Strona główna › Poradnik maturalny › Matura rozszerzona › PR10 PR10 Tożsamości trygonometryczne — klucz maturalny, poziom rozszerzony 🔑 Sygnał: Rozpisz kąty podwojone, sumy zamień na iloczyny, wszystko przez sin i cos.
🔒
Zaloguj się , aby zapisywać wyniki zadań tego klucza na swoim koncie.
Teoria Wzory Algorytm Pułapki Przykład Ślad w CKE Zadania (15)
🎯 Co musisz umieć stosować wzory na $\sin(\alpha\pm\beta)$, $\cos(\alpha\pm\beta)$ i funkcje kąta podwojonego, stosować wzory na sumę i różnicę sinusów/cosinusów (tablice CKE), wykazywać tożsamości z uwzględnieniem dziedziny, wyznaczać wartości funkcji trygonometrycznych kątów $15^\circ$, $75^\circ$, $105^\circ$. 🔍 Jak rozpoznać zadanie „Wykaż, że dla każdego kąta $\alpha$…” z $\sin2\alpha$, $\cos2\alpha$, iloczyn $\sin a\cos b$ lub suma $\sin a+\sin b$ w równaniu, dane $\sin\alpha$ i $\cos\beta$, szukane $\sin(\alpha+\beta)$.
📘 Teoria w pigułce $\sin2\alpha=2\sin\alpha\cos\alpha$; $\cos2\alpha=\cos^2\alpha-\sin^2\alpha=1-2\sin^2\alpha=2\cos^2\alpha-1$. $\sin(\alpha\pm\beta)=\sin\alpha\cos\beta\pm\cos\alpha\sin\beta$; $\cos(\alpha\pm\beta)=\cos\alpha\cos\beta\mp\sin\alpha\sin\beta$. $\sin a+\sin b=2\sin\frac{a+b}2\cos\frac{a-b}2$, $\sin a-\sin b=2\cos\frac{a+b}2\sin\frac{a-b}2$; odwrotnie: $2\sin a\cos b=\sin(a+b)+\sin(a-b)$. Z $\operatorname{tg}\alpha$: $\sin2\alpha=\frac{2\operatorname{tg}\alpha}{1+\operatorname{tg}^2\alpha}$, $\cos2\alpha=\frac{1-\operatorname{tg}^2\alpha}{1+\operatorname{tg}^2\alpha}$. Tożsamość dowodzimy, przekształcając jedną stronę do drugiej (lub obie do wspólnej postaci); podaj założenia (mianowniki $\ne0$). ⚙️ Algorytm krok po kroku Sprowadź do jednego kąta (rozpisz $2\alpha$, $3\alpha$) albo zamień sumy na iloczyny. Wyrażaj wszystko przez $\sin$ i $\cos$; stosuj jedynkę trygonometryczną. Przy ułamkach — skracaj wspólne czynniki (po zapisaniu założeń). Przy wartościach: ustal znaki funkcji z ćwiartki kąta. ✍️ Przykład wzorcowy narzędzie z zadań 6 (2023), 8 (2024), 7 (2026)
Wykaż, że dla każdego kąta $\alpha$ takiego, że $\cos\alpha\ne0$ i $\cos2\alpha\ne-1$, prawdziwa jest równość $\dfrac{\sin2\alpha}{1+\cos2\alpha}=\operatorname{tg}\alpha$.
▼ Pokaż rozwiązanie
$1+\cos2\alpha=1+2\cos^2\alpha-1=2\cos^2\alpha$. $\dfrac{\sin2\alpha}{1+\cos2\alpha}=\dfrac{2\sin\alpha\cos\alpha}{2\cos^2\alpha}=\dfrac{\sin\alpha}{\cos\alpha}=\operatorname{tg}\alpha$. $\blacksquare$ Odpowiedź: dowód
Jak CKE przyznaje punkty: 1 pkt — zastosowanie $\cos2\alpha=2\cos^2\alpha-1$, 2 pkt — rozpisanie $\sin2\alpha$ i skrócenie, 3 pkt — pełne uzasadnienie. 📊 Ślad w prawdziwych arkuszach CKE
Zadania autentyczne. Niżej są prawdziwe zadania z arkuszy CKE — numer i punktacja zgodne z oryginalnym arkuszem. Kliknij rok, aby otworzyć cały arkusz.
✍️ Trening: 15 zadań w formacie maturalnym
Zadania autorskie. To nie są przedruki z arkuszy — ułożyliśmy je w formacie maturalnym, na wzorów z tabeli „Ślad w arkuszach CKE” powyżej. Typ, punktacja i poziom trudności odpowiadają realnym zadaniom egzaminacyjnym.
Zadania zamknięte sprawdzają się po kliknięciu odpowiedzi (jedna próba). W otwartych porównaj swoje rozwiązanie z wzorcowym i wystaw samoocenę według schematu punktowania — wynik zapisze się na koncie.
PR10.1 odpowiedź krótka ★★★ 0–2 pkt 🔗 ▼ Pokaż rozwiązanie $\sin(45^\circ+30^\circ)=\frac{\sqrt2}2\cdot\frac{\sqrt3}2+\frac{\sqrt2}2\cdot\frac12=\frac{\sqrt6+\sqrt2}4$. Odpowiedź: $\tfrac{\sqrt6+\sqrt2}{4}$
✎ Samoocena wg schematu punktowania — ile punktów zdobył(a)byś? 0 1 2 / 2 pkt
PR10.2 odpowiedź krótka ★★★ 0–2 pkt 🔗 Wiadomo, że $\sin\alpha=\tfrac13$. Oblicz $\cos2\alpha$.
▼ Pokaż rozwiązanie $\cos2\alpha=1-2\sin^2\alpha=1-\frac29=\frac79$. Odpowiedź: $\tfrac79$
✎ Samoocena wg schematu punktowania — ile punktów zdobył(a)byś? 0 1 2 / 2 pkt
PR10.3 odpowiedź krótka ★★★ 0–2 pkt 🔗 ▼ Pokaż rozwiązanie $\sin^215^\circ=\frac{1-\cos30^\circ}{2}=\frac{1-\frac{\sqrt3}2}{2}=\frac{2-\sqrt3}4$. Odpowiedź: $\tfrac{2-\sqrt3}{4}$
✎ Samoocena wg schematu punktowania — ile punktów zdobył(a)byś? 0 1 2 / 2 pkt
PR10.4 otwarte ★★★ 0–2 pkt 🔗 Wykaż, że dla każdego kąta $\alpha$ prawdziwa jest równość $(\sin\alpha+\cos\alpha)^2-1=\sin2\alpha$.
▼ Pokaż rozwiązanie $(\sin\alpha+\cos\alpha)^2-1=\sin^2\alpha+2\sin\alpha\cos\alpha+\cos^2\alpha-1=2\sin\alpha\cos\alpha=\sin2\alpha$. $\blacksquare$ Odpowiedź: dowód
Schemat punktowania: 1 pkt — rozwinięcie kwadratu i jedynka trygonometryczna, 2 pkt — wniosek. ✎ Samoocena wg schematu punktowania — ile punktów zdobył(a)byś? 0 1 2 / 2 pkt
PR10.5 otwarte ★★★ 0–3 pkt 🔗 Wykaż, że dla każdego kąta $\alpha$, dla którego $\sin2\alpha\ne0$, prawdziwa jest równość $\dfrac{1-\cos2\alpha}{\sin2\alpha}=\operatorname{tg}\alpha$.
▼ Pokaż rozwiązanie $1-\cos2\alpha=2\sin^2\alpha$, $\sin2\alpha=2\sin\alpha\cos\alpha$ (przy czym $\sin\alpha\ne0$, $\cos\alpha\ne0$). $\frac{2\sin^2\alpha}{2\sin\alpha\cos\alpha}=\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}=\operatorname{tg}\alpha$. $\blacksquare$ Odpowiedź: dowód
Schemat punktowania: 1 pkt — zapis $1-\cos2\alpha=2\sin^2\alpha$, 2 pkt — rozpisanie $\sin2\alpha$, 3 pkt — skrócenie z komentarzem i wniosek. ✎ Samoocena wg schematu punktowania — ile punktów zdobył(a)byś? 0 1 2 3 / 3 pkt
PR10.6 otwarte ★★★ 0–3 pkt 🔗 Kąt $\alpha$ spełnia warunki $\operatorname{tg}\alpha=2$ oraz $\alpha\in\left(\pi,\tfrac{3\pi}2\right)$. Oblicz $\sin2\alpha$ i $\cos2\alpha$.
▼ Pokaż rozwiązanie $\sin2\alpha=\frac{2\operatorname{tg}\alpha}{1+\operatorname{tg}^2\alpha}=\frac45$, $\cos2\alpha=\frac{1-\operatorname{tg}^2\alpha}{1+\operatorname{tg}^2\alpha}=-\frac35$. Kontrola: w III ćwiartce $\sin\alpha=-\frac2{\sqrt5}$, $\cos\alpha=-\frac1{\sqrt5}$, więc $\sin2\alpha=2\cdot\frac2{5}=\frac45$ ✓. Odpowiedź: $\sin2\alpha=\tfrac45$, $\cos2\alpha=-\tfrac35$
Schemat punktowania: 1 pkt — wyznaczenie $\sin\alpha$, $\cos\alpha$ ze znakami (lub wzory z tangensem), 2 pkt — $\sin2\alpha=\frac45$, 3 pkt — $\cos2\alpha=-\frac35$. ✎ Samoocena wg schematu punktowania — ile punktów zdobył(a)byś? 0 1 2 3 / 3 pkt
PR10.7 otwarte ★★★ 0–3 pkt 🔗 Wykaż, że dla każdego $x\in\mathbb R$ prawdziwa jest równość $\sin3x=3\sin x-4\sin^3x$.
▼ Pokaż rozwiązanie $\sin3x=\sin(2x+x)=\sin2x\cos x+\cos2x\sin x$. $=2\sin x\cos^2x+(1-2\sin^2x)\sin x=2\sin x(1-\sin^2x)+\sin x-2\sin^3x$. $=3\sin x-4\sin^3x$. $\blacksquare$ Odpowiedź: dowód
Schemat punktowania: 1 pkt — rozpisanie $\sin(2x+x)$, 2 pkt — zastosowanie wzorów na $\sin2x$, $\cos2x$, 3 pkt — doprowadzenie do postaci $3\sin x-4\sin^3x$. ✎ Samoocena wg schematu punktowania — ile punktów zdobył(a)byś? 0 1 2 3 / 3 pkt
PR10.8 otwarte ★★★ 0–2 pkt 🔗 Oblicz wartość wyrażenia $\sin105^\circ-\sin15^\circ$.
▼ Pokaż rozwiązanie $\sin a-\sin b=2\cos\frac{a+b}2\sin\frac{a-b}2=2\cos60^\circ\sin45^\circ=2\cdot\frac12\cdot\frac{\sqrt2}2=\frac{\sqrt2}2$. Odpowiedź: $\tfrac{\sqrt2}{2}$
Schemat punktowania: 1 pkt — zastosowanie wzoru na różnicę sinusów, 2 pkt — wynik $\frac{\sqrt2}{2}$. ✎ Samoocena wg schematu punktowania — ile punktów zdobył(a)byś? 0 1 2 / 2 pkt
PR10.9 otwarte ★★★ 0–2 pkt 🔗 Wykaż, że dla każdego kąta $\alpha$ prawdziwa jest równość $\cos^4\alpha-\sin^4\alpha=\cos2\alpha$.
▼ Pokaż rozwiązanie $\cos^4\alpha-\sin^4\alpha=(\cos^2\alpha-\sin^2\alpha)(\cos^2\alpha+\sin^2\alpha)=\cos2\alpha\cdot1$. $\blacksquare$ Odpowiedź: dowód
Schemat punktowania: 1 pkt — różnica kwadratów, 2 pkt — jedynka i wzór na $\cos2\alpha$. ✎ Samoocena wg schematu punktowania — ile punktów zdobył(a)byś? 0 1 2 / 2 pkt
PR10.10 otwarte ★★★ 0–3 pkt 🔗 Kąty $\alpha$ i $\beta$ są ostre, $\sin\alpha=\tfrac35$ oraz $\cos\beta=\tfrac5{13}$. Oblicz $\sin(\alpha+\beta)$ i $\cos(\alpha-\beta)$.
▼ Pokaż rozwiązanie $\cos\alpha=\frac45$, $\sin\beta=\frac{12}{13}$ (kąty ostre). $\sin(\alpha+\beta)=\frac35\cdot\frac5{13}+\frac45\cdot\frac{12}{13}=\frac{15+48}{65}=\frac{63}{65}$. $\cos(\alpha-\beta)=\frac45\cdot\frac5{13}+\frac35\cdot\frac{12}{13}=\frac{20+36}{65}=\frac{56}{65}$. Odpowiedź: $\sin(\alpha+\beta)=\tfrac{63}{65}$, $\cos(\alpha-\beta)=\tfrac{56}{65}$
Schemat punktowania: 1 pkt — $\cos\alpha$ i $\sin\beta$, 2 pkt — $\sin(\alpha+\beta)$, 3 pkt — $\cos(\alpha-\beta)$. ✎ Samoocena wg schematu punktowania — ile punktów zdobył(a)byś? 0 1 2 3 / 3 pkt
PR10.11 zamknięte ★★★ 0–1 pkt 🔗 Wyrażenie $(\sin\alpha+\cos\alpha)^2-2\sin\alpha\cos\alpha$ jest równe
A $1$
B $0$
C $2\sin\alpha\cos\alpha$
D $\sin^2\alpha$
▼ Pokaż rozwiązanie $(\sin\alpha+\cos\alpha)^2=\sin^2\alpha+2\sin\alpha\cos\alpha+\cos^2\alpha$. Po odjęciu $2\sin\alpha\cos\alpha$ zostaje $\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1$. Odpowiedź: A
Dlaczego nie pozostałe? B gubi jedynkę trygonometryczną, C nie odejmuje wyrazu środkowego, D gubi $\cos^2\alpha$.
PR10.12 zamknięte ★★★ 0–1 pkt 🔗 Wyrażenie $\dfrac{\sin\alpha}{\tan\alpha}$ (dla $\sin\alpha\ne0$ i $\cos\alpha\ne0$) jest równe
A $\sin^2\alpha$
B $\cos\alpha$
C $1$
D $\dfrac{1}{\cos\alpha}$
▼ Pokaż rozwiązanie $\tan\alpha=\dfrac{\sin\alpha}{\cos\alpha}$. $\dfrac{\sin\alpha}{\tan\alpha}=\sin\alpha\cdot\dfrac{\cos\alpha}{\sin\alpha}=\cos\alpha$. Odpowiedź: B
Dlaczego nie pozostałe? A mnoży zamiast dzielić, C skraca całe wyrażenie, D odwraca wynik.
PR10.13 zamknięte ★★★ 0–1 pkt 🔗 Wyrażenie $\dfrac{1-\cos^2\alpha}{\sin\alpha}$ (dla $\sin\alpha\ne0$) jest równe
A $\cos\alpha$
B $1$
C $\sin\alpha$
D $\sin^2\alpha$
▼ Pokaż rozwiązanie $1-\cos^2\alpha=\sin^2\alpha$. $\dfrac{\sin^2\alpha}{\sin\alpha}=\sin\alpha$. Odpowiedź: C
Dlaczego nie pozostałe? A myli $\sin$ z $\cos$, B skraca całe wyrażenie, D nie skraca przez $\sin\alpha$.
PR10.14 zamknięte ★★★ 0–1 pkt 🔗 Kąt ostry $\alpha$ spełnia $\cos\alpha=\tfrac{5}{13}$. Wartość $\tan\alpha$ jest równa
A $\tfrac{5}{12}$
B $\tfrac{12}{13}$
C $\tfrac{13}{12}$
D $\tfrac{12}{5}$
▼ Pokaż rozwiązanie $\sin\alpha=\sqrt{1-\tfrac{25}{169}}=\tfrac{12}{13}$ (kąt ostry). $\tan\alpha=\dfrac{\sin\alpha}{\cos\alpha}=\dfrac{12}{5}$. Odpowiedź: D
Dlaczego nie pozostałe? A to $\cot\alpha$, B to $\sin\alpha$, C to $\tfrac1{\sin\alpha}$.
PR10.15 odpowiedź krótka ★★★ 0–1 pkt 🔗 Kąt ostry $\alpha$ spełnia $\tan\alpha=2$. Oblicz $\sin\alpha\cdot\cos\alpha$.
▼ Pokaż rozwiązanie $\tan\alpha=2\Rightarrow\sin\alpha=2\cos\alpha$. $\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1\Rightarrow 5\cos^2\alpha=1\Rightarrow\cos^2\alpha=\tfrac15$. $\sin\alpha\cos\alpha=2\cos^2\alpha=\tfrac25$. Odpowiedź: $\sin\alpha\cdot\cos\alpha=\tfrac25$
✎ Samoocena wg schematu punktowania — ile punktów zdobył(a)byś? 0 1 / 1 pkt
← PR09 Prawdopodobieństwo: klasyczne, warunkowe, Bernoulli Wszystkie klucze
PR11 Równania trygonometryczne →
Pobierz PDF — matura rozszerzona
