Strona główna › Poradnik maturalny › Matura rozszerzona › PR04 PR04 Wielomiany i nierówności wymierne — klucz maturalny, poziom rozszerzony 🔑 Sygnał: Pierwiastek z dzielników wyrazu wolnego → Horner → wężyk. Ułamki: wspólny mianownik, nie mnożyć!
🔒
Zaloguj się , aby zapisywać wyniki zadań tego klucza na swoim koncie.
Teoria Wzory Algorytm Pułapki Przykład Ślad w CKE Zadania (15)
🎯 Co musisz umieć stosować twierdzenie Bézouta i twierdzenie o pierwiastkach wymiernych, dzielić wielomiany (schemat Hornera) i wyznaczać resztę z dzielenia, rozwiązywać nierówności wielomianowe metodą „wężyka”, rozwiązywać nierówności wymierne (wspólny mianownik, dziedzina, iloczyn). 🔍 Jak rozpoznać zadanie wielomian stopnia $\ge3$ bez oczywistego grupowania → szukaj pierwiastka wśród dzielników wyrazu wolnego, „reszta z dzielenia przez $(x-1)(x+2)$” → reszta $ax+b$ i Bézout, ułamek z niewiadomą w mianowniku po stronie nierówności.
📘 Teoria w pigułce Bézout: $W(a)$ to reszta z dzielenia $W(x)$ przez $(x-a)$; $W(a)=0 \iff (x-a)\mid W(x)$. Pierwiastki wymierne $\frac pq$ wielomianu o współczynnikach całkowitych: $p$ dzieli wyraz wolny, $q$ — współczynnik przy najwyższej potędze. Wężyk: zaczynamy od prawej strony nad osią (gdy współczynnik wiodący $\gt 0$); przy pierwiastku parzystej krotności wężyk się „odbija”. $\frac{f(x)}{g(x)}\ge0 \iff f(x)g(x)\ge0$ i $g(x)\ne0$. Nie mnożymy nierówności przez mianownik o nieznanym znaku! ⚙️ Algorytm krok po kroku Przenieś wszystko na jedną stronę (przy ułamkach — wspólny mianownik). Znajdź pierwiastek (dzielniki wyrazu wolnego), podziel schematem Hornera, rozłóż do końca. Zaznacz pierwiastki licznika i mianownika na osi (mianownik — kółka puste). Narysuj wężyk i odczytaj zbiór rozwiązań. ✍️ Przykład wzorcowy umiejętność wykorzystywana w zad. 5 z matury 2026
Rozwiąż nierówność $x^3+2x^2-5x-6\le0$.
▼ Pokaż rozwiązanie
Szukamy pierwiastka wśród dzielników $6$: $W(-1)=-1+2+5-6=0$. Horner: $x^3+2x^2-5x-6=(x+1)(x^2+x-6)=(x+1)(x+3)(x-2)$. Pierwiastki: $-3,\ -1,\ 2$; współczynnik wiodący $\gt 0$ — wężyk od prawej nad osią. $W(x)\le0$ dla $x\in(-\infty,-3]\cup[-1,2]$. Odpowiedź: $x\in(-\infty,-3]\cup[-1,2]$
Jak CKE przyznaje punkty: 1 pkt — znalezienie pierwiastka i podzielenie wielomianu, 2 pkt — pełny rozkład na czynniki liniowe, 3 pkt — poprawny zbiór rozwiązań. 📊 Ślad w prawdziwych arkuszach CKE
Zadania autentyczne. Niżej są prawdziwe zadania z arkuszy CKE — numer i punktacja zgodne z oryginalnym arkuszem. Kliknij rok, aby otworzyć cały arkusz.
✍️ Trening: 15 zadań w formacie maturalnym
Zadania autorskie. To nie są przedruki z arkuszy — ułożyliśmy je w formacie maturalnym, na wzorów z tabeli „Ślad w arkuszach CKE” powyżej. Typ, punktacja i poziom trudności odpowiadają realnym zadaniom egzaminacyjnym.
Zadania zamknięte sprawdzają się po kliknięciu odpowiedzi (jedna próba). W otwartych porównaj swoje rozwiązanie z wzorcowym i wystaw samoocenę według schematu punktowania — wynik zapisze się na koncie.
PR04.1 odpowiedź krótka ★★★ 0–2 pkt 🔗 Oblicz resztę z dzielenia wielomianu $W(x)=x^3-2x^2+3x-5$ przez dwumian $x-2$.
▼ Pokaż rozwiązanie Z twierdzenia Bézouta reszta to $W(2)=8-8+6-5=1$. Odpowiedź: $1$
✎ Samoocena wg schematu punktowania — ile punktów zdobył(a)byś? 0 1 2 / 2 pkt
PR04.2 odpowiedź krótka ★★★ 0–2 pkt 🔗 Wyznacz $m$, dla którego liczba $2$ jest pierwiastkiem wielomianu $W(x)=x^3+mx^2-4x+4$.
▼ Pokaż rozwiązanie $W(2)=8+4m-8+4=4m+4=0 \Rightarrow m=-1$. Odpowiedź: $m=-1$
✎ Samoocena wg schematu punktowania — ile punktów zdobył(a)byś? 0 1 2 / 2 pkt
PR04.3 otwarte ★★★ 0–3 pkt 🔗 Rozwiąż nierówność $x^3-3x^2-4x+12\ge0$.
▼ Pokaż rozwiązanie Grupowanie: $x^2(x-3)-4(x-3)=(x-3)(x-2)(x+2)$. Pierwiastki $-2,\ 2,\ 3$; wężyk od prawej nad osią. $W(x)\ge0$ dla $x\in[-2,2]\cup[3,\infty)$. Odpowiedź: $x\in[-2,2]\cup[3,+\infty)$
Schemat punktowania: 1 pkt — rozkład na czynniki, 2 pkt — pierwiastki i szkic, 3 pkt — zbiór rozwiązań. ✎ Samoocena wg schematu punktowania — ile punktów zdobył(a)byś? 0 1 2 3 / 3 pkt
PR04.4 otwarte ★★★ 0–3 pkt 🔗 Rozwiąż równanie $2x^3-3x^2-3x+2=0$.
▼ Pokaż rozwiązanie Kandydaci: $\pm1,\pm2,\pm\frac12$. $W(2)=16-12-6+2=0$. Horner: $2x^3-3x^2-3x+2=(x-2)(2x^2+x-1)=(x-2)(2x-1)(x+1)$. Rozwiązania: $2,\ \frac12,\ -1$. Odpowiedź: $x\in\left\{-1,\ \tfrac12,\ 2\right\}$
Schemat punktowania: 1 pkt — znalezienie pierwiastka, 2 pkt — podzielenie i trójmian $2x^2+x-1$, 3 pkt — wszystkie rozwiązania. ✎ Samoocena wg schematu punktowania — ile punktów zdobył(a)byś? 0 1 2 3 / 3 pkt
PR04.5 otwarte ★★★ 0–3 pkt 🔗 Rozwiąż nierówność $\dfrac{x+1}{x-2}\ge2$.
▼ Pokaż rozwiązanie Dziedzina: $x\ne2$. $\frac{x+1}{x-2}-2=\frac{x+1-2x+4}{x-2}=\frac{5-x}{x-2}\ge0$. $\iff (5-x)(x-2)\ge0$ i $x\ne2 \iff (x-5)(x-2)\le0$, $x\ne2$. $x\in(2,5]$. Odpowiedź: $x\in(2,5]$
Schemat punktowania: 1 pkt — sprowadzenie do postaci $\frac{5-x}{x-2}\ge0$, 2 pkt — zamiana na nierówność iloczynową z dziedziną, 3 pkt — zbiór $(2,5]$. ✎ Samoocena wg schematu punktowania — ile punktów zdobył(a)byś? 0 1 2 3 / 3 pkt
PR04.6 otwarte ★★★ 0–4 pkt 🔗 Rozwiąż nierówność $\dfrac{x^2-1}{x+3}\le x-1$.
▼ Pokaż rozwiązanie Dziedzina: $x\ne-3$. $\frac{x^2-1-(x-1)(x+3)}{x+3}\le0 \Rightarrow \frac{x^2-1-x^2-2x+3}{x+3}=\frac{2-2x}{x+3}\le0$. $\iff \frac{x-1}{x+3}\ge0 \iff (x-1)(x+3)\ge0$, $x\ne-3$. $x\in(-\infty,-3)\cup[1,\infty)$. Odpowiedź: $x\in(-\infty,-3)\cup[1,+\infty)$
Schemat punktowania: 1 pkt — wspólny mianownik, 2 pkt — postać $\frac{2-2x}{x+3}\le0$, 3 pkt — zamiana na iloczyn z dziedziną, 4 pkt — poprawny zbiór. ✎ Samoocena wg schematu punktowania — ile punktów zdobył(a)byś? 0 1 2 3 4 / 4 pkt
PR04.7 otwarte ★★★ 0–3 pkt 🔗 Wielomian $W(x)=x^3+ax^2+bx-6$ jest podzielny przez dwumiany $x-1$ oraz $x+2$. Wyznacz $a$ i $b$ oraz trzeci pierwiastek tego wielomianu.
▼ Pokaż rozwiązanie $W(1)=1+a+b-6=0 \Rightarrow a+b=5$. $W(-2)=-8+4a-2b-6=0 \Rightarrow 2a-b=7$. Dodając: $3a=12 \Rightarrow a=4$, $b=1$. $W(x)=x^3+4x^2+x-6=(x-1)(x+2)(x+3)$ — trzeci pierwiastek $-3$. Odpowiedź: $a=4$, $b=1$, trzeci pierwiastek $-3$
Schemat punktowania: 1 pkt — układ równań z Bézouta, 2 pkt — $a=4$, $b=1$, 3 pkt — trzeci pierwiastek $-3$. ✎ Samoocena wg schematu punktowania — ile punktów zdobył(a)byś? 0 1 2 3 / 3 pkt
PR04.8 otwarte ★★★ 0–3 pkt 🔗 Reszta z dzielenia wielomianu $W(x)$ przez $x-1$ jest równa $3$, a przez $x+2$ jest równa $-3$. Wyznacz resztę z dzielenia $W(x)$ przez $(x-1)(x+2)$.
▼ Pokaż rozwiązanie $W(x)=(x-1)(x+2)Q(x)+ax+b$. $W(1)=a+b=3$, $W(-2)=-2a+b=-3$. $3a=6 \Rightarrow a=2$, $b=1$: $R(x)=2x+1$. Odpowiedź: $R(x)=2x+1$
Schemat punktowania: 1 pkt — zapis reszty jako $ax+b$ i warunków $W(1)=3$, $W(-2)=-3$, 2 pkt — rozwiązanie układu, 3 pkt — $R(x)=2x+1$. ✎ Samoocena wg schematu punktowania — ile punktów zdobył(a)byś? 0 1 2 3 / 3 pkt
PR04.9 otwarte ★★★ 0–3 pkt 🔗 Wyznacz wszystkie wartości $m$, dla których wielomian $W(x)=x^3-3x+m$ ma pierwiastek podwójny.
▼ Pokaż rozwiązanie Pierwiastek wielokrotny $x_0$ spełnia $W(x_0)=0$ i $W^\prime(x_0)=0$. $W^\prime(x)=3x^2-3=0 \Rightarrow x_0=\pm1$. $W(1)=m-2=0 \Rightarrow m=2$: $W=(x-1)^2(x+2)$. $W(-1)=m+2=0 \Rightarrow m=-2$: $W=(x+1)^2(x-2)$. Odpowiedź: $m=-2$ lub $m=2$
Schemat punktowania: 1 pkt — warunek $W(x_0)=W^\prime(x_0)=0$ (lub zapis $W=(x-p)^2(x-q)$), 2 pkt — $x_0=\pm1$, 3 pkt — $m=2$ i $m=-2$. ✎ Samoocena wg schematu punktowania — ile punktów zdobył(a)byś? 0 1 2 3 / 3 pkt
PR04.10 otwarte ★★★ 0–3 pkt 🔗 Rozwiąż nierówność $x^4-5x^2+4\lt 0$.
▼ Pokaż rozwiązanie $t=x^2\ge0$: $t^2-5t+4\lt 0 \Rightarrow 1\lt t\lt 4$. $1\lt x^2\lt 4 \Rightarrow 1\lt |x|\lt 2$. $x\in(-2,-1)\cup(1,2)$. Odpowiedź: $x\in(-2,-1)\cup(1,2)$
Schemat punktowania: 1 pkt — podstawienie lub rozkład $(x^2-1)(x^2-4)$, 2 pkt — $1\lt x^2\lt 4$, 3 pkt — poprawny zbiór. ✎ Samoocena wg schematu punktowania — ile punktów zdobył(a)byś? 0 1 2 3 / 3 pkt
PR04.11 zamknięte ★★★ 0–1 pkt 🔗 Stopień wielomianu $2x^4-x$ jest równy
▼ Pokaż rozwiązanie Najwyższa potęga $x^4$. Odpowiedź: A
Dlaczego nie pozostałe? B to współczynnik.
PR04.12 zamknięte ★★★ 0–1 pkt 🔗 Rozwiązaniem nierówności $(x+1)(x-3)\lt 0$ jest
A $(-\infty,-1)\cup(3,\infty)$
B $(-1,3)$
C $(-3,1)$
D $\langle-1,3\rangle$
▼ Pokaż rozwiązanie Miejsca zerowe: $-1$ i $3$; parabola ramionami w górę. Wartości ujemne między pierwiastkami: $x\in(-1,3)$. Odpowiedź: B
Dlaczego nie pozostałe? A to rozwiązanie $>0$, C ma zamienione znaki pierwiastków, D dołącza końce (nierówność ostra).
PR04.13 zamknięte ★★★ 0–1 pkt 🔗 Równanie $x^3-x=0$ ma rozwiązania
A $0,1$
B $-1,1$
C $-1,0,1$
D $0$
▼ Pokaż rozwiązanie $x(x-1)(x+1)=0$. Odpowiedź: C
Dlaczego nie pozostałe? A gubi $-1$.
PR04.14 zamknięte ★★★ 0–1 pkt 🔗 Rozwiązaniem nierówności $\dfrac{x-1}{x+2}>0$ jest
A $-2\lt x\lt 1$
B $x>1$
C $x\lt -2$
D $x\lt -2$ lub $x>1$
▼ Pokaż rozwiązanie Miejsca $1,-2$; dodatnia poza przedziałem. Odpowiedź: D
Dlaczego nie pozostałe? A to obszar ujemny.
PR04.15 odpowiedź krótka ★★★ 0–1 pkt 🔗 Rozwiąż równanie $x^3-2x^2-9x+18=0$.
▼ Pokaż rozwiązanie Grupowanie: $x^2(x-2)-9(x-2)=(x-2)(x^2-9)$. $(x-2)(x-3)(x+3)=0$. Odpowiedź: $x\in\{-3,\ 2,\ 3\}$
✎ Samoocena wg schematu punktowania — ile punktów zdobył(a)byś? 0 1 / 1 pkt
← PR03 Wartość bezwzględna — równania i nierówności Wszystkie klucze
PR05 Ciągi arytmetyczne i geometryczne — zadania łączone →
Pobierz PDF — matura rozszerzona
