Strona główna › Poradnik maturalny › Matura rozszerzona › PR02 PR02 Dowody algebraiczne i nierówności — klucz maturalny, poziom rozszerzony 🔑 Sygnał: Wszystko na jedną stronę → rozkład z $(a-b)^2$ → znak każdego czynnika → wniosek.
🔒
Zaloguj się , aby zapisywać wyniki zadań tego klucza na swoim koncie.
Teoria Wzory Algorytm Pułapki Przykład Ślad w CKE Zadania (15)
🎯 Co musisz umieć przekształcać nierówność równoważnie do postaci „wyrażenie $\ge0$”, rozkładać na czynniki: $(a-b)^2(a+b)$, $(x-1)^2(\dots)$, grupowanie, stosować $(a-b)^2\ge0$, nierówność między średnimi $\frac{a+b}2\ge\sqrt{ab}$, sumę kwadratów, uzasadniać znak każdego czynnika i wskazywać przypadek równości. 🔍 Jak rozpoznać zadanie „Wykaż, że dla każdych dodatnich $x,y$…” — nierówność wielomianowa lub wymierna, „liczby spełniają równanie … i nierówność …. Wykaż, że $x=\dots$” — nierówność typu $(x-y)^2\cdot(\dots)\le0$, założenie $b\ne\frac12a$ → w rozkładzie pojawi się $(a-2b)^2$.
📘 Teoria w pigułce Dowód nierówności: przenieś wszystko na jedną stronę i wykaż, że otrzymane wyrażenie jest nieujemne (dodatnie). Kwadrat liczby rzeczywistej jest nieujemny: $(a-b)^2\ge0$, równość tylko dla $a=b$. Dla $a,b\gt 0$: $a^3+b^3-a^2b-ab^2=(a-b)^2(a+b)\ge0$. Przy mianownikach dodatnich ($x,y\gt 0$) mnożymy obie strony przez wspólny mianownik bez zmiany znaku. Suma kwadratów równa zero (lub $\le0$) ⇒ każdy kwadrat jest zerem. ⚙️ Algorytm krok po kroku Przenieś wszystko na jedną stronę (przy $x,y\gt 0$ pomnóż przez wspólny mianownik). Rozłóż na czynniki — szukaj $(a-b)$ przez grupowanie. Uzasadnij znak każdego czynnika (kwadrat $\ge0$, suma dodatnich $\gt 0$). Zakończ wnioskiem; przy „wykaż, że $x=y$” — z $(x-y)^2\le0$ wynika $x=y$. ✍️ Przykład wzorcowy typ zadania 4 z matury 2023
Liczby rzeczywiste $x$ i $y$ spełniają równanie $x+y=6$ oraz nierówność $x^3-x^2y\le xy^2-y^3$. Wykaż, że $x=3$ i $y=3$.
▼ Pokaż rozwiązanie
Przenosimy: $x^3-x^2y-xy^2+y^3\le0$. Grupujemy: $x^2(x-y)-y^2(x-y)=(x-y)(x^2-y^2)=(x-y)^2(x+y)\le0$. $x+y=6\gt 0$, więc $(x-y)^2\le0$. Kwadrat jest nieujemny, zatem $(x-y)^2=0$, czyli $x=y$. Z $x+y=6$: $x=y=3$. $\blacksquare$ Odpowiedź: dowód
Jak CKE przyznaje punkty: 1 pkt — przekształcenie do postaci $(x-y)^2(x+y)\le0$ (lub równoważnej), 2 pkt — wykorzystanie $x+y=6\gt 0$ i wniosek $(x-y)^2\le0$, 3 pkt — pełne rozumowanie zakończone $x=y=3$. 📊 Ślad w prawdziwych arkuszach CKE
Zadania autentyczne. Niżej są prawdziwe zadania z arkuszy CKE — numer i punktacja zgodne z oryginalnym arkuszem. Kliknij rok, aby otworzyć cały arkusz.
✍️ Trening: 15 zadań w formacie maturalnym
Zadania autorskie. To nie są przedruki z arkuszy — ułożyliśmy je w formacie maturalnym, na wzorów z tabeli „Ślad w arkuszach CKE” powyżej. Typ, punktacja i poziom trudności odpowiadają realnym zadaniom egzaminacyjnym.
Zadania zamknięte sprawdzają się po kliknięciu odpowiedzi (jedna próba). W otwartych porównaj swoje rozwiązanie z wzorcowym i wystaw samoocenę według schematu punktowania — wynik zapisze się na koncie.
PR02.1 otwarte ★★★ 0–2 pkt 🔗 Wykaż, że dla dowolnych liczb rzeczywistych $a$ i $b$ prawdziwa jest nierówność $a^2+b^2\ge2ab$.
▼ Pokaż rozwiązanie $a^2+b^2-2ab=(a-b)^2\ge0$, więc $a^2+b^2\ge2ab$. Równość tylko dla $a=b$. $\blacksquare$ Odpowiedź: dowód
Schemat punktowania: 1 pkt — zapis $a^2+b^2-2ab=(a-b)^2$, 2 pkt — wniosek z nieujemności kwadratu. ✎ Samoocena wg schematu punktowania — ile punktów zdobył(a)byś? 0 1 2 / 2 pkt
PR02.2 otwarte ★★★ 0–2 pkt 🔗 Wykaż, że dla każdej liczby dodatniej $x$ prawdziwa jest nierówność $x+\dfrac1x\ge2$.
▼ Pokaż rozwiązanie Mnożymy przez $x\gt 0$: $x^2+1\ge2x \iff x^2-2x+1\ge0 \iff (x-1)^2\ge0$ — prawda. $\blacksquare$ Odpowiedź: dowód
Schemat punktowania: 1 pkt — pomnożenie przez $x\gt 0$ z komentarzem, 2 pkt — postać $(x-1)^2\ge0$ i wniosek. ✎ Samoocena wg schematu punktowania — ile punktów zdobył(a)byś? 0 1 2 / 2 pkt
PR02.3 otwarte ★★★ 0–3 pkt 🔗 Wykaż, że dla dowolnych liczb dodatnich $a$ i $b$ prawdziwa jest nierówność $(a+b)\left(\dfrac1a+\dfrac1b\right)\ge4$.
▼ Pokaż rozwiązanie Wymnażamy: $1+\frac ab+\frac ba+1=2+\frac ab+\frac ba$. Z zadania 2 (dla $x=\frac ab\gt 0$): $\frac ab+\frac ba\ge2$. Zatem lewa strona $\ge4$. $\blacksquare$ (Równość dla $a=b$.) Odpowiedź: dowód
Schemat punktowania: 1 pkt — wymnożenie nawiasów, 2 pkt — uzasadnienie $\frac ab+\frac ba\ge2$ (np. $\frac{(a-b)^2}{ab}\ge0$), 3 pkt — wniosek. ✎ Samoocena wg schematu punktowania — ile punktów zdobył(a)byś? 0 1 2 3 / 3 pkt
PR02.4 otwarte ★★★ 0–3 pkt 🔗 Wykaż, że dla każdej liczby rzeczywistej $x$ prawdziwa jest nierówność $x^4-4x+3\ge0$.
▼ Pokaż rozwiązanie $x=1$ jest pierwiastkiem: $1-4+3=0$. Dzielimy: $x^4-4x+3=(x-1)(x^3+x^2+x-3)$. Znów $x=1$: $x^3+x^2+x-3=(x-1)(x^2+2x+3)$. Zatem $x^4-4x+3=(x-1)^2(x^2+2x+3)$. $(x-1)^2\ge0$ oraz $x^2+2x+3=(x+1)^2+2\gt 0$, więc iloczyn $\ge0$. $\blacksquare$ Odpowiedź: dowód
Schemat punktowania: 1 pkt — zauważenie pierwiastka $x=1$ i podzielenie wielomianu, 2 pkt — rozkład $(x-1)^2(x^2+2x+3)$, 3 pkt — uzasadnienie znaków obu czynników. ✎ Samoocena wg schematu punktowania — ile punktów zdobył(a)byś? 0 1 2 3 / 3 pkt
PR02.5 otwarte ★★★ 0–3 pkt 🔗 Wykaż, że dla dowolnych liczb dodatnich $a$ i $b$ prawdziwa jest nierówność $a^3+b^3\ge a^2b+ab^2$.
▼ Pokaż rozwiązanie $a^3+b^3-a^2b-ab^2=a^2(a-b)-b^2(a-b)=(a-b)(a^2-b^2)=(a-b)^2(a+b)$. $(a-b)^2\ge0$ i $a+b\gt 0$, więc wyrażenie jest nieujemne. $\blacksquare$ Odpowiedź: dowód
Schemat punktowania: 1 pkt — przeniesienie i pogrupowanie wyrazów, 2 pkt — rozkład $(a-b)^2(a+b)$, 3 pkt — uzasadnienie znaku i wniosek. ✎ Samoocena wg schematu punktowania — ile punktów zdobył(a)byś? 0 1 2 3 / 3 pkt
PR02.6 otwarte ★★★ 0–3 pkt 🔗 Liczby rzeczywiste $a$ i $b$ spełniają warunki $a+b=2$ oraz $a^2+b^2\le2$. Wykaż, że $a=b=1$.
▼ Pokaż rozwiązanie $(a-b)^2=2(a^2+b^2)-(a+b)^2$ (sprawdź, wymnażając). Zatem $(a-b)^2\le2\cdot2-4=0$. Kwadrat jest nieujemny, więc $(a-b)^2=0 \Rightarrow a=b$, a z $a+b=2$: $a=b=1$. $\blacksquare$ Odpowiedź: dowód
Schemat punktowania: 1 pkt — zapis tożsamości $(a-b)^2=2(a^2+b^2)-(a+b)^2$ lub obliczenie $ab\ge1$, 2 pkt — wniosek $(a-b)^2\le0$, 3 pkt — $a=b=1$. ✎ Samoocena wg schematu punktowania — ile punktów zdobył(a)byś? 0 1 2 3 / 3 pkt
PR02.7 otwarte ★★★ 0–3 pkt 🔗 Wykaż, że dla dowolnych liczb dodatnich $a$ i $b$ prawdziwa jest nierówność $(a+b)^3\ge4ab(a+b)$.
▼ Pokaż rozwiązanie $(a+b)^3-4ab(a+b)=(a+b)\big[(a+b)^2-4ab\big]=(a+b)(a-b)^2$. $a+b\gt 0$ i $(a-b)^2\ge0$, więc różnica jest nieujemna. $\blacksquare$ Odpowiedź: dowód
Schemat punktowania: 1 pkt — wyłączenie $(a+b)$ przed nawias, 2 pkt — zapis $(a+b)^2-4ab=(a-b)^2$, 3 pkt — uzasadnienie i wniosek. ✎ Samoocena wg schematu punktowania — ile punktów zdobył(a)byś? 0 1 2 3 / 3 pkt
PR02.8 otwarte ★★★ 0–3 pkt 🔗 Wykaż, że dla dowolnych liczb rzeczywistych $a$, $b$, $c$ prawdziwa jest nierówność $a^2+b^2+c^2\ge ab+bc+ca$.
▼ Pokaż rozwiązanie Mnożymy przez $2$: $2a^2+2b^2+2c^2-2ab-2bc-2ca\ge0$. Lewa strona to $(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2$ — suma kwadratów, więc jest $\ge0$. $\blacksquare$ Odpowiedź: dowód
Schemat punktowania: 1 pkt — pomnożenie przez $2$ i przeniesienie wyrazów, 2 pkt — zapis w postaci sumy trzech kwadratów, 3 pkt — wniosek. ✎ Samoocena wg schematu punktowania — ile punktów zdobył(a)byś? 0 1 2 3 / 3 pkt
PR02.9 otwarte ★★★ 0–3 pkt 🔗 Wykaż, że dla każdej liczby całkowitej $n$ liczba $n^5-n$ jest podzielna przez $30$.
▼ Pokaż rozwiązanie $n^5-n=n(n^4-1)=n(n^2-1)(n^2+1)$. Zapisujemy $n^2+1=(n^2-4)+5$: $n^5-n=(n-2)(n-1)n(n+1)(n+2)+5(n-1)n(n+1)$. Pierwszy składnik — iloczyn pięciu kolejnych liczb całkowitych — dzieli się przez $2$, $3$ i $5$, więc przez $30$. Drugi: $(n-1)n(n+1)$ dzieli się przez $6$, więc $5\cdot(n-1)n(n+1)$ przez $30$. Suma dzieli się przez $30$. $\blacksquare$ Odpowiedź: dowód
Schemat punktowania: 1 pkt — rozkład $n(n-1)(n+1)(n^2+1)$, 2 pkt — uzasadnienie podzielności przez $6$ i przez $5$ (np. rozbicie $n^2+1=(n^2-4)+5$ lub reszty z dzielenia przez $5$), 3 pkt — pełny wniosek. ✎ Samoocena wg schematu punktowania — ile punktów zdobył(a)byś? 0 1 2 3 / 3 pkt
PR02.10 otwarte ★★★ 0–3 pkt 🔗 Liczby dodatnie $a$ i $b$ spełniają warunek $a+b=1$. Wykaż, że $ab\le\tfrac14$ oraz $\left(1+\dfrac1a\right)\left(1+\dfrac1b\right)\ge9$.
▼ Pokaż rozwiązanie $\frac14-ab=\frac{(a+b)^2}{4}-ab=\frac{(a-b)^2}{4}\ge0$, więc $ab\le\frac14$. $\left(1+\frac1a\right)\left(1+\frac1b\right)=1+\frac1a+\frac1b+\frac1{ab}=1+\frac{a+b}{ab}+\frac1{ab}=1+\frac{2}{ab}$. Skoro $0\lt ab\le\frac14$, to $\frac2{ab}\ge8$ i całe wyrażenie $\ge9$. $\blacksquare$ Odpowiedź: dowód
Schemat punktowania: 1 pkt — wykazanie $ab\le\frac14$, 2 pkt — przekształcenie do postaci $1+\frac{2}{ab}$, 3 pkt — wniosek $\ge9$. ✎ Samoocena wg schematu punktowania — ile punktów zdobył(a)byś? 0 1 2 3 / 3 pkt
PR02.11 zamknięte ★★★ 0–1 pkt 🔗
A zawsze nieujemne
B zawsze dodatnie
C zawsze ujemne
D równe $a^2-b^2$
▼ Pokaż rozwiązanie Kwadrat jest $\ge0$. Odpowiedź: A
Dlaczego nie pozostałe? B - może być równe $0$.
PR02.12 zamknięte ★★★ 0–1 pkt 🔗 Liczba nieparzysta podzielna przez $3$ ma postać ($k$ — liczba całkowita)
▼ Pokaż rozwiązanie Nieparzyste wielokrotności $3$ to $3\cdot(2k+1)=6k+3$. Odpowiedź: B
Dlaczego nie pozostałe? A bywa parzysta (np. $6$), C nie musi być podzielna przez $3$ (np. $5$), D jest zawsze parzysta.
PR02.13 zamknięte ★★★ 0–1 pkt 🔗 Suma trzech kolejnych liczb całkowitych jest podzielna przez
▼ Pokaż rozwiązanie $n+(n+1)+(n+2)=3(n+1)$. Odpowiedź: C
Dlaczego nie pozostałe? Podzielna przez $3$.
PR02.14 zamknięte ★★★ 0–1 pkt 🔗 Nierówność $(x-1)^2\ge0$ jest prawdziwa dla
A $x\ge1$
B $x>1$
C $x=1$
D każdego $x$
▼ Pokaż rozwiązanie Kwadrat jest zawsze $\ge0$. Odpowiedź: D
Dlaczego nie pozostałe? A zawęża niepotrzebnie.
PR02.15 odpowiedź krótka ★★★ 0–1 pkt 🔗 Wykaż, że dla dowolnych liczb rzeczywistych $a,b$ zachodzi $a^2+b^2\ge2ab$.
▼ Pokaż rozwiązanie $(a-b)^2\ge0$. $a^2-2ab+b^2\ge0\Rightarrow a^2+b^2\ge2ab$. Odpowiedź: nierówność wynika z $(a-b)^2\ge0$
✎ Samoocena wg schematu punktowania — ile punktów zdobył(a)byś? 0 1 / 1 pkt
← PR01 Funkcja wykładnicza i logarytmiczna Wszystkie klucze
PR03 Wartość bezwzględna — równania i nierówności →
Pobierz PDF — matura rozszerzona
