Okrąg w układzie współrzędnych — klucz maturalny, poziom rozszerzony

1. $(x-2)^2-4+(y+3)^2-9-12=0 \Rightarrow (x-2)^2+(y+3)^2=25$.

Odpowiedź: $S=(2,-3)$, $r=5$

1. $(x-1)^2+(y+2)^2=5-m$; okrąg, gdy $5-m\gt 0$.

Odpowiedź: $m\lt 5$

1. $r=d(S,l)=\frac{|12+3+10|}{5}=5$.
2. $(x-3)^2+(y+1)^2=25$.

Odpowiedź: $(x-3)^2+(y+1)^2=25$

1. $x^2+(x+1)^2=25 \Rightarrow x^2+x-12=0 \Rightarrow x=3$ lub $x=-4$.
2. Punkty $(3,4)$, $(-4,-3)$; długość $\sqrt{49+49}=7\sqrt2$.

Odpowiedź: $(3,4)$, $(-4,-3)$; $7\sqrt2$

1. $S_1=(1,2)$, $r_1=2$; $S_2=(4,6)$, $r_2=3$; $|S_1S_2|=\sqrt{9+16}=5=r_1+r_2$ — styczne zewnętrznie.
2. Punkt styczności leży na odcinku $S_1S_2$ w odległości $2$ od $S_1$: $S_1+\frac25[3,4]=\left(\frac{11}5,\frac{18}5\right)$.

Odpowiedź: styczne zewnętrznie w punkcie $\left(\tfrac{11}5,\tfrac{18}5\right)$

1. Odejmujemy: $x^2+y^2-\big[(x-4)^2+(y-2)^2\big]=0 \Rightarrow 8x+4y-20=0 \Rightarrow y=5-2x$.
2. $x^2+(5-2x)^2=10 \Rightarrow x^2-4x+3=0 \Rightarrow x=1$ lub $x=3$.
3. $A=(1,3)$, $B=(3,-1)$; prosta $AB$: $y=-2x+5$.

Odpowiedź: $A=(1,3)$, $B=(3,-1)$; $y=-2x+5$

1. Kąt $BAC$ jest prosty, więc $BC$ jest średnicą. Środek: $(3,4)$, $r=\frac{|BC|}2=5$.
2. $(x-3)^2+(y-4)^2=25$.

Odpowiedź: $(x-3)^2+(y-4)^2=25$

1. $|OP|=\sqrt{10}\gt \sqrt5$ — punkt zewnętrzny. Prosta pionowa $x=3$ ma odległość $3\ne\sqrt5$ — nie jest styczna.
2. $y-1=m(x-3)$, czyli $mx-y+1-3m=0$. Styczność: $\frac{|1-3m|}{\sqrt{m^2+1}}=\sqrt5$.
3. $(1-3m)^2=5(m^2+1) \Rightarrow 4m^2-6m-4=0 \Rightarrow m=2$ lub $m=-\frac12$.
4. $y=2x-5$ oraz $y=-\frac12x+\frac52$.

Odpowiedź: $y=2x-5$ oraz $y=-\tfrac12x+\tfrac52$

1. Środek leży na symetralnej $AB$: środek odcinka $(2,1)$, $a_{AB}=1$, symetralna $y=-x+3$.
2. $x+1=-x+3 \Rightarrow x=1$, $S=(1,2)$.
3. $r^2=|SA|^2=0+4=4$ (kontrola $|SB|^2=4+0$ ✓).

Odpowiedź: $(x-1)^2+(y-2)^2=4$

1. $x^2=x+2 \Rightarrow x=2$ lub $x=-1$: $A=(-1,1)$, $B=(2,4)$.
2. Środek: $\left(\frac12,\frac52\right)$, $r^2=\frac{|AB|^2}4=\frac{9+9}4=\frac92$.
3. Oś $Oy$ ($x=0$): $\frac14+\left(y-\frac52\right)^2=\frac92 \Rightarrow \left(y-\frac52\right)^2=\frac{17}4$.
4. $y=\frac{5\pm\sqrt{17}}2$.

Odpowiedź: $\left(x-\tfrac12\right)^2+\left(y-\tfrac52\right)^2=\tfrac92$; $\left(0,\tfrac{5\pm\sqrt{17}}2\right)$

1. $a=2$, $b=3$.

Odpowiedź: A

Dlaczego nie pozostałe? B myli znaki.

1. Uzupełnij do kwadratów: $(x-3)^2-9+(y+4)^2-16=0$.
2. $(x-3)^2+(y+4)^2=25\Rightarrow r=5$.

Odpowiedź: B

Dlaczego nie pozostałe? A to $r^2$, C to średnica, D bierze sumę współczynników.

1. $(x+2)^2-4+(y-5)^2-25+4=0\Rightarrow(x+2)^2+(y-5)^2=25$.
2. Środek: $(-2,5)$.

Odpowiedź: C

Dlaczego nie pozostałe? A ma zamienione znaki, B i D nie dzielą współczynników przez $-2$.

1. $r=|SA|=\sqrt{3^2+4^2}=5$.
2. $(x-2)^2+(y+1)^2=25$.

Odpowiedź: D

Dlaczego nie pozostałe? A ma złe znaki środka, B wstawia $r$ zamiast $r^2$, C bierze środek w punkcie $A$.

1. $a=4$, $b=-1$, $r=7$.

Odpowiedź: środek $(4,-1)$, $r=7$