Optymalizacja z pochodną — klucz maturalny, poziom rozszerzony

1. $f(x)=x(12-x)^2$, $x\in(0,12)$.
2. $f^\prime(x)=(12-x)^2-2x(12-x)=(12-x)(12-3x)$.
3. $f^\prime\gt 0$ na $(0,4)$, $f^\prime\lt 0$ na $(4,12)$ — maksimum w $x=4$: $y=8$, $f(4)=256$.

Odpowiedź: $x=4$, $y=8$ (iloczyn $256$)

1. $a$ — krawędź podstawy, $h=\frac{32}{a^2}$. $P(a)=a^2+4ah=a^2+\frac{128}a$, $a\gt 0$.
2. $P^\prime(a)=2a-\frac{128}{a^2}=\frac{2(a^3-64)}{a^2}$ — zero w $a=4$, znak z $-$ na $+$.
3. $a=4$, $h=2$, $P=16+32=48$.

Odpowiedź: $4\times4\times2$, $P=48$

1. $h=\frac{16}{r^2}$, $P(r)=2\pi r^2+2\pi rh=2\pi r^2+\frac{32\pi}r$, $r\gt 0$.
2. $P^\prime(r)=4\pi r-\frac{32\pi}{r^2}=\frac{4\pi(r^3-8)}{r^2}$ — minimum w $r=2$.
3. $h=4$, $P=8\pi+16\pi=24\pi$.

Odpowiedź: $r=2$, $h=4$, $P=24\pi$

1. Połowa podstawy $x$, wysokość $\sqrt{25-x^2}$, $x\in(0,5)$: $P(x)=2x\sqrt{25-x^2}$.
2. Wystarczy maksymalizować $g(x)=P^2/4=x^2(25-x^2)$: $g^\prime=50x-4x^3=2x(25-2x^2)$.
3. $x^2=\frac{25}2$, $x=\frac{5\sqrt2}2$ (zmiana znaku z $+$ na $-$). Wymiary: $2x=5\sqrt2$, wysokość $\frac{5\sqrt2}2$; $P=25$.

Odpowiedź: $5\sqrt2\times\tfrac{5\sqrt2}{2}$, $P=25$

1. $r^2=36-h^2$, $V(h)=\frac\pi3(36h-h^3)$, $h\in(0,6)$.
2. $V^\prime(h)=\frac\pi3(36-3h^2)=0 \iff h=2\sqrt3$; znak z $+$ na $-$.
3. $r^2=24$, $V=\frac\pi3\cdot24\cdot2\sqrt3=16\sqrt3\,\pi$.

Odpowiedź: $h=2\sqrt3$, $V_{\max}=16\sqrt3\,\pi$

1. $8a+4h=48 \Rightarrow h=12-2a$, $a\in(0,6)$.
2. $V(a)=a^2(12-2a)=12a^2-2a^3$; $V^\prime(a)=24a-6a^2=6a(4-a)$.
3. Maksimum w $a=4$: $h=4$, $V=64$.

Odpowiedź: sześcian o krawędzi $4$, $V=64$

1. $d^2(x)=x^2+(x^2-3)^2=x^4-5x^2+9$.
2. $(d^2)^\prime=4x^3-10x=2x(2x^2-5)$: zera $0$, $\pm\sqrt{\frac52}$; minima w $\pm\sqrt{\frac52}$, maksimum lokalne w $0$.
3. $d^2=\frac{25}4-\frac{25}2+9=\frac{11}4$, $d=\frac{\sqrt{11}}2$ (w $x=0$: $d=3$ — większe).

Odpowiedź: $\left(\pm\sqrt{\tfrac52},\tfrac52\right)$, $d=\tfrac{\sqrt{11}}2$

1. a) Podstawa $2x$, ramię $\sqrt{x^2+h^2}$. $r=\frac Pp$: $1=\frac{xh}{x+\sqrt{x^2+h^2}} \Rightarrow xh-x=\sqrt{x^2+h^2}$.
2. Podnosząc do kwadratu: $x^2h^2-2x^2h=h^2 \Rightarrow x^2=\frac{h}{h-2}$ ($h\gt 2$), więc $P=xh=h\sqrt{\frac h{h-2}}$.
3. b) Minimalizujemy $g(h)=P^2=\frac{h^3}{h-2}$: $g^\prime(h)=\frac{3h^2(h-2)-h^3}{(h-2)^2}=\frac{2h^2(h-3)}{(h-2)^2}$.
4. $g^\prime\lt 0$ na $(2,3)$, $g^\prime\gt 0$ na $(3,\infty)$ — minimum w $h=3$: $P=3\sqrt3$.

Odpowiedź: $h=3$, $P_{\min}=3\sqrt3$ (trójkąt równoboczny)

1. $Z(x)=400x-K(x)=-x^3+30x^2$, $x\ge0$.
2. $Z^\prime(x)=-3x^2+60x=-3x(x-20)$ — maksimum w $x=20$.
3. $Z(20)=-8000+12\,000=4000$ zł.

Odpowiedź: $20$ sztuk, zysk $4000$ zł

1. $r$ — promień, $h$ — wysokość prostokąta: $2r+2h+\pi r=4+\pi \Rightarrow h=\frac{4+\pi-(2+\pi)r}2$, $r\in\left(0,\frac{4+\pi}{2+\pi}\right)$.
2. $P(r)=2rh+\frac{\pi r^2}2=(4+\pi)r-2r^2-\frac{\pi r^2}2$.
3. $P^\prime(r)=4+\pi-(4+\pi)r=0 \iff r=1$ (znak z $+$ na $-$).
4. $h=1$: prostokąt $2\times1$, $P=2+\frac\pi2$.

Odpowiedź: $r=1$: prostokąt $2\times1$, $P=2+\tfrac\pi2$