Strona główna › Poradnik maturalny › Matura rozszerzona › PR11 PR11 Równania trygonometryczne — klucz maturalny, poziom rozszerzony 🔑 Sygnał: Wyłącz, nie dziel. Jednorodne → $\operatorname{tg} x$. Sinus: dwie serie. Na końcu przedział.
🔒
Zaloguj się , aby zapisywać wyniki zadań tego klucza na swoim koncie.
Teoria Wzory Algorytm Pułapki Przykład Ślad w CKE Zadania (15)
🎯 Co musisz umieć rozwiązywać równania elementarne $\sin x=a$, $\cos x=a$, $\operatorname{tg} x=a$ (rozwiązania ogólne i w przedziale), sprowadzać równanie do jednej funkcji (jedynka, $\cos2x$) i podstawiać $t=\sin x$, rozkładać na czynniki (wyłączanie, sumy na iloczyny) i rozwiązywać równania jednorodne, wypisywać rozwiązania z przedziału (podstawianie kolejnych $k$). 🔍 Jak rozpoznać zadanie $\sin^2x$, $\cos^2x$ i $\sin x\cos x$ w każdym wyrazie → równanie jednorodne (dziel przez $\cos^2x$ po sprawdzeniu $\cos x=0$), $\sin2x$ i $\cos x$ → wyłącz $\cos x$, iloczyn $\sin a\cos b$ lub różnica sinusów → wzory z tablic.
📘 Teoria w pigułce $\sin x=a$: $x=x_0+2k\pi$ lub $x=\pi-x_0+2k\pi$. $\cos x=a$: $x=\pm x_0+2k\pi$. $\operatorname{tg} x=a$: $x=x_0+k\pi$. $\sin x=0 \iff x=k\pi$; $\cos x=0 \iff x=\frac\pi2+k\pi$. Równanie jednorodne $a\sin^2x+b\sin x\cos x+c\cos^2x=0$: sprawdź $\cos x=0$, potem podziel przez $\cos^2x$ → równanie kwadratowe z $\operatorname{tg} x$. Nie dziel przez wyrażenie, które może być zerem (np. $\cos x$) — wyłącz je przed nawias. Rozwiązania w przedziale: dla każdej serii podstawiaj $k=0,\pm1,\pm2,\dots$ i wybieraj mieszczące się. ⚙️ Algorytm krok po kroku Sprowadź do jednego argumentu (rozpisz $2x$) lub zastosuj wzór z tablic. Doprowadź do postaci iloczynu $=0$ albo równania kwadratowego z $t=\sin x$ / $\cos x$ / $\operatorname{tg} x$. Rozwiąż równania elementarne (odrzuć $|t|\gt 1$ dla sinusa i cosinusa). Wypisz rozwiązania ogólne albo z danego przedziału. ✍️ Przykład wzorcowy typ zadania 9 z matury 2025
Rozwiąż równanie $\cos^2x-\sqrt3\sin x\cos x=0$ w przedziale $[0,\pi]$.
▼ Pokaż rozwiązanie
Wyłączamy $\cos x$: $\cos x\left(\cos x-\sqrt3\sin x\right)=0$. $\cos x=0 \Rightarrow x=\frac\pi2$ (w $[0,\pi]$). $\cos x=\sqrt3\sin x$; tu $\cos x\ne0$, więc $\operatorname{tg} x=\frac1{\sqrt3} \Rightarrow x=\frac\pi6$ (w $[0,\pi]$). Odpowiedź: $\frac\pi6$, $\frac\pi2$. Odpowiedź: $x\in\left\{\tfrac\pi6,\ \tfrac\pi2\right\}$
Jak CKE przyznaje punkty: 1 pkt — rozkład na czynniki, 2 pkt — rozwiązanie $\cos x=0$, 3 pkt — $\operatorname{tg} x=\frac{\sqrt3}{3}$, 4 pkt — oba rozwiązania z przedziału. 📊 Ślad w prawdziwych arkuszach CKE
Zadania autentyczne. Niżej są prawdziwe zadania z arkuszy CKE — numer i punktacja zgodne z oryginalnym arkuszem. Kliknij rok, aby otworzyć cały arkusz.
✍️ Trening: 15 zadań w formacie maturalnym
Zadania autorskie. To nie są przedruki z arkuszy — ułożyliśmy je w formacie maturalnym, na wzorów z tabeli „Ślad w arkuszach CKE” powyżej. Typ, punktacja i poziom trudności odpowiadają realnym zadaniom egzaminacyjnym.
Zadania zamknięte sprawdzają się po kliknięciu odpowiedzi (jedna próba). W otwartych porównaj swoje rozwiązanie z wzorcowym i wystaw samoocenę według schematu punktowania — wynik zapisze się na koncie.
PR11.1 odpowiedź krótka ★★★ 0–2 pkt 🔗 Rozwiąż równanie $\sin x=\frac{\sqrt3}2$ w przedziale $[0,2\pi]$.
▼ Pokaż rozwiązanie $x=\frac\pi3$ lub $x=\pi-\frac\pi3=\frac{2\pi}3$. Odpowiedź: $\tfrac\pi3,\ \tfrac{2\pi}3$
✎ Samoocena wg schematu punktowania — ile punktów zdobył(a)byś? 0 1 2 / 2 pkt
PR11.2 odpowiedź krótka ★★★ 0–2 pkt 🔗 Rozwiąż równanie $\cos2x=\frac12$.
▼ Pokaż rozwiązanie $2x=\pm\frac\pi3+2k\pi \Rightarrow x=\pm\frac\pi6+k\pi$. Odpowiedź: $x=\pm\tfrac\pi6+k\pi,\ k\in\mathbb Z$
✎ Samoocena wg schematu punktowania — ile punktów zdobył(a)byś? 0 1 2 / 2 pkt
PR11.3 otwarte ★★★ 0–3 pkt 🔗 Rozwiąż równanie $2\sin^2x-\sin x-1=0$ w przedziale $[0,2\pi]$.
▼ Pokaż rozwiązanie $t=\sin x$: $2t^2-t-1=0 \Rightarrow t=1$ lub $t=-\frac12$. $\sin x=1 \Rightarrow x=\frac\pi2$. $\sin x=-\frac12 \Rightarrow x=\frac{7\pi}6$ lub $x=\frac{11\pi}6$. Odpowiedź: $\tfrac\pi2,\ \tfrac{7\pi}6,\ \tfrac{11\pi}6$
Schemat punktowania: 1 pkt — równanie kwadratowe z $t=\sin x$, 2 pkt — $t=1$, $t=-\frac12$, 3 pkt — trzy rozwiązania z przedziału. ✎ Samoocena wg schematu punktowania — ile punktów zdobył(a)byś? 0 1 2 3 / 3 pkt
PR11.4 otwarte ★★★ 0–3 pkt 🔗 Rozwiąż równanie $\sin2x=\cos x$ w przedziale $[0,2\pi]$.
▼ Pokaż rozwiązanie $2\sin x\cos x-\cos x=0 \Rightarrow \cos x(2\sin x-1)=0$. $\cos x=0$: $\frac\pi2$, $\frac{3\pi}2$. $\sin x=\frac12$: $\frac\pi6$, $\frac{5\pi}6$. Odpowiedź: $\tfrac\pi6,\ \tfrac\pi2,\ \tfrac{5\pi}6,\ \tfrac{3\pi}2$
Schemat punktowania: 1 pkt — rozkład $\cos x(2\sin x-1)=0$, 2 pkt — rozwiązania jednego czynnika, 3 pkt — wszystkie cztery rozwiązania. ✎ Samoocena wg schematu punktowania — ile punktów zdobył(a)byś? 0 1 2 3 / 3 pkt
PR11.5 otwarte ★★★ 0–4 pkt 🔗 Rozwiąż równanie $2\cos^2x+3\sin x-3=0$.
▼ Pokaż rozwiązanie $2(1-\sin^2x)+3\sin x-3=0 \Rightarrow 2\sin^2x-3\sin x+1=0$. $\sin x=1$ lub $\sin x=\frac12$. $x=\frac\pi2+2k\pi$; $x=\frac\pi6+2k\pi$ lub $x=\frac{5\pi}6+2k\pi$. Odpowiedź: $x=\tfrac\pi2+2k\pi$ lub $x=\tfrac\pi6+2k\pi$ lub $x=\tfrac{5\pi}6+2k\pi$, $k\in\mathbb Z$
Schemat punktowania: 1 pkt — zamiana $\cos^2x=1-\sin^2x$, 2 pkt — $\sin x=1$ lub $\sin x=\frac12$, 3 pkt — rozwiązania dla jednego przypadku, 4 pkt — wszystkie serie rozwiązań. ✎ Samoocena wg schematu punktowania — ile punktów zdobył(a)byś? 0 1 2 3 4 / 4 pkt
PR11.6 otwarte ★★★ 0–4 pkt 🔗 Rozwiąż równanie $\sin^2x-(1+\sqrt3)\sin x\cos x+\sqrt3\cos^2x=0$ w przedziale $[0,\pi]$.
▼ Pokaż rozwiązanie Gdyby $\cos x=0$, to $\sin^2x=0$ — sprzeczność z jedynką. Dzielimy przez $\cos^2x$: $\operatorname{tg}^2x-(1+\sqrt3)\operatorname{tg} x+\sqrt3=0 \Rightarrow (\operatorname{tg} x-1)(\operatorname{tg} x-\sqrt3)=0$. $\operatorname{tg} x=1 \Rightarrow x=\frac\pi4$; $\operatorname{tg} x=\sqrt3 \Rightarrow x=\frac\pi3$ (w $[0,\pi]$). Odpowiedź: $\tfrac\pi4,\ \tfrac\pi3$
Schemat punktowania: 1 pkt — uzasadnienie $\cos x\ne0$, 2 pkt — równanie z $\operatorname{tg} x$, 3 pkt — $\operatorname{tg} x=1$ lub $\operatorname{tg} x=\sqrt3$, 4 pkt — oba rozwiązania z przedziału. ✎ Samoocena wg schematu punktowania — ile punktów zdobył(a)byś? 0 1 2 3 4 / 4 pkt
PR11.7 otwarte ★★★ 0–4 pkt 🔗 Rozwiąż równanie $\sin3x+\sin x=0$.
▼ Pokaż rozwiązanie $\sin3x+\sin x=2\sin2x\cos x=0$. $\sin2x=0 \Rightarrow x=\frac{k\pi}2$; $\cos x=0 \Rightarrow x=\frac\pi2+k\pi$ — zawiera się w poprzedniej serii. Odpowiedź: $x=\frac{k\pi}2$. Odpowiedź: $x=\tfrac{k\pi}2,\ k\in\mathbb Z$
Schemat punktowania: 1 pkt — zamiana sumy na iloczyn, 2 pkt — rozwiązanie $\sin2x=0$, 3 pkt — rozwiązanie $\cos x=0$, 4 pkt — poprawna odpowiedź końcowa. ✎ Samoocena wg schematu punktowania — ile punktów zdobył(a)byś? 0 1 2 3 4 / 4 pkt
PR11.8 otwarte ★★★ 0–4 pkt 🔗 Rozwiąż równanie $\cos2x+3\cos x+2=0$ w przedziale $[0,2\pi]$.
▼ Pokaż rozwiązanie $2\cos^2x-1+3\cos x+2=0 \Rightarrow 2\cos^2x+3\cos x+1=0$. $\cos x=-\frac12$ lub $\cos x=-1$. $x=\frac{2\pi}3$, $\frac{4\pi}3$, $\pi$. Odpowiedź: $\tfrac{2\pi}3,\ \pi,\ \tfrac{4\pi}3$
Schemat punktowania: 1 pkt — wzór $\cos2x=2\cos^2x-1$, 2 pkt — równanie kwadratowe i jego rozwiązania, 3 pkt — rozwiązania jednej serii, 4 pkt — wszystkie trzy rozwiązania. ✎ Samoocena wg schematu punktowania — ile punktów zdobył(a)byś? 0 1 2 3 4 / 4 pkt
PR11.9 otwarte ★★★ 0–3 pkt 🔗 Rozwiąż równanie $2\sin5x\cos3x=\sin8x+\frac12$.
▼ Pokaż rozwiązanie $2\sin5x\cos3x=\sin8x+\sin2x$. Równanie: $\sin8x+\sin2x=\sin8x+\frac12 \Rightarrow \sin2x=\frac12$. $2x=\frac\pi6+2k\pi$ lub $2x=\frac{5\pi}6+2k\pi$, więc $x=\frac\pi{12}+k\pi$ lub $x=\frac{5\pi}{12}+k\pi$. Odpowiedź: $x=\tfrac{\pi}{12}+k\pi$ lub $x=\tfrac{5\pi}{12}+k\pi$, $k\in\mathbb Z$
Schemat punktowania: 1 pkt — zamiana iloczynu na sumę, 2 pkt — równanie $\sin2x=\frac12$, 3 pkt — obie serie rozwiązań. ✎ Samoocena wg schematu punktowania — ile punktów zdobył(a)byś? 0 1 2 3 / 3 pkt
PR11.10 otwarte ★★★ 0–4 pkt 🔗 Rozwiąż nierówność $2\sin^2x\gt \sin x$ w przedziale $[0,2\pi]$.
▼ Pokaż rozwiązanie $\sin x(2\sin x-1)\gt 0 \iff \sin x\lt 0$ lub $\sin x\gt \frac12$. $\sin x\gt \frac12$: $x\in\left(\frac\pi6,\frac{5\pi}6\right)$. $\sin x\lt 0$: $x\in(\pi,2\pi)$. Suma: $\left(\frac\pi6,\frac{5\pi}6\right)\cup(\pi,2\pi)$. Odpowiedź: $x\in\left(\tfrac\pi6,\tfrac{5\pi}6\right)\cup(\pi,2\pi)$
Schemat punktowania: 1 pkt — postać $\sin x(2\sin x-1)\gt 0$, 2 pkt — warunek $\sin x\lt 0$ lub $\sin x\gt \frac12$, 3 pkt — jeden z przedziałów, 4 pkt — poprawna suma. ✎ Samoocena wg schematu punktowania — ile punktów zdobył(a)byś? 0 1 2 3 4 / 4 pkt
PR11.11 zamknięte ★★★ 0–1 pkt 🔗 Rozwiązaniem równania $\sin x=1$ w $\langle0,2\pi)$ jest
A $\tfrac{\pi}{2}$
B $0$
C $\pi$
D $\tfrac{3\pi}{2}$
▼ Pokaż rozwiązanie $\sin\tfrac{\pi}{2}=1$. Odpowiedź: A
Dlaczego nie pozostałe? D daje $-1$.
PR11.12 zamknięte ★★★ 0–1 pkt 🔗 Rozwiązaniem równania $\cos x=1$ w $\langle0,2\pi)$ jest
A $\pi$
B $0$
C $\tfrac{\pi}{2}$
D $2\pi$
▼ Pokaż rozwiązanie $\cos0=1$. Odpowiedź: B
Dlaczego nie pozostałe? A daje $-1$.
PR11.13 zamknięte ★★★ 0–1 pkt 🔗 Rozwiązaniem równania $\cos x=\tfrac{\sqrt2}{2}$ w przedziale $\left(0,\tfrac{\pi}{2}\right)$ jest
A $\tfrac{\pi}{6}$
B $\tfrac{\pi}{3}$
C $\tfrac{\pi}{4}$
D $\tfrac{\pi}{2}$
▼ Pokaż rozwiązanie $\cos\tfrac{\pi}{4}=\tfrac{\sqrt2}{2}$ i $\tfrac{\pi}{4}\in\left(0,\tfrac{\pi}{2}\right)$. Odpowiedź: C
Dlaczego nie pozostałe? A daje $\cos=\tfrac{\sqrt3}{2}$, B daje $\cos=\tfrac12$, D daje $\cos=0$ i leży poza przedziałem.
PR11.14 zamknięte ★★★ 0–1 pkt 🔗 Ile rozwiązań w przedziale $\langle0,2\pi\rangle$ ma równanie $\sin x=0$?
▼ Pokaż rozwiązanie $\sin x=0$ dla $x=k\pi$. W przedziale $\langle0,2\pi\rangle$: $0$, $\pi$, $2\pi$ — trzy rozwiązania (końce należą do przedziału). Odpowiedź: D
Dlaczego nie pozostałe? A i B pomijają rozwiązania na końcach przedziału, C myli z równaniem sprzecznym.
PR11.15 odpowiedź krótka ★★★ 0–1 pkt 🔗 Rozwiąż równanie $2\sin x=1$ w przedziale $\langle0,2\pi\rangle$.
▼ Pokaż rozwiązanie $\sin x=\tfrac12$. W $\langle0,2\pi\rangle$: $x=\tfrac{\pi}{6}$ lub $x=\pi-\tfrac{\pi}{6}=\tfrac{5\pi}{6}$. Odpowiedź: $x=\tfrac{\pi}{6}$ lub $x=\tfrac{5\pi}{6}$
✎ Samoocena wg schematu punktowania — ile punktów zdobył(a)byś? 0 1 / 1 pkt
← PR10 Tożsamości trygonometryczne Wszystkie klucze
PR12 Planimetria z twierdzeniem sinusów i cosinusów →
Pobierz PDF — matura rozszerzona
