Uwzględnij ograniczenia (zero z przodu, sąsiedztwo) — często przez odejmowanie.
Pomnóż/dodaj; skontroluj na małym przykładzie.
⚠️ Najczęstsze pułapki
Źle
Dobrze
Dlaczego
✗ wybór delegacji: $10\cdot9\cdot8$
✓ $\binom{10}3=120$
kolejność nie ma znaczenia
✗ zero na początku liczby wliczone
✓ odejmij układy z zerem z przodu
liczba nie zaczyna się od $0$
✗ „obok siebie”: $5!$
✓ $2\cdot5!$
dwa ustawienia wewnątrz bloku
✗ „co najmniej 2 kobiety” jako $\binom72\binom{10}{2}$
✓ rozbij na przypadki $2,3,4$
podwójne liczenie
✍️ Przykład wzorcowy typ zadania 6 z matury 2024
Oblicz, ile jest liczb naturalnych czterocyfrowych, w których cyfra tysięcy jest większa od cyfry setek, cyfra setek — większa od cyfry dziesiątek, a cyfra dziesiątek — większa od cyfry jedności.
Cyfry muszą być różne i ustawione malejąco — każdy zbiór czterech różnych cyfr wyznacza dokładnie jedną taką liczbę.
Zero nigdy nie trafi na początek (jest najmniejsze), więc wystarczy wybrać zbiór $4$ cyfr spośród $10$.
$\binom{10}{4}=210$.
Odpowiedź: $210$
Jak CKE przyznaje punkty:
1 pkt — zauważenie, że liczba jest wyznaczona przez zbiór cyfr,
2 pkt — uzasadnienie, że zero nie stoi na początku,
3 pkt — wynik $210$.
📊 Ślad w prawdziwych arkuszach CKE
Zadania autentyczne. Niżej są prawdziwe zadania z arkuszy CKE — numer i punktacja zgodne z oryginalnym arkuszem. Kliknij rok, aby otworzyć cały arkusz.
Zadania autorskie. To nie są przedruki z arkuszy — ułożyliśmy je w formacie maturalnym, na wzorów z tabeli „Ślad w arkuszach CKE” powyżej. Typ, punktacja i poziom trudności odpowiadają realnym zadaniom egzaminacyjnym.
Zadania zamknięte sprawdzają się po kliknięciu odpowiedzi (jedna próba). W otwartych porównaj swoje rozwiązanie z wzorcowym i wystaw samoocenę według schematu punktowania — wynik zapisze się na koncie.
Oblicz, ile jest liczb naturalnych czterocyfrowych o niepowtarzających się cyfrach, w których zapisie występują dokładnie dwie cyfry parzyste i dokładnie dwie cyfry nieparzyste.
Wybór cyfr: nieparzyste $\binom52=10$, parzyste $\binom52=10$; ustawienia: $4!=24$. Razem $2400$ (z zerem na początku).
Złe: $0$ na początku — druga parzysta $4$ sposoby, nieparzyste $\binom52=10$, reszta ustawiona na $3!=6$ sposobów: $240$.
$2400-240=2160$.
Odpowiedź: $2160$
Schemat punktowania:
1 pkt — liczba wyborów cyfr i ustawień (z zerem na początku),
2 pkt — poprawne policzenie przypadków z zerem na początku,
3 pkt — wynik $2160$.
✎ Samoocena wg schematu punktowania — ile punktów zdobył(a)byś?/ 3 pkt
Spośród $7$ kobiet i $5$ mężczyzn wybieramy czteroosobową komisję. Oblicz, na ile sposobów można to zrobić, aby w komisji były co najmniej dwie kobiety.
Oblicz, ile jest trójkątów, których wierzchołkami są wierzchołki dziesięciokąta foremnego i które nie mają żadnego boku wspólnego z tym dziesięciokątem.
Wszystkich trójkątów: $\binom{10}3=120$.
Z dwoma bokami dziesięciokąta (trzy kolejne wierzchołki): $10$.
Z dokładnie jednym bokiem: $10$ boków $\cdot$ $6$ wierzchołków niesąsiednich z tym bokiem $=60$.
$120-10-60=50$.
Odpowiedź: $50$
Schemat punktowania:
1 pkt — liczba wszystkich trójkątów,
2 pkt — policzenie trójkątów z jednym i z dwoma bokami,
3 pkt — wynik $50$.
✎ Samoocena wg schematu punktowania — ile punktów zdobył(a)byś?/ 3 pkt
Załóż bezpłatne konto i otwórz dostęp do pełnego śledzenia postępów, planów nauki i quizów. Arkusze i zadania podstawowe są dostępne bez rejestracji. Już ponad 5 000 uczniów uczy się z Matematix.
