczny: $ac=36$. $a,c$ — pierwiastki $t^2-20t+36=0$: $2$ i $18$. $(2,6,18)$ → $(3,12,21)$ ✓; $(18,6,2)$ → $(19,12,5)$ ✓. Odpowiedź: $(2,6,18)$ lub $(18,6,2)$
Schemat punktowania: 1 pkt — warunek arytmetyczny, 2 pkt — $b=6$, 3 pkt — układ $a+c=20$, $ac=36$, 4 pkt — obie trójki. ✎ Samoocena wg schematu punktowania — ile punktów zdobył(a)byś? 0 1 2 3 4 / 4 pkt
PR05.7 otwarte ★★★ 0–3 pkt 🔗 Zbadaj monotoniczność ciągu $a_n=\dfrac{n+1}{2n+3}$, $n\ge1$.
▼ Pokaż rozwiązanie $a_{n+1}-a_n=\frac{n+2}{2n+5}-\frac{n+1}{2n+3}=\frac{(n+2)(2n+3)-(n+1)(2n+5)}{(2n+5)(2n+3)}$. Licznik: $2n^2+7n+6-(2n^2+7n+5)=1$. $a_{n+1}-a_n=\frac{1}{(2n+5)(2n+3)}\gt 0$ — ciąg rosnący. Odpowiedź: ciąg rosnący
Schemat punktowania: 1 pkt — zapis różnicy $a_{n+1}-a_n$, 2 pkt — sprowadzenie do wspólnego mianownika, 3 pkt — uzasadnienie znaku i wniosek. ✎ Samoocena wg schematu punktowania — ile punktów zdobył(a)byś? 0 1 2 3 / 3 pkt
PR05.8 otwarte ★★★ 0–3 pkt 🔗 Ciąg $(a_n)$ jest określony rekurencyjnie: $a_1=2$, $a_{n+1}=a_n+2n$ dla $n\ge1$. Wyznacz wzór ogólny ciągu i oblicz $a_{10}$.
▼ Pokaż rozwiązanie $a_n=a_1+2\cdot1+2\cdot2+\dots+2(n-1)=2+2\cdot\frac{(n-1)n}{2}=n^2-n+2$. $a_{10}=100-10+2=92$. Odpowiedź: $a_n=n^2-n+2$, $a_{10}=92$
Schemat punktowania: 1 pkt — zapis $a_n$ jako sumy przyrostów, 2 pkt — wzór $n^2-n+2$, 3 pkt — $a_{10}=92$. ✎ Samoocena wg schematu punktowania — ile punktów zdobył(a)byś? 0 1 2 3 / 3 pkt
PR05.9 otwarte ★★★ 0–3 pkt 🔗 Na początku każdego roku przez $10$ lat wpłacamy na konto $1000$ zł. Oprocentowanie wynosi $5\%$ w skali roku, odsetki są kapitalizowane na koniec roku. Oblicz stan konta na koniec dziesiątego roku (wynik zaokrąglij do grosza).
▼ Pokaż rozwiązanie Wpłata z początku roku $k$ rośnie przez $11-k$ lat: $1000\cdot1{,}05^{11-k}$. Suma: $1000(1{,}05+1{,}05^2+\dots+1{,}05^{10})=1000\cdot1{,}05\cdot\frac{1{,}05^{10}-1}{0{,}05}$. $1{,}05^{10}\approx1{,}628895$, więc $\approx1000\cdot1{,}05\cdot12{,}5779=13\,206{,}79$ zł. Odpowiedź: $13\,206{,}79$ zł
Schemat punktowania: 1 pkt — zapis sumy jako ciągu geometrycznego, 2 pkt — zastosowanie wzoru na sumę, 3 pkt — wynik $13\,206{,}79$ zł. ✎ Samoocena wg schematu punktowania — ile punktów zdobył(a)byś? 0 1 2 3 / 3 pkt
PR05.10 otwarte ★★★ 0–3 pkt 🔗 Suma trzech początkowych wyrazów ciągu geometrycznego jest równa $21$, a ich iloczyn $216$. Wyznacz te wyrazy.
▼ Pokaż rozwiązanie $a_1a_2a_3=a_2^3=216 \Rightarrow a_2=6$. $a_1+a_3=15$, $a_1a_3=a_2^2=36$ — pierwiastki $t^2-15t+36=0$: $3$ i $12$. $(3,6,12)$, $q=2$ lub $(12,6,3)$, $q=\frac12$. Odpowiedź: $(3,6,12)$ lub $(12,6,3)$
Schemat punktowania: 1 pkt — $a_2=6$, 2 pkt — układ $a_1+a_3=15$, $a_1a_3=36$, 3 pkt — oba ciągi. ✎ Samoocena wg schematu punktowania — ile punktów zdobył(a)byś? 0 1 2 3 / 3 pkt
PR05.11 zamknięte ★★★ 0–1 pkt 🔗 W ciągu arytmetycznym $a_3=7$ i $a_5=13$. Różnica $r$ tego ciągu jest równa
▼ Pokaż rozwiązanie $a_5-a_3=2r$. $2r=13-7=6\Rightarrow r=3$. Odpowiedź: A
Dlaczego nie pozostałe? B nie dzieli przez $2$, C to błędne odczytanie, D to średnia $a_3$ i $a_5$.
PR05.12 zamknięte ★★★ 0–1 pkt 🔗 W ciągu geometrycznym $a_2=6$ i $q=-2$. Wyraz $a_4$ jest równy
▼ Pokaż rozwiązanie $a_4=a_2\cdot q^2$. $6\cdot(-2)^2=6\cdot4=24$. Odpowiedź: B
Dlaczego nie pozostałe? A mnoży przez $q^3$ lub gubi kwadrat, C to $a_3$, D mnoży przez $|q|$ tylko raz.
PR05.13 zamknięte ★★★ 0–1 pkt 🔗 Suma $1+2+\dots+10$ jest równa
▼ Pokaż rozwiązanie $\tfrac{1+10}{2}\cdot10=55$. Odpowiedź: C
Dlaczego nie pozostałe? A pomija składnik.
PR05.14 zamknięte ★★★ 0–1 pkt 🔗 Liczby $x-1$, $x+1$, $x+7$ (w tej kolejności) tworzą ciąg geometryczny. Liczba $x$ jest równa
▼ Pokaż rozwiązanie Warunek: $(x+1)^2=(x-1)(x+7)$. $x^2+2x+1=x^2+6x-7\Rightarrow 4x=8\Rightarrow x=2$. Sprawdzenie: $1, 3, 9$ — ciąg geometryczny o ilorazie $3$. Odpowiedź: D
Dlaczego nie pozostałe? A, B, C nie spełniają warunku $(x+1)^2=(x-1)(x+7)$ — sprawdź podstawieniem.
PR05.15 odpowiedź krótka ★★★ 0–1 pkt 🔗 W ciągu arytmetycznym $a_1=3$, $r=4$. Oblicz sumę $S_5$.
▼ Pokaż rozwiązanie $a_5=3+16=19$. $S_5=\tfrac{3+19}{2}\cdot5=55$. Odpowiedź: $55$
✎ Samoocena wg schematu punktowania — ile punktów zdobył(a)byś? 0 1 / 1 pkt
← PR04 Wielomiany i nierówności wymierne Wszystkie klucze
PR06 Szereg geometryczny nieskończony →
Pobierz PDF — matura rozszerzona
