Strona główna › Poradnik maturalny › Matura rozszerzona › PR13 PR13 Okręgi i czworokąty wpisane/opisane — klucz maturalny, poziom rozszerzony 🔑 Sygnał: Wpisany: kąty do $180^\circ$. Opisany: sumy boków. Przekątna + tw. cosinusów w dwóch trójkątach.
🔒
Zaloguj się , aby zapisywać wyniki zadań tego klucza na swoim koncie.
Teoria Wzory Algorytm Pułapki Przykład Ślad w CKE Zadania (15)
🎯 Co musisz umieć stosować warunki: wpisany ⇔ $\alpha+\gamma=180^\circ$; opisany ⇔ $a+c=b+d$, obliczać $R=\frac{abc}{4P}$ i $r=\frac Pp$; w trójkącie prostokątnym $r=\frac{a+b-c}2$, $R=\frac c2$, wykorzystywać równe odcinki stycznych i kąt prosty między promieniem a styczną, rozwiązywać czworokąt wpisany przez przekątną (dwa trójkąty, tw. cosinusów). 🔍 Jak rozpoznać zadanie „w czworokąt wpisano okrąg” → sumy przeciwległych boków, „na czworokącie opisano okrąg” → przeciwległe kąty dopełniają się do $180^\circ$, trapez opisany na okręgu → $h=2r$, suma podstaw = suma ramion.
📘 Teoria w pigułce Czworokąt wpisany w okrąg: $\alpha+\gamma=\beta+\delta=180^\circ$. Trapez wpisany jest równoramienny. Czworokąt opisany na okręgu: $a+c=b+d$. W trapezie opisanym wysokość $h=2r$. Odcinki stycznych z jednego punktu są równe; w trójkącie: od wierzchołka $A$ do punktu styczności $p-a$. $R=\frac{abc}{4P}$, $r=\frac{P}{p}$. Deltoid zawsze ma okrąg wpisany. ⚙️ Algorytm krok po kroku Zapisz warunek wpisania/opisania. Poprowadź przekątną — powstaną dwa trójkąty z kątami $\alpha$ i $180^\circ-\alpha$. Tw. cosinusów w obu trójkątach (ta sama przekątna!) → równanie. Połącz z warunkiem na boki i rozwiąż; pola/promienie na końcu. ✍️ Przykład wzorcowy umiejętność z zad. 8 (2023) i 11 (2026)
Trapez równoramienny o podstawach $8$ i $2$ jest opisany na okręgu. Oblicz promień tego okręgu oraz pole trapezu.
▼ Pokaż rozwiązanie
Warunek opisania: $8+2=2c \Rightarrow c=5$ (ramię). Rzut ramienia na dłuższą podstawę: $\frac{8-2}2=3$, więc $h=\sqrt{25-9}=4$. $r=\frac h2=2$, $P=\frac{8+2}2\cdot4=20$. Odpowiedź: $r=2$, $P=20$
Jak CKE przyznaje punkty: 1 pkt — ramię $c=5$ z warunku opisania, 2 pkt — wysokość $h=4$, 3 pkt — $r=2$ i $P=20$. 📊 Ślad w prawdziwych arkuszach CKE
Zadania autentyczne. Niżej są prawdziwe zadania z arkuszy CKE — numer i punktacja zgodne z oryginalnym arkuszem. Kliknij rok, aby otworzyć cały arkusz.
✍️ Trening: 15 zadań w formacie maturalnym
Zadania autorskie. To nie są przedruki z arkuszy — ułożyliśmy je w formacie maturalnym, na wzorów z tabeli „Ślad w arkuszach CKE” powyżej. Typ, punktacja i poziom trudności odpowiadają realnym zadaniom egzaminacyjnym.
Zadania zamknięte sprawdzają się po kliknięciu odpowiedzi (jedna próba). W otwartych porównaj swoje rozwiązanie z wzorcowym i wystaw samoocenę według schematu punktowania — wynik zapisze się na koncie.
PR13.1 odpowiedź krótka ★★★ 0–2 pkt 🔗 Oblicz promień okręgu wpisanego w trójkąt prostokątny o bokach $6$, $8$, $10$.
▼ Pokaż rozwiązanie $r=\frac{a+b-c}2=\frac{6+8-10}2=2$ (albo $r=\frac Pp=\frac{24}{12}$). Odpowiedź: $2$
✎ Samoocena wg schematu punktowania — ile punktów zdobył(a)byś? 0 1 2 / 2 pkt
PR13.2 odpowiedź krótka ★★★ 0–2 pkt 🔗 Oblicz promień okręgu opisanego na trójkącie o bokach $5$, $5$, $6$.
▼ Pokaż rozwiązanie Wysokość na podstawę $6$: $\sqrt{25-9}=4$, $P=12$. $R=\frac{abc}{4P}=\frac{150}{48}=\frac{25}8$. Odpowiedź: $\tfrac{25}{8}$
✎ Samoocena wg schematu punktowania — ile punktów zdobył(a)byś? 0 1 2 / 2 pkt
PR13.3 otwarte ★★★ 0–3 pkt 🔗 Trapez prostokątny o podstawach $12$ i $6$ jest opisany na okręgu. Oblicz promień tego okręgu.
▼ Pokaż rozwiązanie Ramię prostopadłe $=2r$, ramię ukośne $c$. Warunek: $12+6=2r+c \Rightarrow c=18-2r$. Pitagoras: $c^2=(2r)^2+6^2 \Rightarrow (18-2r)^2=4r^2+36 \Rightarrow 324-72r=36 \Rightarrow r=4$. Kontrola: $h=8$, $c=10$, $8+10=18$ ✓. Odpowiedź: $r=4$
Schemat punktowania: 1 pkt — warunek opisania, 2 pkt — równanie z Pitagorasa, 3 pkt — $r=4$. ✎ Samoocena wg schematu punktowania — ile punktów zdobył(a)byś? 0 1 2 3 / 3 pkt
PR13.4 otwarte ★★★ 0–2 pkt 🔗 Czworokąt $ABCD$ jest wpisany w okrąg, $|\angle DAB|=70^\circ$, $|\angle ABC|=95^\circ$. Oblicz miary pozostałych kątów czworokąta.
▼ Pokaż rozwiązanie $|\angle C|=180^\circ-70^\circ=110^\circ$, $|\angle D|=180^\circ-95^\circ=85^\circ$. Odpowiedź: $|\angle C|=110^\circ$, $|\angle D|=85^\circ$
Schemat punktowania: 1 pkt — warunek czworokąta wpisanego, 2 pkt — oba kąty. ✎ Samoocena wg schematu punktowania — ile punktów zdobył(a)byś? 0 1 2 / 2 pkt
PR13.5 otwarte ★★★ 0–4 pkt 🔗 Trójkąt ma boki długości $13$, $14$, $15$. Oblicz jego pole oraz promienie okręgów wpisanego i opisanego.
▼ Pokaż rozwiązanie Wysokość na bok $14$: $h^2=13^2-x^2=15^2-(14-x)^2 \Rightarrow x=5$, $h=12$, $P=84$ (albo wzór Herona: $\sqrt{21\cdot8\cdot7\cdot6}=84$). $r=\frac{84}{21}=4$. $R=\frac{13\cdot14\cdot15}{4\cdot84}=\frac{2730}{336}=\frac{65}8$. Odpowiedź: $P=84$, $r=4$, $R=\tfrac{65}8$
Schemat punktowania: 1 pkt — metoda obliczenia pola, 2 pkt — $P=84$, 3 pkt — $r=4$, 4 pkt — $R=\frac{65}{8}$. ✎ Samoocena wg schematu punktowania — ile punktów zdobył(a)byś? 0 1 2 3 4 / 4 pkt
PR13.6 otwarte ★★★ 0–3 pkt 🔗 Z punktu $P$ poprowadzono dwie styczne do okręgu o środku $O$ i promieniu $5$, styczne w punktach $A$ i $B$. $|PO|=13$. Oblicz długość odcinka stycznej $PA$ oraz długość cięciwy $AB$.
▼ Pokaż rozwiązanie $OA\perp PA$: $|PA|=\sqrt{169-25}=12$. Cięciwa $AB$ jest prostopadła do $OP$; połowa cięciwy to wysokość trójkąta $OAP$ z $A$: $\frac{5\cdot12}{13}=\frac{60}{13}$. $|AB|=\frac{120}{13}$. Odpowiedź: $|PA|=12$, $|AB|=\tfrac{120}{13}$
Schemat punktowania: 1 pkt — $|PA|=12$, 2 pkt — zauważenie $AB\perp OP$ i wysokości w $\triangle OAP$, 3 pkt — $|AB|=\frac{120}{13}$. ✎ Samoocena wg schematu punktowania — ile punktów zdobył(a)byś? 0 1 2 3 / 3 pkt
PR13.7 otwarte ★★★ 0–3 pkt 🔗 Okrąg wpisany w trójkąt $ABC$ o bokach $|BC|=7$, $|CA|=8$, $|AB|=9$ jest styczny do boku $AB$ w punkcie $K$. Oblicz $|AK|$ i $|KB|$.
▼ Pokaż rozwiązanie $p=\frac{7+8+9}2=12$. Odcinek stycznej z wierzchołka $A$: $p-|BC|=12-7=5$. Z wierzchołka $B$: $p-|CA|=12-8=4$. Kontrola: $5+4=9$ ✓. Odpowiedź: $|AK|=5$, $|KB|=4$
Schemat punktowania: 1 pkt — równość odcinków stycznych (układ lub wzór $p-a$), 2 pkt — $|AK|=5$, 3 pkt — $|KB|=4$. ✎ Samoocena wg schematu punktowania — ile punktów zdobył(a)byś? 0 1 2 3 / 3 pkt
PR13.8 otwarte ★★★ 0–5 pkt 🔗 Deltoid $ABCD$, w którym $|AB|=|AD|=6$ i $|CB|=|CD|$, jest wpisany w okrąg, a $|\angle BAD|=60^\circ$. Oblicz długości boków $BC$ i $CD$ oraz promień okręgu wpisanego w ten deltoid.
▼ Pokaż rozwiązanie Deltoid wpisany: kąty przy $B$ i $D$ są równe i sumują się do $180^\circ$, więc są proste. $|\angle BCD|=120^\circ$. $\triangle ABD$ równoboczny: $|BD|=6$. W $\triangle BCD$: $36=x^2+x^2+x^2=3x^2 \Rightarrow x=2\sqrt3$. $P=2\cdot\frac12\cdot6\cdot2\sqrt3=12\sqrt3$, $p=6+2\sqrt3$. $r=\frac{12\sqrt3}{6+2\sqrt3}=\frac{12\sqrt3(6-2\sqrt3)}{24}=3\sqrt3-3$. Odpowiedź: $|BC|=|CD|=2\sqrt3$, $r=3\sqrt3-3$
Schemat punktowania: 1 pkt — kąty proste przy $B$ i $D$, 2 pkt — $|BD|=6$, 3 pkt — $|BC|=2\sqrt3$, 4 pkt — pole i połowa obwodu, 5 pkt — $r=3\sqrt3-3$. ✎ Samoocena wg schematu punktowania — ile punktów zdobył(a)byś? 0 1 2 3 4 5 / 5 pkt
PR13.9 otwarte ★★★ 0–3 pkt 🔗 Trójkąt prostokątny ma przyprostokątne $a$ i $b$ oraz przeciwprostokątną $c$. Wykaż, że $r+R=\frac{a+b}{2}$, gdzie $r$ i $R$ — promienie okręgów wpisanego i opisanego.
▼ Pokaż rozwiązanie Środek okręgu opisanego to środek przeciwprostokątnej: $R=\frac c2$. Odcinki stycznych: $c=(a-r)+(b-r) \Rightarrow r=\frac{a+b-c}2$. $r+R=\frac{a+b-c}2+\frac c2=\frac{a+b}2$. $\blacksquare$ Odpowiedź: dowód
Schemat punktowania: 1 pkt — $R=\frac c2$, 2 pkt — $r=\frac{a+b-c}{2}$ z uzasadnieniem, 3 pkt — wniosek. ✎ Samoocena wg schematu punktowania — ile punktów zdobył(a)byś? 0 1 2 3 / 3 pkt
PR13.10 otwarte ★★★ 0–6 pkt 🔗 Czworokąt $ABCD$ jest wpisany w okrąg. $|AB|=3$, $|BC|=5$, $|CD|=8$, $|\angle ABC|=120^\circ$ oraz $|AD|\gt |AB|$. Oblicz $|AC|$, promień okręgu, $|AD|$ oraz pole czworokąta.
▼ Pokaż rozwiązanie $\triangle ABC$: $|AC|^2=9+25+15=49$, $|AC|=7$. $R=\frac{7}{2\sin120^\circ}=\frac{7\sqrt3}3$. $|\angle ADC|=60^\circ$. $\triangle ACD$: $49=64+x^2-8x \Rightarrow x^2-8x+15=0 \Rightarrow x=3$ lub $x=5$. Warunek $|AD|\gt |AB|=3$: $|AD|=5$. $P=\frac12\cdot3\cdot5\cdot\frac{\sqrt3}2+\frac12\cdot8\cdot5\cdot\frac{\sqrt3}2=\frac{15\sqrt3}4+10\sqrt3=\frac{55\sqrt3}4$. Odpowiedź: $|AC|=7$, $R=\tfrac{7\sqrt3}{3}$, $|AD|=5$, $P=\tfrac{55\sqrt3}{4}$
Schemat punktowania: 1 pkt — $|AC|=7$, 2 pkt — $R$, 3 pkt — kąt $ADC=60^\circ$ i równanie z tw. cosinusów, 4 pkt — rozwiązania $3$ i $5$, 5 pkt — wybór $|AD|=5$, 6 pkt — pole. ✎ Samoocena wg schematu punktowania — ile punktów zdobył(a)byś? 0 1 2 3 4 5 6 / 6 pkt
PR13.11 zamknięte ★★★ 0–1 pkt 🔗 W czworokącie wpisanym w okrąg kąt $70^\circ$ ma przeciwległy kąt
A $110^\circ$
B $70^\circ$
C $20^\circ$
D $290^\circ$
▼ Pokaż rozwiązanie $180^\circ-70^\circ=110^\circ$. Odpowiedź: A
Dlaczego nie pozostałe? C liczy do $90^\circ$.
PR13.12 zamknięte ★★★ 0–1 pkt 🔗 Suma kątów wewnętrznych pięciokąta wypukłego jest równa
A $360^\circ$
B $540^\circ$
C $720^\circ$
D $900^\circ$
▼ Pokaż rozwiązanie $(n-2)\cdot180^\circ$ dla $n=5$: $3\cdot180^\circ=540^\circ$. Odpowiedź: B
Dlaczego nie pozostałe? A to czworokąt, C to sześciokąt, D to siedmiokąt.
PR13.13 zamknięte ★★★ 0–1 pkt 🔗 W czworokąt $ABCD$ można wpisać okrąg. $|AB|=7$, $|BC|=5$, $|CD|=6$. Długość boku $DA$ jest równa
▼ Pokaż rozwiązanie W czworokącie opisanym na okręgu sumy przeciwległych boków są równe: $|AB|+|CD|=|BC|+|DA|$. $7+6=5+|DA|\Rightarrow|DA|=8$. Odpowiedź: C
Dlaczego nie pozostałe? A dodaje złe pary boków, B powtarza $|CD|$, D to suma trzech boków.
PR13.14 zamknięte ★★★ 0–1 pkt 🔗 Czworokąt $ABCD$ jest wpisany w okrąg i $|\angle A|=70^\circ$. Miara kąta $C$ jest równa
A $70^\circ$
B $20^\circ$
C $140^\circ$
D $110^\circ$
▼ Pokaż rozwiązanie W czworokącie wpisanym w okrąg przeciwległe kąty sumują się do $180^\circ$. $|\angle C|=180^\circ-70^\circ=110^\circ$. Odpowiedź: D
Dlaczego nie pozostałe? A przyjmuje równość kątów, B to dopełnienie do $90^\circ$, C podwaja kąt.
PR13.15 odpowiedź krótka ★★★ 0–1 pkt 🔗 Trapez równoramienny o podstawach $10$ i $4$ jest opisany na okręgu. Oblicz długość ramienia trapezu i promień tego okręgu.
▼ Pokaż rozwiązanie Warunek opisania: suma podstaw = suma ramion, więc $2c=10+4\Rightarrow c=7$. Rzut ramienia na dłuższą podstawę: $\tfrac{10-4}{2}=3$, wysokość $h=\sqrt{49-9}=\sqrt{40}=2\sqrt{10}$. Średnica okręgu wpisanego to wysokość: $r=\tfrac h2=\sqrt{10}$. Odpowiedź: ramię $7$, promień $r=\sqrt{10}$
✎ Samoocena wg schematu punktowania — ile punktów zdobył(a)byś? 0 1 / 1 pkt
← PR12 Planimetria z twierdzeniem sinusów i cosinusów Wszystkie klucze
PR14 Geometria analityczna: proste, punkty, pola →
Pobierz PDF — matura rozszerzona
