Klasyczny: $|\Omega|$ i $|A|$ kombinatorycznie. Bernoulli: $n$, $k$, $p$. Warunkowy: najpierw $B$, potem $A\cap B$.
Zapisz wzór z podstawionymi liczbami (to zwykle 1–2 pkt).
Oblicz i sprawdź, czy wynik jest w $[0,1]$.
⚠️ Najczęstsze pułapki
Źle
Dobrze
Dlaczego
✗ Bernoulli bez $\binom nk$
✓ $\binom nk p^kq^{n-k}$
sukcesy mogą być w różnych próbach
✗ $P(A|B)=\frac{P(A)}{P(B)}$
✓ $\frac{P(A\cap B)}{P(B)}$
iloczyn zdarzeń w liczniku
✗ „co najmniej $3$ z $4$”: tylko $k=3$
✓ $k=3$ i $k=4$
co najmniej = suma
✗ drzewo: dodawanie w gałęzi
✓ w gałęzi mnożymy, gałęzie dodajemy
reguła drzewa
✍️ Przykład wzorcowy typ zadań 2 (2023) i 3 (2024)
Prawdopodobieństwo, że losowo wybrana żarówka jest wadliwa, jest równe $0{,}1$. Kupujemy $5$ żarówek (wadliwość niezależna). Oblicz prawdopodobieństwo, że wśród nich będzie co najwyżej jedna wadliwa. Wynik podaj z dokładnością do $0{,}001$.
Schemat Bernoulliego: $n=5$, sukces = żarówka wadliwa, $p=0{,}1$.
1 pkt — rozpoznanie schematu Bernoulliego z $n=5$, $p=0{,}1$,
2 pkt — zapis sumy dla $k=0$ i $k=1$,
3 pkt — wynik $\approx0{,}919$.
📊 Ślad w prawdziwych arkuszach CKE
Zadania autentyczne. Niżej są prawdziwe zadania z arkuszy CKE — numer i punktacja zgodne z oryginalnym arkuszem. Kliknij rok, aby otworzyć cały arkusz.
Zadania autorskie. To nie są przedruki z arkuszy — ułożyliśmy je w formacie maturalnym, na wzorów z tabeli „Ślad w arkuszach CKE” powyżej. Typ, punktacja i poziom trudności odpowiadają realnym zadaniom egzaminacyjnym.
Zadania zamknięte sprawdzają się po kliknięciu odpowiedzi (jedna próba). W otwartych porównaj swoje rozwiązanie z wzorcowym i wystaw samoocenę według schematu punktowania — wynik zapisze się na koncie.
Strzelec trafia do celu z prawdopodobieństwem $0{,}7$ w każdym strzale (niezależnie). Oddaje $4$ strzały. Oblicz prawdopodobieństwo, że trafi co najmniej $3$ razy.
Rzucamy trzy razy symetryczną sześcienną kostką. Oblicz prawdopodobieństwo, że otrzymamy co najmniej jedną szóstkę, pod warunkiem że suma wyrzuconych oczek jest równa $10$.
W urnie I są $3$ kule białe i $2$ czarne, a w urnie II — $1$ biała i $4$ czarne. Rzucamy monetą: orzeł — losujemy kulę z urny I, reszka — z urny II. Oblicz prawdopodobieństwo wylosowania kuli białej.
Ze zbioru $\{1,2,3,4,5,6\}$ losujemy bez zwracania sześć razy po jednej liczbie i zapisujemy je w kolejności losowania, tworząc ciąg. Oblicz prawdopodobieństwo, że liczby $1$ i $2$ stoją w tym ciągu obok siebie.
$|\Omega|=6!=720$.
Blok „12” lub „21”: $2\cdot5!=240$.
$P=\frac{240}{720}=\frac13$.
Odpowiedź: $\tfrac13$
Schemat punktowania:
1 pkt — $|\Omega|=720$,
2 pkt — $|A|=240$,
3 pkt — wynik $\frac13$.
✎ Samoocena wg schematu punktowania — ile punktów zdobył(a)byś?/ 3 pkt
Z urny, w której jest $5$ kul białych i $3$ czarne, losujemy bez zwracania dwie kule. Oblicz prawdopodobieństwo, że obie są białe, pod warunkiem że co najmniej jedna jest biała.
$|\Omega|=\binom82=28$. $B$ — co najmniej jedna biała: $28-\binom32=25$.
$A\cap B$ — obie białe: $\binom52=10$.
$P(A|B)=\frac{10}{25}=\frac25$.
Odpowiedź: $\tfrac25$
Schemat punktowania:
1 pkt — $|B|=25$,
2 pkt — $|A\cap B|=10$,
3 pkt — wynik $\frac25$.
✎ Samoocena wg schematu punktowania — ile punktów zdobył(a)byś?/ 3 pkt
Załóż bezpłatne konto i otwórz dostęp do pełnego śledzenia postępów, planów nauki i quizów. Arkusze i zadania podstawowe są dostępne bez rejestracji. Już ponad 5 000 uczniów uczy się z Matematix.
