Strona główna › Poradnik maturalny › Matura rozszerzona › PR18 PR18 Pochodna, monotoniczność i ekstrema — klucz maturalny, poziom rozszerzony 🔑 Sygnał: Pochodna → rozkład → znak → monotoniczność i ekstrema. Styczna: $f^\prime(x_0)$ i punkt.
🔒
Zaloguj się , aby zapisywać wyniki zadań tego klucza na swoim koncie.
Teoria Wzory Algorytm Pułapki Przykład Ślad w CKE Zadania (15)
🎯 Co musisz umieć obliczać pochodne wielomianów, iloczynu i ilorazu, wyznaczać równanie stycznej $y=f^\prime(x_0)(x-x_0)+f(x_0)$ (także gdy dany jest $f(x_0)$, a nie $x_0$), wyznaczać przedziały monotoniczności i ekstrema z badania znaku $f^\prime$, znajdować wartość najmniejszą i największą na przedziale (ekstrema + końce). 🔍 Jak rozpoznać zadanie „styczna do wykresu w punkcie…”, „styczna równoległa do prostej…” → $f^\prime(x_0)$, „wyznacz przedziały monotoniczności / ekstrema” → znak pochodnej, „najmniejsza wartość funkcji na przedziale” → porównanie wartości.
📘 Teoria w pigułce $(x^n)^\prime=nx^{n-1}$; $(fg)^\prime=f^\prime g+fg^\prime$; $\left(\frac fg\right)^\prime=\frac{f^\prime g-fg^\prime}{g^2}$. Styczna w $x_0$: $y=f^\prime(x_0)(x-x_0)+f(x_0)$; współczynnik kierunkowy stycznej $=f^\prime(x_0)$. $f^\prime\gt 0$ na przedziale ⇒ $f$ rośnie; $f^\prime\lt 0$ ⇒ maleje. Ekstremum w $x_0$: $f^\prime(x_0)=0$ i $f^\prime$ zmienia znak (sam warunek $f^\prime=0$ nie wystarcza). Wartości skrajne na $[a,b]$: porównaj $f$ w punktach krytycznych z $[a,b]$ i na końcach. ⚙️ Algorytm krok po kroku Dziedzina funkcji (i pochodnej). Oblicz $f^\prime(x)$ i uprość (rozłóż licznik na czynniki). Miejsca zerowe $f^\prime$ + tabela/szkic znaku. Wnioski: monotoniczność, ekstrema, wartości — z jednostkami i dziedziną. ✍️ Przykład wzorcowy typ zadania 12.2 z matury 2023
Wyznacz przedziały monotoniczności oraz najmniejszą wartość funkcji $f(x)=x^4-4x+5$.
▼ Pokaż rozwiązanie
$f^\prime(x)=4x^3-4=4(x-1)(x^2+x+1)$; $x^2+x+1\gt 0$ dla każdego $x$. $f^\prime\lt 0$ dla $x\lt 1$, $f^\prime\gt 0$ dla $x\gt 1$: maleje na $(-\infty,1]$, rośnie na $[1,\infty)$. Minimum (globalne) w $x=1$: $f(1)=1-4+5=2$. Odpowiedź: maleje na $(-\infty,1]$, rośnie na $[1,\infty)$; $f_{\min}=f(1)=2$
Jak CKE przyznaje punkty: 1 pkt — pochodna, 2 pkt — rozkład i znak pochodnej, 3 pkt — przedziały monotoniczności, 4 pkt — najmniejsza wartość $2$. 📊 Ślad w prawdziwych arkuszach CKE
Zadania autentyczne. Niżej są prawdziwe zadania z arkuszy CKE — numer i punktacja zgodne z oryginalnym arkuszem. Kliknij rok, aby otworzyć cały arkusz.
✍️ Trening: 15 zadań w formacie maturalnym
Zadania autorskie. To nie są przedruki z arkuszy — ułożyliśmy je w formacie maturalnym, na wzorów z tabeli „Ślad w arkuszach CKE” powyżej. Typ, punktacja i poziom trudności odpowiadają realnym zadaniom egzaminacyjnym.
Zadania zamknięte sprawdzają się po kliknięciu odpowiedzi (jedna próba). W otwartych porównaj swoje rozwiązanie z wzorcowym i wystaw samoocenę według schematu punktowania — wynik zapisze się na koncie.
PR18.1 odpowiedź krótka ★★★ 0–2 pkt 🔗 Oblicz $f^\prime(1)$ dla $f(x)=x^3-6x^2+5$.
▼ Pokaż rozwiązanie $f^\prime(x)=3x^2-12x$, $f^\prime(1)=3-12=-9$. Odpowiedź: $-9$
✎ Samoocena wg schematu punktowania — ile punktów zdobył(a)byś? 0 1 2 / 2 pkt
PR18.2 odpowiedź krótka ★★★ 0–2 pkt 🔗 Wyznacz wszystkie $m$, dla których funkcja $f(x)=x^3+mx^2+3x-1$ jest rosnąca w $\mathbb R$.
▼ Pokaż rozwiązanie $f^\prime(x)=3x^2+2mx+3\ge0$ dla każdego $x$ ⇔ $\Delta=4m^2-36\le0$ ⇔ $m\in[-3,3]$. Odpowiedź: $m\in[-3,3]$
✎ Samoocena wg schematu punktowania — ile punktów zdobył(a)byś? 0 1 2 / 2 pkt
PR18.3 otwarte ★★★ 0–3 pkt 🔗 Wyznacz równanie stycznej do wykresu funkcji $f(x)=x^3-2x+1$ w punkcie o odciętej $1$.
▼ Pokaż rozwiązanie $f(1)=0$, $f^\prime(x)=3x^2-2$, $f^\prime(1)=1$. $y=1\cdot(x-1)+0=x-1$. Odpowiedź: $y=x-1$
Schemat punktowania: 1 pkt — $f(1)$ i $f^\prime(x)$, 2 pkt — $f^\prime(1)=1$, 3 pkt — równanie stycznej. ✎ Samoocena wg schematu punktowania — ile punktów zdobył(a)byś? 0 1 2 3 / 3 pkt
PR18.4 otwarte ★★★ 0–3 pkt 🔗 Wyznacz równanie stycznej do wykresu funkcji $f(x)=\dfrac{x^2+3}{x}$ w punkcie o odciętej $1$.
▼ Pokaż rozwiązanie $f(x)=x+\frac3x$, $f(1)=4$. $f^\prime(x)=1-\frac3{x^2}$, $f^\prime(1)=-2$. $y=-2(x-1)+4=-2x+6$. Odpowiedź: $y=-2x+6$
Schemat punktowania: 1 pkt — $f(1)=4$, 2 pkt — $f^\prime(1)=-2$, 3 pkt — równanie stycznej. ✎ Samoocena wg schematu punktowania — ile punktów zdobył(a)byś? 0 1 2 3 / 3 pkt
PR18.5 otwarte ★★★ 0–4 pkt 🔗 Wyznacz przedziały monotoniczności i ekstrema funkcji $f(x)=x^3-3x^2-9x+1$.
▼ Pokaż rozwiązanie $f^\prime(x)=3x^2-6x-9=3(x+1)(x-3)$. $f^\prime\gt 0$ dla $x\lt -1$ lub $x\gt 3$; $f^\prime\lt 0$ dla $-1\lt x\lt 3$. Maksimum: $f(-1)=-1-3+9+1=6$; minimum: $f(3)=27-27-27+1=-26$. Odpowiedź: rośnie na $(-\infty,-1]$ i $[3,\infty)$, maleje na $[-1,3]$; $f_{\max}=f(-1)=6$, $f_{\min}=f(3)=-26$
Schemat punktowania: 1 pkt — pochodna i jej miejsca zerowe, 2 pkt — znak pochodnej, 3 pkt — przedziały monotoniczności, 4 pkt — ekstrema z wartościami. ✎ Samoocena wg schematu punktowania — ile punktów zdobył(a)byś? 0 1 2 3 4 / 4 pkt
PR18.6 otwarte ★★★ 0–4 pkt 🔗 Wyznacz najmniejszą i największą wartość funkcji $f(x)=x^3-3x$ w przedziale $[-2,3]$.
▼ Pokaż rozwiązanie $f^\prime(x)=3x^2-3=0 \iff x=\pm1$ (oba w przedziale). $f(-2)=-2$, $f(-1)=2$, $f(1)=-2$, $f(3)=18$. Najmniejsza: $-2$ (dla $x=-2$ i $x=1$), największa: $18$ (dla $x=3$). Odpowiedź: najmniejsza $-2$, największa $18$
Schemat punktowania: 1 pkt — punkty krytyczne, 2 pkt — wartości w punktach krytycznych, 3 pkt — wartości na końcach, 4 pkt — odpowiedź. ✎ Samoocena wg schematu punktowania — ile punktów zdobył(a)byś? 0 1 2 3 4 / 4 pkt
PR18.7 otwarte ★★★ 0–4 pkt 🔗 Wyznacz przedziały monotoniczności i ekstrema funkcji $f(x)=\dfrac{x^2}{x-1}$.
▼ Pokaż rozwiązanie $D=\mathbb R\setminus\{1\}$. $f^\prime(x)=\frac{2x(x-1)-x^2}{(x-1)^2}=\frac{x(x-2)}{(x-1)^2}$. $f^\prime\gt 0$ dla $x\lt 0$ lub $x\gt 2$; $f^\prime\lt 0$ dla $x\in(0,1)\cup(1,2)$. Maksimum lokalne $f(0)=0$, minimum lokalne $f(2)=4$. Odpowiedź: rośnie na $(-\infty,0]$ i $[2,\infty)$, maleje na $[0,1)$ i $(1,2]$; $f_{\max}=f(0)=0$, $f_{\min}=f(2)=4$
Schemat punktowania: 1 pkt — dziedzina i pochodna, 2 pkt — znak pochodnej, 3 pkt — przedziały monotoniczności (osobno po obu stronach $x=1$), 4 pkt — ekstrema. ✎ Samoocena wg schematu punktowania — ile punktów zdobył(a)byś? 0 1 2 3 4 / 4 pkt
PR18.8 otwarte ★★★ 0–4 pkt 🔗 Punkt $P=(x_0,2)$, gdzie $x_0\gt 0$, należy do wykresu funkcji $f(x)=\dfrac{3x^2+1}{x^2+1}$. Wyznacz równanie stycznej do wykresu $f$ w punkcie $P$.
▼ Pokaż rozwiązanie $\frac{3x_0^2+1}{x_0^2+1}=2 \Rightarrow x_0^2=1 \Rightarrow x_0=1$. $f^\prime(x)=\frac{6x(x^2+1)-(3x^2+1)2x}{(x^2+1)^2}=\frac{4x}{(x^2+1)^2}$, $f^\prime(1)=1$. $y=1\cdot(x-1)+2=x+1$. Odpowiedź: $y=x+1$
Schemat punktowania: 1 pkt — $x_0=1$, 2 pkt — pochodna, 3 pkt — $f^\prime(1)=1$, 4 pkt — równanie stycznej. ✎ Samoocena wg schematu punktowania — ile punktów zdobył(a)byś? 0 1 2 3 4 / 4 pkt
PR18.9 otwarte ★★★ 0–4 pkt 🔗 Wyznacz równania stycznych do wykresu funkcji $f(x)=x^3-3x+2$ równoległych do prostej $y=9x$.
▼ Pokaż rozwiązanie $f^\prime(x)=3x^2-3=9 \Rightarrow x=\pm2$. $f(2)=4$: $y=9(x-2)+4=9x-14$. $f(-2)=0$: $y=9(x+2)=9x+18$. Odpowiedź: $y=9x-14$ oraz $y=9x+18$
Schemat punktowania: 1 pkt — równanie $f^\prime(x)=9$, 2 pkt — $x=\pm2$, 3 pkt — jedna styczna, 4 pkt — obie styczne. ✎ Samoocena wg schematu punktowania — ile punktów zdobył(a)byś? 0 1 2 3 4 / 4 pkt
PR18.10 otwarte ★★★ 0–3 pkt 🔗 Wyznacz wszystkie wartości $k$, dla których równanie $x^3-3x^2-9x+1=k$ ma trzy różne rozwiązania.
▼ Pokaż rozwiązanie Funkcja $f(x)=x^3-3x^2-9x+1$ (zadanie PR18.5): maksimum lokalne $6$ w $x=-1$, minimum lokalne $-26$ w $x=3$; $\lim_{x\to\pm\infty}f(x)=\pm\infty$. Prosta $y=k$ przecina wykres w trzech punktach ⇔ $k$ leży ściśle między minimum a maksimum lokalnym. $k\in(-26,6)$. Odpowiedź: $k\in(-26,6)$
Schemat punktowania: 1 pkt — ekstrema lokalne, 2 pkt — szkic wykresu lub opis przebiegu, 3 pkt — odpowiedź $(-26,6)$. ✎ Samoocena wg schematu punktowania — ile punktów zdobył(a)byś? 0 1 2 3 / 3 pkt
PR18.11 zamknięte ★★★ 0–1 pkt 🔗 Dla $f(x)=x^3$ wartość $f'(-1)$ jest równa
▼ Pokaż rozwiązanie $f'(x)=3x^2$. $f'(-1)=3\cdot(-1)^2=3$. Odpowiedź: A
Dlaczego nie pozostałe? B gubi kwadrat przy $(-1)^2$, C to $f(-1)$, D to $(-1)^2$ bez mnożnika $3$.
PR18.12 zamknięte ★★★ 0–1 pkt 🔗 Pochodna funkcji $f(x)=4x^3-5x+2$ jest równa
A $12x^2-5x$
B $12x^2-5$
C $4x^2-5$
D $12x^2-3$
▼ Pokaż rozwiązanie $(4x^3)'=12x^2$, $(-5x)'=-5$, $(2)'=0$. Odpowiedź: B
Dlaczego nie pozostałe? A nie różniczkuje $-5x$, C nie mnoży przez wykładnik, D różniczkuje stałą.
PR18.13 zamknięte ★★★ 0–1 pkt 🔗 Funkcja $f(x)=x^3-3x$ ma maksimum lokalne dla $x$ równego
▼ Pokaż rozwiązanie $f'(x)=3x^2-3=3(x-1)(x+1)$, zera: $-1$ i $1$. Znak $f'$: $+$ na $(-\infty,-1)$, $-$ na $(-1,1)$ — w $x=-1$ pochodna zmienia znak z $+$ na $-$: maksimum. Odpowiedź: C
Dlaczego nie pozostałe? A to minimum lokalne, B to miejsce zerowe funkcji, D to współczynnik.
PR18.14 zamknięte ★★★ 0–1 pkt 🔗 Funkcja $f(x)=-x^2+8x$ jest rosnąca w przedziale
A $\langle4,\infty)$
B $(-\infty,8\rangle$
C $\langle0,8\rangle$
D $(-\infty,4\rangle$
▼ Pokaż rozwiązanie $f'(x)=-2x+8\ge0\iff x\le4$. Funkcja rośnie na $(-\infty,4\rangle$ (wierzchołek paraboli w $x=4$). Odpowiedź: D
Dlaczego nie pozostałe? A to przedział malenia, B i C mylą wierzchołek z miejscami zerowymi.
PR18.15 odpowiedź krótka ★★★ 0–1 pkt 🔗 Wyznacz równanie stycznej do wykresu funkcji $f(x)=x^2-4x$ w punkcie o odciętej $x_0=3$.
▼ Pokaż rozwiązanie $f(3)=9-12=-3$. $f'(x)=2x-4$, $f'(3)=2$. $y=f'(3)(x-3)+f(3)=2(x-3)-3=2x-9$. Odpowiedź: $y=2x-9$
✎ Samoocena wg schematu punktowania — ile punktów zdobył(a)byś? 0 1 / 1 pkt
← PR17 Parametr, funkcja kwadratowa i wzory Viète’a Wszystkie klucze
PR19 Optymalizacja z pochodną →
Pobierz PDF — matura rozszerzona
