Strona główna › Poradnik maturalny › Matura rozszerzona › PR12 PR12 Planimetria z twierdzeniem sinusów i cosinusów — klucz maturalny, poziom rozszerzony 🔑 Sygnał: Bok–kąt–bok → cosinusów; kąt naprzeciw boku + $R$ → sinusów. Sinus kąta daje dwa kąty.
🔒
Zaloguj się , aby zapisywać wyniki zadań tego klucza na swoim koncie.
Teoria Wzory Algorytm Pułapki Przykład Ślad w CKE Zadania (15)
🎯 Co musisz umieć stosować twierdzenie cosinusów (także do wyznaczania kąta) i twierdzenie sinusów ($2R$), obliczać pola: $\frac12ab\sin\gamma$, $\frac{abc}{4R}$, $pr$ (Heron — gdy wygodny), rozpoznawać przypadki niejednoznaczne (dwa trójkąty, $\sin\gamma$ dla $\gamma$ ostrego i rozwartego), wyznaczać długość środkowej, dwusiecznej (metodą pól), przekątnych równoległoboku. 🔍 Jak rozpoznać zadanie dwa boki i kąt → tw. cosinusów; bok i dwa kąty → tw. sinusów, „okrąg opisany” → $2R=\frac{a}{\sin\alpha}$; „okrąg wpisany” → $r=\frac Pp$, „pole trójkąta jest równe … oblicz trzeci bok” → dwa przypadki kąta.
📘 Teoria w pigułce Tw. cosinusów: $a^2=b^2+c^2-2bc\cos\alpha$, więc $\cos\alpha=\dfrac{b^2+c^2-a^2}{2bc}$. Tw. sinusów: $\dfrac a{\sin\alpha}=\dfrac b{\sin\beta}=\dfrac c{\sin\gamma}=2R$. $P=\frac12ab\sin\gamma=\frac{abc}{4R}=pr$, gdzie $p$ — połowa obwodu. $\sin\gamma=\frac{\sqrt3}2$ daje $\gamma=60^\circ$ lub $120^\circ$ — rozważ oba przypadki. Przekątne równoległoboku: $d_1^2+d_2^2=2(a^2+b^2)$; środkowa: $m_a^2=\frac{2b^2+2c^2-a^2}{4}$. ⚙️ Algorytm krok po kroku Rysunek z oznaczeniami; zaznacz dane i szukane. Wybierz trójkąt, w którym są trzy dane (bok–kąt–bok, bok–bok–bok, bok–kąt–kąt). Zastosuj tw. cosinusów/sinusów; przy równaniu kwadratowym sprawdź oba pierwiastki. Pola i promienie licz na końcu z gotowych długości. ✍️ Przykład wzorcowy typ zadań 8 (2023), 11 (2026)
W trójkącie $ABC$ dane są $|AC|=7$, $|BC|=8$ oraz $|\angle ABC|=60^\circ$. Oblicz długość boku $AB$ i pole trójkąta. Rozważ wszystkie przypadki.
▼ Pokaż rozwiązanie
Tw. cosinusów dla boku $AC$ (naprzeciw kąta $B$): $49=c^2+64-2\cdot8c\cdot\frac12 \Rightarrow c^2-8c+15=0$. $c=3$ lub $c=5$ — oba dodatnie, oba spełniają nierówność trójkąta. $P=\frac12\cdot8\cdot c\cdot\sin60^\circ=2\sqrt3\,c$: $6\sqrt3$ lub $10\sqrt3$. Odpowiedź: $|AB|=3$, $P=6\sqrt3$ lub $|AB|=5$, $P=10\sqrt3$
Jak CKE przyznaje punkty: 1 pkt — zapis tw. cosinusów, 2 pkt — równanie $c^2-8c+15=0$, 3 pkt — $c=3$ lub $c=5$, 4 pkt — oba pola. 📊 Ślad w prawdziwych arkuszach CKE
Zadania autentyczne. Niżej są prawdziwe zadania z arkuszy CKE — numer i punktacja zgodne z oryginalnym arkuszem. Kliknij rok, aby otworzyć cały arkusz.
✍️ Trening: 15 zadań w formacie maturalnym
Zadania autorskie. To nie są przedruki z arkuszy — ułożyliśmy je w formacie maturalnym, na wzorów z tabeli „Ślad w arkuszach CKE” powyżej. Typ, punktacja i poziom trudności odpowiadają realnym zadaniom egzaminacyjnym.
Zadania zamknięte sprawdzają się po kliknięciu odpowiedzi (jedna próba). W otwartych porównaj swoje rozwiązanie z wzorcowym i wystaw samoocenę według schematu punktowania — wynik zapisze się na koncie.
PR12.1 odpowiedź krótka ★★★ 0–2 pkt 🔗 W trójkącie dwa boki mają długości $7$ i $8$, a kąt między nimi ma miarę $120^\circ$. Oblicz długość trzeciego boku.
▼ Pokaż rozwiązanie $c^2=49+64-2\cdot7\cdot8\cdot\left(-\frac12\right)=113+56=169$, $c=13$. Odpowiedź: $13$
✎ Samoocena wg schematu punktowania — ile punktów zdobył(a)byś? 0 1 2 / 2 pkt
PR12.2 odpowiedź krótka ★★★ 0–2 pkt 🔗 W trójkącie bok $a=6$ leży naprzeciw kąta $\alpha=45^\circ$. Oblicz promień okręgu opisanego na tym trójkącie.
▼ Pokaż rozwiązanie $2R=\frac{6}{\sin45^\circ}=\frac{6}{\frac{\sqrt2}2}=6\sqrt2$, $R=3\sqrt2$. Odpowiedź: $3\sqrt2$
✎ Samoocena wg schematu punktowania — ile punktów zdobył(a)byś? 0 1 2 / 2 pkt
PR12.3 otwarte ★★★ 0–3 pkt 🔗 Trójkąt ma boki długości $5$, $7$ i $8$. Oblicz miarę kąta leżącego naprzeciw boku długości $7$ oraz pole trójkąta.
▼ Pokaż rozwiązanie $\cos\alpha=\frac{25+64-49}{2\cdot5\cdot8}=\frac{40}{80}=\frac12 \Rightarrow \alpha=60^\circ$. $P=\frac12\cdot5\cdot8\cdot\sin60^\circ=10\sqrt3$. Odpowiedź: $60^\circ$, $P=10\sqrt3$
Schemat punktowania: 1 pkt — zapis tw. cosinusów, 2 pkt — kąt $60^\circ$, 3 pkt — pole $10\sqrt3$. ✎ Samoocena wg schematu punktowania — ile punktów zdobył(a)byś? 0 1 2 3 / 3 pkt
PR12.4 otwarte ★★★ 0–3 pkt 🔗 W trójkącie $ABC$: $|BC|=10$, $|\angle BAC|=30^\circ$, $|\angle ABC|=45^\circ$. Oblicz długości boków $AC$ i $AB$.
▼ Pokaż rozwiązanie $\frac{|AC|}{\sin45^\circ}=\frac{10}{\sin30^\circ}=20 \Rightarrow |AC|=20\cdot\frac{\sqrt2}2=10\sqrt2$. $|\angle C|=105^\circ$, $\sin105^\circ=\frac{\sqrt6+\sqrt2}4$. $|AB|=20\sin105^\circ=5(\sqrt6+\sqrt2)$. Odpowiedź: $|AC|=10\sqrt2$, $|AB|=5(\sqrt6+\sqrt2)$
Schemat punktowania: 1 pkt — tw. sinusów ($2R=20$), 2 pkt — $|AC|=10\sqrt2$, 3 pkt — $|AB|=5(\sqrt6+\sqrt2)$. ✎ Samoocena wg schematu punktowania — ile punktów zdobył(a)byś? 0 1 2 3 / 3 pkt
PR12.5 otwarte ★★★ 0–4 pkt 🔗 W trójkącie równobocznym $ABC$ o boku $6$ punkt $D$ leży na boku $BC$ i $|BD|=2$. Oblicz $|AD|$ oraz $\sin\angle BAD$.
▼ Pokaż rozwiązanie $\triangle ABD$: $|AD|^2=36+4-2\cdot6\cdot2\cdot\frac12=28$, $|AD|=2\sqrt7$. Tw. sinusów: $\frac{|BD|}{\sin\angle BAD}=\frac{|AD|}{\sin60^\circ} \Rightarrow \sin\angle BAD=\frac{2\cdot\frac{\sqrt3}2}{2\sqrt7}=\frac{\sqrt3}{2\sqrt7}=\frac{\sqrt{21}}{14}$. Odpowiedź: $|AD|=2\sqrt7$, $\sin\angle BAD=\tfrac{\sqrt{21}}{14}$
Schemat punktowania: 1 pkt — tw. cosinusów w $\triangle ABD$, 2 pkt — $|AD|=2\sqrt7$, 3 pkt — zapis tw. sinusów, 4 pkt — $\sin\angle BAD=\frac{\sqrt{21}}{14}$. ✎ Samoocena wg schematu punktowania — ile punktów zdobył(a)byś? 0 1 2 3 4 / 4 pkt
PR12.6 otwarte ★★★ 0–3 pkt 🔗 Równoległobok ma boki długości $5$ i $8$ oraz kąt ostry $60^\circ$. Oblicz długości jego przekątnych.
▼ Pokaż rozwiązanie Krótsza przekątna (naprzeciw $60^\circ$): $d_1^2=25+64-40=49$, $d_1=7$. Dłuższa (naprzeciw $120^\circ$): $d_2^2=25+64+40=129$, $d_2=\sqrt{129}$. Kontrola: $49+129=178=2(25+64)$ ✓. Odpowiedź: $7$ i $\sqrt{129}$
Schemat punktowania: 1 pkt — tw. cosinusów dla jednej przekątnej, 2 pkt — $d_1=7$, 3 pkt — $d_2=\sqrt{129}$. ✎ Samoocena wg schematu punktowania — ile punktów zdobył(a)byś? 0 1 2 3 / 3 pkt
PR12.7 otwarte ★★★ 0–4 pkt 🔗 Pole trójkąta jest równe $12\sqrt3$, a dwa jego boki mają długości $6$ i $8$. Oblicz długość trzeciego boku. Rozważ wszystkie przypadki.
▼ Pokaż rozwiązanie $\frac12\cdot6\cdot8\sin\gamma=12\sqrt3 \Rightarrow \sin\gamma=\frac{\sqrt3}2 \Rightarrow \gamma=60^\circ$ lub $120^\circ$. $\gamma=60^\circ$: $c^2=36+64-48=52$, $c=2\sqrt{13}$. $\gamma=120^\circ$: $c^2=100+48=148$, $c=2\sqrt{37}$. Odpowiedź: $2\sqrt{13}$ lub $2\sqrt{37}$
Schemat punktowania: 1 pkt — $\sin\gamma=\frac{\sqrt3}{2}$, 2 pkt — dwa kąty $60^\circ$ i $120^\circ$, 3 pkt — jeden przypadek, 4 pkt — oba przypadki. ✎ Samoocena wg schematu punktowania — ile punktów zdobył(a)byś? 0 1 2 3 4 / 4 pkt
PR12.8 otwarte ★★★ 0–4 pkt 🔗 W trójkącie $ABC$: $|AB|=8$, $|AC|=5$, $|\angle BAC|=60^\circ$. Oblicz długość dwusiecznej $AD$ kąta $BAC$.
▼ Pokaż rozwiązanie $P_{ABC}=\frac12\cdot8\cdot5\cdot\sin60^\circ=10\sqrt3$. Dwusieczna dzieli trójkąt na dwa o kątach $30^\circ$ przy $A$: $P=\frac12\cdot8\cdot d\cdot\frac12+\frac12\cdot5\cdot d\cdot\frac12=\frac{13d}4$. $\frac{13d}{4}=10\sqrt3 \Rightarrow d=\frac{40\sqrt3}{13}$. Odpowiedź: $|AD|=\tfrac{40\sqrt3}{13}$
Schemat punktowania: 1 pkt — pole trójkąta $ABC$, 2 pkt — zapis pola jako sumy pól z dwusieczną, 3 pkt — równanie z $d$, 4 pkt — $d=\frac{40\sqrt3}{13}$. ✎ Samoocena wg schematu punktowania — ile punktów zdobył(a)byś? 0 1 2 3 4 / 4 pkt
PR12.9 otwarte ★★★ 0–4 pkt 🔗 W trójkącie $ABC$: $|AB|=6$, $|AC|=4$, a środkowa $AM$ ma długość $\sqrt{19}$. Oblicz $|BC|$ i miarę kąta $BAC$.
▼ Pokaż rozwiązanie $m_a^2=\frac{2b^2+2c^2-a^2}4 \Rightarrow 19=\frac{32+72-a^2}4 \Rightarrow a^2=28$, $a=2\sqrt7$. $\cos\angle A=\frac{36+16-28}{2\cdot6\cdot4}=\frac{24}{48}=\frac12 \Rightarrow 60^\circ$. Odpowiedź: $|BC|=2\sqrt7$, $|\angle BAC|=60^\circ$
Schemat punktowania: 1 pkt — wzór na środkową (lub tw. cosinusów w dwóch trójkątach), 2 pkt — $|BC|=2\sqrt7$, 3 pkt — $\cos\angle A=\frac12$, 4 pkt — kąt $60^\circ$. ✎ Samoocena wg schematu punktowania — ile punktów zdobył(a)byś? 0 1 2 3 4 / 4 pkt
PR12.10 otwarte ★★★ 0–5 pkt 🔗 W trójkącie $ABC$: $|AB|=5$, $|BC|=8$, $|CA|=7$. Oblicz miarę kąta $ABC$, pole trójkąta, promienie okręgów opisanego i wpisanego oraz wysokość opuszczoną z wierzchołka $A$.
▼ Pokaż rozwiązanie $\cos\angle B=\frac{25+64-49}{80}=\frac12 \Rightarrow 60^\circ$. $P=\frac12\cdot5\cdot8\cdot\frac{\sqrt3}2=10\sqrt3$. $2R=\frac{7}{\sin60^\circ} \Rightarrow R=\frac7{\sqrt3}=\frac{7\sqrt3}3$. $p=10$, $r=\frac Pp=\sqrt3$. $h_A=\frac{2P}{|BC|}=\frac{20\sqrt3}8=\frac{5\sqrt3}2$. Odpowiedź: $60^\circ$; $P=10\sqrt3$; $R=\tfrac{7\sqrt3}3$; $r=\sqrt3$; $h_A=\tfrac{5\sqrt3}{2}$
Schemat punktowania: 1 pkt — kąt $60^\circ$, 2 pkt — pole, 3 pkt — $R$, 4 pkt — $r$, 5 pkt — wysokość $h_A$. ✎ Samoocena wg schematu punktowania — ile punktów zdobył(a)byś? 0 1 2 3 4 5 / 5 pkt
PR12.11 zamknięte ★★★ 0–1 pkt 🔗 W trójkącie o bokach $a=3$, $b=4$ i kącie $\gamma=90^\circ$ bok $c$ jest równy
▼ Pokaż rozwiązanie $c^2=9+16=25$. Odpowiedź: A
Dlaczego nie pozostałe? C to $c^2$.
PR12.12 zamknięte ★★★ 0–1 pkt 🔗 W trójkącie o bokach $a$, $b$ i kącie $\gamma$ zawartym między nimi długość trzeciego boku $c$ spełnia
A $c^2=a^2+b^2+2ab\cos\gamma$
B $c^2=a^2+b^2-2ab\cos\gamma$
C $c=a+b-2ab\cos\gamma$
D $c^2=a^2-b^2-2ab\cos\gamma$
▼ Pokaż rozwiązanie Twierdzenie cosinusów: $c^2=a^2+b^2-2ab\cos\gamma$ (dla $\gamma=90^\circ$ daje twierdzenie Pitagorasa). Odpowiedź: B
Dlaczego nie pozostałe? A ma zły znak, C nie podnosi do kwadratu, D odejmuje $b^2$.
PR12.13 zamknięte ★★★ 0–1 pkt 🔗 W trójkącie $a=2$, $b=2$, $\gamma=60^\circ$ bok $c$ jest równy
▼ Pokaż rozwiązanie $c^2=4+4-2\cdot2\cdot2\cdot\tfrac12=4$. Odpowiedź: C
Dlaczego nie pozostałe? B pomija $-2ab\cos\gamma$.
PR12.14 zamknięte ★★★ 0–1 pkt 🔗 W trójkącie kąt $\alpha=45^\circ$, a bok leżący naprzeciw niego ma długość $a=6\sqrt2$. Promień $R$ okręgu opisanego na tym trójkącie jest równy
A $12$
B $3\sqrt2$
C $6\sqrt2$
D $6$
▼ Pokaż rozwiązanie Twierdzenie sinusów: $\dfrac{a}{\sin\alpha}=2R$. $2R=\dfrac{6\sqrt2}{\frac{\sqrt2}{2}}=12\Rightarrow R=6$. Odpowiedź: D
Dlaczego nie pozostałe? A to średnica $2R$, B dzieli $a$ przez $2$, C utożsamia $R$ z bokiem.
PR12.15 odpowiedź krótka ★★★ 0–1 pkt 🔗 W trójkącie $a=5$, $b=12$, $\gamma=90^\circ$. Oblicz bok $c$.
▼ Pokaż rozwiązanie $c^2=25+144=169$, $c=13$. Odpowiedź: $13$
✎ Samoocena wg schematu punktowania — ile punktów zdobył(a)byś? 0 1 / 1 pkt
← PR11 Równania trygonometryczne Wszystkie klucze
PR13 Okręgi i czworokąty wpisane/opisane →
Pobierz PDF — matura rozszerzona
