Stereometria rozszerzona — klucz maturalny, poziom rozszerzony

1. $V=\frac{a^3\sqrt2}{12}=\frac{216\sqrt2}{12}=18\sqrt2$.

Odpowiedź: $18\sqrt2$

1. $R=\frac{6\sqrt3}3=2\sqrt3$; krawędź boczna $\sqrt{16+12}=\sqrt{28}=2\sqrt7$.

Odpowiedź: $2\sqrt7$

1. Połowa przekątnej podstawy: $3\sqrt2$; $H=\sqrt{25-18}=\sqrt7$; $V=\frac13\cdot36\cdot\sqrt7=12\sqrt7$.
2. Wysokość ściany: $\sqrt{25-9}=4$; $P_b=4\cdot\frac12\cdot6\cdot4=48$.

Odpowiedź: $V=12\sqrt7$, $P_b=48$

1. $R=2\sqrt3$, $H=R\operatorname{tg}60^\circ=6$. $P_p=9\sqrt3$, $V=\frac13\cdot9\sqrt3\cdot6=18\sqrt3$.
2. $r=\sqrt3$; wysokość ściany bocznej $h_b=\sqrt{36+3}=\sqrt{39}$.
3. $\cos\beta=\frac{r}{h_b}=\frac{\sqrt3}{\sqrt{39}}=\frac{1}{\sqrt{13}}=\frac{\sqrt{13}}{13}$.

Odpowiedź: $V=18\sqrt3$, $\cos\beta=\tfrac{\sqrt{13}}{13}$

1. Rzut $AG$ na podstawę to $AC=6\sqrt2$; $|AG|=6\sqrt3$; $\cos\alpha=\frac{6\sqrt2}{6\sqrt3}=\frac{\sqrt6}3$.
2. $AC$, $CH$, $AH$ to przekątne ścian — trójkąt równoboczny o boku $6\sqrt2$.
3. Pole: $\frac{72\sqrt3}4=18\sqrt3$.

Odpowiedź: $\cos\alpha=\tfrac{\sqrt6}3$, pole $18\sqrt3$

1. Ściany boczne są trójkątami równobocznymi. Wysokości ścian $SBC$ i $SDC$ opuszczone z $B$ i $D$ na $SC$ mają spodek w środku $SC$ i długość $\frac{a\sqrt3}2$.
2. $|BD|=a\sqrt2$. $\cos\varphi=\frac{\frac34a^2+\frac34a^2-2a^2}{2\cdot\frac34a^2}=\frac{-\frac12a^2}{\frac32a^2}=-\frac13$.

Odpowiedź: $-\tfrac13$

1. $r=\frac{a\sqrt3}6 \Rightarrow a=\frac{6r}{\sqrt3}=4\sqrt3$; $P_p=\frac{48\sqrt3}{4}=12\sqrt3$.
2. $H=r\operatorname{tg}60^\circ=2\sqrt3$, $h_b=\frac{r}{\cos60^\circ}=4$.
3. $V=\frac13\cdot12\sqrt3\cdot2\sqrt3=24$; $P_b=3\cdot\frac12\cdot4\sqrt3\cdot4=24\sqrt3$.

Odpowiedź: $V=24$, $P_b=24\sqrt3$

1. Środek kuli leży na osi stożka w odległości $8-5=3$ od podstawy.
2. $r^2=5^2-3^2=16$, $r=4$.
3. $V=\frac13\pi\cdot16\cdot8=\frac{128\pi}3$.

Odpowiedź: $\tfrac{128\pi}{3}$

1. Przekrój to trójkąt równoramienny $BDG$: $|BD|=4\sqrt2$.
2. $O$ — środek $BD$; $|OC|=2\sqrt2$, więc $|OG|=\sqrt{8+36}=2\sqrt{11}$ i $OG\perp BD$.
3. Pole: $\frac12\cdot4\sqrt2\cdot2\sqrt{11}=4\sqrt{22}$.
4. $\cos\alpha=\frac{|OC|}{|OG|}=\frac{2\sqrt2}{2\sqrt{11}}=\frac{\sqrt{22}}{11}$.

Odpowiedź: pole $4\sqrt{22}$, $\cos\alpha=\tfrac{\sqrt{22}}{11}$

1. Równe krawędzie boczne ⇒ spodek wysokości to środek okręgu opisanego na podstawie — środek przeciwprostokątnej $AB$; $R=5$.
2. $H=\sqrt{169-25}=12$.
3. $V=\frac13\cdot24\cdot12=96$.

Odpowiedź: $96$