PR07

Granice ciągów i funkcji — klucz maturalny, poziom rozszerzony

PriorytetAbardzo ważny

Częstotliwość5/7arkuszy 2020–2026

Punkty w arkuszuśr. 1,3 pkt (0–2)

Formy zadańotwarte 2 pkt — „Oblicz granicę” (ciągu z symbolem Newtona lub funkcji jednostronnej)

🔑 Sygnał: $\frac\infty\infty$ → najwyższa potęga; $\frac00$ → skróć; $\frac c0$ → znak mianownika.

🎯 Co musisz umieć

obliczać granice ilorazów wielomianów (dzielenie przez najwyższą potęgę),
usuwać niewymierność sprzężeniem: $\sqrt{n^2+an}-n$,
rozpisywać symbol Newtona i sumy ($1+2+\dots+n$) przed liczeniem granicy,
obliczać granice funkcji w punkcie (skracanie) i granice jednostronne niewłaściwe (znak mianownika).

🔍 Jak rozpoznać zadanie

$\lim_{n\to\infty}$ ułamka z potęgami $n$ → najwyższa potęga,
$\frac{0}{0}$ w punkcie → rozkład i skracanie,
$x\to a^-$ lub $x\to a^+$ i mianownik $\to0$ → badanie znaku, wynik $\pm\infty$.

📘 Teoria w pigułce

$\lim\frac{a_kn^k+\dots}{b_mn^m+\dots}$: $k\lt m$ → $0$; $k=m$ → $\frac{a_k}{b_m}$; $k\gt m$ → $\pm\infty$.
$\lim q^n=0$ dla $|q|\lt 1$; przy $3^n$ i $2^n$ dziel przez potęgę o największej podstawie.
$\binom{n}{2}=\frac{n(n-1)}2$, $\binom n3=\frac{n(n-1)(n-2)}6$; $1+2+\dots+n=\frac{n(n+1)}2$.
Granica jednostronna $\frac{c}{0^\pm}$ ($c\ne0$): wynik $\pm\infty$ zależnie od znaków licznika i mianownika.
Funkcja jest ciągła w $x_0$, gdy $\lim_{x\to x_0}f(x)=f(x_0)$.

∑ Najważniejsze wzory

$\lim\dfrac{a_kn^k}{b_kn^k}=\dfrac{a_k}{b_k}$

$\sqrt A-B=\dfrac{A-B^2}{\sqrt A+B}$

$\binom{n}{k}=\dfrac{n!}{k!(n-k)!}$

$\dfrac{c}{0^+}=+\infty$ ($c\gt 0$)

⚙️ Algorytm krok po kroku

Podstaw — jeśli wychodzi liczba, to koniec.
Symbol $\frac\infty\infty$: podziel licznik i mianownik przez najwyższą potęgę. $\infty-\infty$ z pierwiastkiem: sprzężenie.
Symbol $\frac00$: rozłóż licznik i mianownik, skróć wspólny czynnik.
$\frac{c}{0}$: ustal znak mianownika dla $x\to a^\pm$ i podaj $\pm\infty$.

⚠️ Najczęstsze pułapki

Źle	Dobrze	Dlaczego
✗ $\sqrt{n^2+4n}-n\to\infty-\infty=0$	✓ sprzężenie: $\to2$	$\infty-\infty$ to symbol nieoznaczony
✗ $\frac{3}{0^-}=+\infty$	✓ $-\infty$	znak mianownika
✗ $\binom{n+1}{2}\approx n$	✓ $\frac{(n+1)n}2\approx\frac{n^2}{2}$	rozpisz symbol
✗ $\lim\frac{3^n+2^n}{3^{n+1}}=\frac{1}{1}$	✓ $\frac13$	$3^{n+1}=3\cdot3^n$

✍️ Przykład wzorcowy typ zadania 2 z matury 2024

Oblicz granicę $\displaystyle\lim_{x\to3^+}\frac{x^2-9}{(x-3)^2}$.

📊 Ślad w prawdziwych arkuszach CKE

Zadania autentyczne. Niżej są prawdziwe zadania z arkuszy CKE — numer i punktacja zgodne z oryginalnym arkuszem. Kliknij rok, aby otworzyć cały arkusz.

Rok	Zadania	Pkt	Czego dotyczyło
2026	zad. 1	2 pkt	granica ciągu z $\binom{n+2}{n-1}$ w liczniku
2025	—	0 pkt	brak
2024	zad. 2	2 pkt	$\lim_{x\to2^-}\frac{x^3-8}{(x-2)^2}$ — granica jednostronna niewłaściwa
2023	—	0 pkt	brak
2022	zad. 5	2 pkt	granica ciągu z parametrem $p$ równa $4$
2021	zad. 5	2 pkt	$\lim\frac{(3n+2)^2-(1-2n)^2}{(2n-1)^2}$
2020	zad. 2	1 pkt	granica $\frac{3n^2+7n-5}{11-5n+5n^2}$

Działy w serwisie:Granica ciągu Granice jednostronne Obliczanie granic ciągów (1)Obliczanie granic ciągów (2)Obliczanie granic funkcji

✍️ Trening: 15 zadań w formacie maturalnym

Zadania autorskie. To nie są przedruki z arkuszy — ułożyliśmy je w formacie maturalnym, na wzorów z tabeli „Ślad w arkuszach CKE” powyżej. Typ, punktacja i poziom trudności odpowiadają realnym zadaniom egzaminacyjnym.

Zadania zamknięte sprawdzają się po kliknięciu odpowiedzi (jedna próba). W otwartych porównaj swoje rozwiązanie z wzorcowym i wystaw samoocenę według schematu punktowania — wynik zapisze się na koncie.

PR07.1odpowiedź krótka★★★ 0–2 pkt🔗

Oblicz $\displaystyle\lim_{n\to\infty}\frac{3n^2-n}{2n^2+5}$.