Oblicz promień okręgu wpisanego w trójkąt prostokątny o bokach $6$, $8$, $10$.
✎ Samoocena wg schematu punktowania — ile punktów zdobył(a)byś?/ 2 pkt
| Źle | Dobrze | Dlaczego |
|---|---|---|
| ✗ opisany: $\alpha+\gamma=180^\circ$ | ✓ opisany: $a+c=b+d$ | nie mylić warunków |
| ✗ $\cos(180^\circ-\alpha)=\cos\alpha$ | ✓ $=-\cos\alpha$ | przeciwny kąt w czworokącie wpisanym |
| ✗ $r=\frac{P}{\text{obwód}}$ | ✓ $r=\frac P{p}$, $p$ — połowa obwodu | połowa! |
| ✗ dwa rozwiązania bez sprawdzenia warunku | ✓ sprawdź warunek z treści | np. $|AD|\gt |AB|$ |
| Rok | Zadania | Pkt | Czego dotyczyło |
|---|---|---|---|
| 2026 | zad. 11 | 6 pkt | czworokąt wpisany w okrąg i opisany na okręgu: długości boków |
| 2025 | — | 0 pkt | brak |
| 2024 | — | 0 pkt | brak |
| 2023 | zad. 8 | 4 pkt | czworokąt opisany na okręgu ($|BC|=4$, $|CD|=5$) — tw. sinusów |
| 2022 | — | 0 pkt | brak zadania z tego klucza |
| 2021 | zad. 13 | 4 pkt | okrąg wpisany w trójkąt prostokątny — sinus większego kąta ostrego |
| 2020 | zad. 7 | 3 pkt | okrąg styczny do ramion trójkąta równoramiennego — dowód proporcji |
Zadania zamknięte sprawdzają się po kliknięciu odpowiedzi (jedna próba). W otwartych porównaj swoje rozwiązanie z wzorcowym i wystaw samoocenę według schematu punktowania — wynik zapisze się na koncie.
Oblicz promień okręgu wpisanego w trójkąt prostokątny o bokach $6$, $8$, $10$.
Oblicz promień okręgu opisanego na trójkącie o bokach $5$, $5$, $6$.
Trapez prostokątny o podstawach $12$ i $6$ jest opisany na okręgu. Oblicz promień tego okręgu.
Czworokąt $ABCD$ jest wpisany w okrąg, $|\angle DAB|=70^\circ$, $|\angle ABC|=95^\circ$. Oblicz miary pozostałych kątów czworokąta.
Trójkąt ma boki długości $13$, $14$, $15$. Oblicz jego pole oraz promienie okręgów wpisanego i opisanego.
Z punktu $P$ poprowadzono dwie styczne do okręgu o środku $O$ i promieniu $5$, styczne w punktach $A$ i $B$. $|PO|=13$. Oblicz długość odcinka stycznej $PA$ oraz długość cięciwy $AB$.
Okrąg wpisany w trójkąt $ABC$ o bokach $|BC|=7$, $|CA|=8$, $|AB|=9$ jest styczny do boku $AB$ w punkcie $K$. Oblicz $|AK|$ i $|KB|$.
Deltoid $ABCD$, w którym $|AB|=|AD|=6$ i $|CB|=|CD|$, jest wpisany w okrąg, a $|\angle BAD|=60^\circ$. Oblicz długości boków $BC$ i $CD$ oraz promień okręgu wpisanego w ten deltoid.
Trójkąt prostokątny ma przyprostokątne $a$ i $b$ oraz przeciwprostokątną $c$. Wykaż, że $r+R=\frac{a+b}{2}$, gdzie $r$ i $R$ — promienie okręgów wpisanego i opisanego.
Czworokąt $ABCD$ jest wpisany w okrąg. $|AB|=3$, $|BC|=5$, $|CD|=8$, $|\angle ABC|=120^\circ$ oraz $|AD|\gt |AB|$. Oblicz $|AC|$, promień okręgu, $|AD|$ oraz pole czworokąta.
Załóż bezpłatne konto i otwórz dostęp do pełnego śledzenia postępów, planów nauki i quizów. Arkusze i zadania podstawowe są dostępne bez rejestracji. Już ponad 5 000 uczniów uczy się z Matematix.