Strona główna › Poradnik maturalny › Matura rozszerzona › PR06 PR06 Szereg geometryczny nieskończony — klucz maturalny, poziom rozszerzony 🔑 Sygnał: Najpierw $|q|\lt 1$. Suma $\frac{a_1}{1-q}$. Rozważ $q$ dodatnie i ujemne.
🔒
Zaloguj się , aby zapisywać wyniki zadań tego klucza na swoim koncie.
Teoria Wzory Algorytm Pułapki Przykład Ślad w CKE Zadania (15)
🎯 Co musisz umieć badać zbieżność szeregu geometrycznego ($|q|\lt 1$), obliczać sumę $S=\frac{a_1}{1-q}$ i wyznaczać $a_1$, $q$ z warunków, zamieniać ułamki okresowe na zwykłe, rozwiązywać równania, w których występuje suma szeregu (z dziedziną $|q|\lt 1$). 🔍 Jak rozpoznać zadanie „suma wszystkich wyrazów ciągu”, „nieskończenie wiele figur” → szereg, lewa strona równania $1+x+x^2+\dots$ → suma szeregu o $q=x$, „rozważ wszystkie przypadki” → kilka wartości $q$, niektóre $|q|\ge1$ odpadają.
📘 Teoria w pigułce Szereg $a_1+a_1q+a_1q^2+\dots$ jest zbieżny $\iff |q|\lt 1$ (lub $a_1=0$); wtedy $S=\dfrac{a_1}{1-q}$. Figury wpisane (środki boków): boki tworzą ciąg geometryczny o ilorazie $k$, pola — o ilorazie $k^2$. Ułamek okresowy $0{,}(ab)=\frac{ab}{99}$ — suma szeregu $\frac{ab}{100}+\frac{ab}{100^2}+\dots$ W równaniu z szeregiem najpierw warunek zbieżności (dziedzina), potem wzór na sumę. ⚙️ Algorytm krok po kroku Zapisz warunek zbieżności $|q|\lt 1$. Wyraź dane przez $a_1$ i $q$; rozwiąż układ. Odrzuć $q$ spoza $(-1,1)$. Oblicz $S=\frac{a_1}{1-q}$ dla każdego dopuszczalnego przypadku. ✍️ Przykład wzorcowy typ zadania 6 z matury 2025
Ciąg geometryczny $(a_n)$ jest zbieżny, $a_1+a_3=10$ oraz $a_1^2+a_3^2=68$. Oblicz sumę wszystkich wyrazów tego ciągu. Rozważ wszystkie przypadki.
▼ Pokaż rozwiązanie
$a_1a_3=\frac{(a_1+a_3)^2-(a_1^2+a_3^2)}{2}=\frac{100-68}{2}=16$, więc $\{a_1,a_3\}=\{2,8\}$. $a_1=2$, $a_3=8$: $q^2=4$, $|q|=2$ — szereg rozbieżny, odrzucamy. $a_1=8$, $a_3=2$: $q^2=\frac14$, $q=\pm\frac12$. $q=\frac12$: $S=\frac{8}{1/2}=16$; $q=-\frac12$: $S=\frac{8}{3/2}=\frac{16}3$. Odpowiedź: $S=16$ lub $S=\frac{16}3$
Jak CKE przyznaje punkty: 1 pkt — $a_1a_3=16$ i wartości $2$, $8$, 2 pkt — odrzucenie $a_1=2$ (brak zbieżności), 3 pkt — $q=\pm\frac12$, 4 pkt — obie sumy. 📊 Ślad w prawdziwych arkuszach CKE
Zadania autentyczne. Niżej są prawdziwe zadania z arkuszy CKE — numer i punktacja zgodne z oryginalnym arkuszem. Kliknij rok, aby otworzyć cały arkusz.
✍️ Trening: 15 zadań w formacie maturalnym
Zadania autorskie. To nie są przedruki z arkuszy — ułożyliśmy je w formacie maturalnym, na wzorów z tabeli „Ślad w arkuszach CKE” powyżej. Typ, punktacja i poziom trudności odpowiadają realnym zadaniom egzaminacyjnym.
Zadania zamknięte sprawdzają się po kliknięciu odpowiedzi (jedna próba). W otwartych porównaj swoje rozwiązanie z wzorcowym i wystaw samoocenę według schematu punktowania — wynik zapisze się na koncie.
PR06.1 odpowiedź krótka ★★★ 0–2 pkt 🔗 Oblicz sumę szeregu $12+6+3+\dots$
▼ Pokaż rozwiązanie $a_1=12$, $q=\frac12$: $S=\frac{12}{1-\frac12}=24$. Odpowiedź: $24$
✎ Samoocena wg schematu punktowania — ile punktów zdobył(a)byś? 0 1 2 / 2 pkt
PR06.2 odpowiedź krótka ★★★ 0–2 pkt 🔗 Zapisz liczbę $0{,}(36)$ w postaci ułamka nieskracalnego.
▼ Pokaż rozwiązanie $0{,}(36)=\frac{36}{100}+\frac{36}{100^2}+\dots=\frac{0{,}36}{1-0{,}01}=\frac{36}{99}=\frac4{11}$. Odpowiedź: $\tfrac{4}{11}$
✎ Samoocena wg schematu punktowania — ile punktów zdobył(a)byś? 0 1 2 / 2 pkt
PR06.3 odpowiedź krótka ★★★ 0–2 pkt 🔗 Wyznacz wszystkie $x$, dla których szereg $1+(x-1)+(x-1)^2+\dots$ jest zbieżny.
▼ Pokaż rozwiązanie $q=x-1$, $|x-1|\lt 1 \iff 0\lt x\lt 2$. Odpowiedź: $x\in(0,2)$
✎ Samoocena wg schematu punktowania — ile punktów zdobył(a)byś? 0 1 2 / 2 pkt
PR06.4 otwarte ★★★ 0–3 pkt 🔗 Rozwiąż równanie $1+2x+4x^2+8x^3+\dots=\dfrac32$, którego lewa strona jest sumą szeregu geometrycznego.
▼ Pokaż rozwiązanie $q=2x$, zbieżność: $|2x|\lt 1 \iff x\in\left(-\frac12,\frac12\right)$. $\frac{1}{1-2x}=\frac32 \Rightarrow 1-2x=\frac23 \Rightarrow x=\frac16$. $\frac16\in\left(-\frac12,\frac12\right)$ ✓. Odpowiedź: $x=\tfrac16$
Schemat punktowania: 1 pkt — warunek zbieżności, 2 pkt — równanie $\frac1{1-2x}=\frac32$, 3 pkt — $x=\frac16$ ze sprawdzeniem. ✎ Samoocena wg schematu punktowania — ile punktów zdobył(a)byś? 0 1 2 3 / 3 pkt
PR06.5 otwarte ★★★ 0–3 pkt 🔗 Suma wszystkich wyrazów nieskończonego ciągu geometrycznego jest równa $16$, a jego pierwszy wyraz jest równy $12$. Oblicz trzeci wyraz tego ciągu.
▼ Pokaż rozwiązanie $\frac{12}{1-q}=16 \Rightarrow 1-q=\frac34 \Rightarrow q=\frac14$ ($|q|\lt 1$ ✓). $a_3=12\cdot\frac1{16}=\frac34$. Odpowiedź: $a_3=\tfrac34$
Schemat punktowania: 1 pkt — równanie z sumą, 2 pkt — $q=\frac14$, 3 pkt — $a_3=\frac34$. ✎ Samoocena wg schematu punktowania — ile punktów zdobył(a)byś? 0 1 2 3 / 3 pkt
PR06.6 otwarte ★★★ 0–4 pkt 🔗 Nieskończony ciąg geometryczny jest zbieżny, suma jego dwóch pierwszych wyrazów jest równa $12$, a suma wszystkich wyrazów jest równa $16$. Wyznacz pierwszy wyraz i iloraz tego ciągu. Rozważ wszystkie przypadki.
▼ Pokaż rozwiązanie $a_1(1+q)=12$ i $\frac{a_1}{1-q}=16 \Rightarrow a_1=16(1-q)$. $16(1-q)(1+q)=12 \Rightarrow 1-q^2=\frac34 \Rightarrow q=\pm\frac12$. $q=\frac12$: $a_1=8$ (ciąg $8,4,2,\dots$); $q=-\frac12$: $a_1=24$ (ciąg $24,-12,6,\dots$). Oba $|q|\lt 1$ ✓. Odpowiedź: $a_1=8,\ q=\tfrac12$ lub $a_1=24,\ q=-\tfrac12$
Schemat punktowania: 1 pkt — układ równań $a_1(1+q)=12$, $\frac{a_1}{1-q}=16$, 2 pkt — równanie $1-q^2=\frac34$, 3 pkt — $q=\pm\frac12$, 4 pkt — oba ciągi. ✎ Samoocena wg schematu punktowania — ile punktów zdobył(a)byś? 0 1 2 3 4 / 4 pkt
PR06.7 otwarte ★★★ 0–4 pkt 🔗 Trójkąt równoboczny $T_1$ ma bok długości $a$. Trójkąt $T_{n+1}$ ma wierzchołki w środkach boków trójkąta $T_n$. Oblicz sumę obwodów oraz sumę pól wszystkich trójkątów $T_1,T_2,T_3,\dots$
▼ Pokaż rozwiązanie Boki: $a,\frac a2,\frac a4,\dots$ — iloraz $\frac12$. Obwody: $3a\cdot\frac{1}{1-\frac12}=6a$. Pola: $\frac{a^2\sqrt3}4,\frac{a^2\sqrt3}{16},\dots$ — iloraz $\frac14$. Suma pól: $\frac{a^2\sqrt3}{4}\cdot\frac{1}{1-\frac14}=\frac{a^2\sqrt3}{3}$. Odpowiedź: suma obwodów $6a$, suma pól $\tfrac{a^2\sqrt3}{3}$
Schemat punktowania: 1 pkt — iloraz $\frac12$ dla boków, 2 pkt — suma obwodów $6a$, 3 pkt — iloraz $\frac14$ dla pól, 4 pkt — suma pól. ✎ Samoocena wg schematu punktowania — ile punktów zdobył(a)byś? 0 1 2 3 4 / 4 pkt
PR06.8 otwarte ★★★ 0–4 pkt 🔗 Rozwiąż równanie $1-x+x^2-x^3+\dots=2x$, którego lewa strona jest sumą szeregu geometrycznego.
▼ Pokaż rozwiązanie $q=-x$, zbieżność: $|x|\lt 1$. Suma: $\frac{1}{1+x}$. $\frac1{1+x}=2x \Rightarrow 2x^2+2x-1=0 \Rightarrow x=\frac{-1\pm\sqrt3}{2}$. $\frac{-1-\sqrt3}{2}\approx-1{,}37$ — poza $(-1,1)$. Zostaje $x=\frac{\sqrt3-1}{2}\approx0{,}37$. Odpowiedź: $x=\tfrac{\sqrt3-1}{2}$
Schemat punktowania: 1 pkt — warunek $|x|\lt 1$ i suma $\frac1{1+x}$, 2 pkt — równanie kwadratowe, 3 pkt — odrzucenie jednego rozwiązania, 4 pkt — odpowiedź. ✎ Samoocena wg schematu punktowania — ile punktów zdobył(a)byś? 0 1 2 3 4 / 4 pkt
PR06.9 otwarte ★★★ 0–2 pkt 🔗 Korzystając ze wzoru na sumę szeregu geometrycznego, zapisz liczbę $2{,}1(6)$ w postaci ułamka nieskracalnego.
▼ Pokaż rozwiązanie $2{,}1(6)=2{,}1+0{,}06+0{,}006+\dots$ $0{,}06+0{,}006+\dots=\frac{0{,}06}{1-0{,}1}=\frac{1}{15}$. $2{,}1+\frac1{15}=\frac{21}{10}+\frac1{15}=\frac{63+2}{30}=\frac{65}{30}=\frac{13}6$. Odpowiedź: $\tfrac{13}{6}$
Schemat punktowania: 1 pkt — zapis części okresowej jako szeregu, 2 pkt — wynik $\frac{13}{6}$. ✎ Samoocena wg schematu punktowania — ile punktów zdobył(a)byś? 0 1 2 / 2 pkt
PR06.10 otwarte ★★★ 0–3 pkt 🔗 Funkcja $f$ jest określona wzorem $f(x)=1+\dfrac1x+\dfrac1{x^2}+\dfrac1{x^3}+\dots$ dla tych $x$, dla których szereg jest zbieżny. Wyznacz dziedzinę funkcji $f$ i rozwiąż równanie $f(x)=\frac32$.
▼ Pokaż rozwiązanie $q=\frac1x$, zbieżność: $\left|\frac1x\right|\lt 1 \iff |x|\gt 1$. $f(x)=\frac{1}{1-\frac1x}=\frac{x}{x-1}$. $\frac{x}{x-1}=\frac32 \Rightarrow 2x=3x-3 \Rightarrow x=3$, $|3|\gt 1$ ✓. Odpowiedź: $D=(-\infty,-1)\cup(1,\infty)$, $x=3$
Schemat punktowania: 1 pkt — dziedzina $|x|\gt 1$, 2 pkt — wzór $f(x)=\frac{x}{x-1}$, 3 pkt — $x=3$ ze sprawdzeniem dziedziny. ✎ Samoocena wg schematu punktowania — ile punktów zdobył(a)byś? 0 1 2 3 / 3 pkt
PR06.11 zamknięte ★★★ 0–1 pkt 🔗 Suma szeregu geometrycznego o $a_1=1$, $q=\tfrac12$ jest równa
A $2$
B $1$
C $\tfrac12$
D $\infty$
▼ Pokaż rozwiązanie $S=\dfrac{a_1}{1-q}=\dfrac{1}{1-\tfrac12}=2$. Odpowiedź: A
Dlaczego nie pozostałe? B - błąd.
PR06.12 zamknięte ★★★ 0–1 pkt 🔗 Suma szeregu geometrycznego o $a_1=4$, $q=\tfrac12$ jest równa
▼ Pokaż rozwiązanie $S=\dfrac{4}{\tfrac12}=8$. Odpowiedź: B
Dlaczego nie pozostałe? A - błąd.
PR06.13 zamknięte ★★★ 0–1 pkt 🔗 Szereg geometryczny jest zbieżny, gdy
A $|q|>1$
B $q>0$
C $|q|\lt 1$
D $q=1$
▼ Pokaż rozwiązanie Warunek zbieżności: $|q|\lt 1$. Odpowiedź: C
Dlaczego nie pozostałe? Dla $|q|\ge1$ rozbieżny.
PR06.14 zamknięte ★★★ 0–1 pkt 🔗 Suma szeregu geometrycznego o $a_1=1$, $q=\tfrac13$ jest równa
A $3$
B $\tfrac13$
C $2$
D $\tfrac32$
▼ Pokaż rozwiązanie $S=\dfrac{1}{1-\tfrac13}=\dfrac{1}{\tfrac23}=\tfrac32$. Odpowiedź: D
Dlaczego nie pozostałe? A - błąd.
PR06.15 odpowiedź krótka ★★★ 0–1 pkt 🔗 Oblicz sumę szeregu geometrycznego o $a_1=2$, $q=\tfrac12$.
▼ Pokaż rozwiązanie $S=\dfrac{2}{1-\tfrac12}=\dfrac{2}{\tfrac12}=4$. Odpowiedź: $4$
✎ Samoocena wg schematu punktowania — ile punktów zdobył(a)byś? 0 1 / 1 pkt
← PR05 Ciągi arytmetyczne i geometryczne — zadania łączone Wszystkie klucze
PR07 Granice ciągów i funkcji →
Pobierz PDF — matura rozszerzona
