Kąt dwuścienny: w obu ścianach prowadzimy prostopadłe do wspólnej krawędzi z tego samego punktu; kąt między nimi liczymy z tw. cosinusów.
Ostrosłup prawidłowy trójkątny: spodek w środku trójkąta; $R=\frac{a\sqrt3}3$, $r=\frac{a\sqrt3}6$.
Równe krawędzie boczne ⇔ spodek wysokości to środek okręgu opisanego na podstawie; równe kąty nachylenia ścian ⇔ środek okręgu wpisanego.
Czworościan foremny: $V=\frac{a^3\sqrt2}{12}$. Kąt między ścianami ostrosłupa, którego wszystkie krawędzie są równe: $\cos\varphi=-\frac13$.
∑ Najważniejsze wzory
$V=\tfrac13P_pH$
$R=\tfrac{a\sqrt3}3,\ r=\tfrac{a\sqrt3}6$
$\cos\varphi=\dfrac{h_1^2+h_2^2-d^2}{2h_1h_2}$
$V_{\text{czworościanu}}=\dfrac{a^3\sqrt2}{12}$
⚙️ Algorytm krok po kroku
Rysunek + oznaczenia; ustal spodek wysokości.
Wskaż kąt jako kąt w konkretnym trójkącie (nazwij wierzchołki).
Oblicz boki tego trójkąta (Pitagoras, pola, tw. cosinusów).
Oblicz funkcję trygonometryczną kąta, potem objętość/pole.
⚠️ Najczęstsze pułapki
Źle
Dobrze
Dlaczego
✗ kąt ściany z krawędzią boczną
✓ wysokość ściany i jej rzut
dwa różne kąty
✗ kąt między ścianami — wysokości z różnych punktów krawędzi
✓ z tego samego punktu
definicja kąta dwuściennego
✗ spodek zawsze w środku podstawy
✓ tylko w ostrosłupie prawidłowym
sprawdź, gdzie jest wysokość
✗ $\cos\varphi\lt 0$ → „błąd”
✓ kąt między ścianami bywa rozwarty
znak cosinusa
✍️ Przykład wzorcowy typ zadania 10 z matury 2025
Podstawą ostrosłupa $ABCDS$ jest kwadrat $ABCD$ o boku $6$, a krawędź $SA$ jest wysokością ostrosłupa i $|SA|=6$. Oblicz cosinus kąta między ścianami $SBC$ i $SDC$.
$|SB|=|SD|=6\sqrt2$, $|SC|=6\sqrt3$. $BC\perp AB$ i $BC\perp SA$, więc $BC\perp SB$ — trójkąt $SBC$ jest prostokątny.
Wysokość z $B$ na $SC$: $h=\frac{|SB|\cdot|BC|}{|SC|}=\frac{6\sqrt2\cdot6}{6\sqrt3}=2\sqrt6$; z symetrii taka sama z $D$, z tym samym spodkiem na $SC$.
$|BD|=6\sqrt2$: $\cos\varphi=\frac{24+24-72}{2\cdot24}=-\frac12$, więc $\varphi=120^\circ$.
Odpowiedź: $-\tfrac12$ (kąt $120^\circ$)
Jak CKE przyznaje punkty:
1 pkt — długości $SB$, $SD$, $SC$,
2 pkt — wskazanie kąta między ścianami,
3 pkt — wysokości $2\sqrt6$,
4 pkt — tw. cosinusów,
5 pkt — $\cos\varphi=-\frac12$.
📊 Ślad w prawdziwych arkuszach CKE
Zadania autentyczne. Niżej są prawdziwe zadania z arkuszy CKE — numer i punktacja zgodne z oryginalnym arkuszem. Kliknij rok, aby otworzyć cały arkusz.
Zadania autorskie. To nie są przedruki z arkuszy — ułożyliśmy je w formacie maturalnym, na wzorów z tabeli „Ślad w arkuszach CKE” powyżej. Typ, punktacja i poziom trudności odpowiadają realnym zadaniom egzaminacyjnym.
Zadania zamknięte sprawdzają się po kliknięciu odpowiedzi (jedna próba). W otwartych porównaj swoje rozwiązanie z wzorcowym i wystaw samoocenę według schematu punktowania — wynik zapisze się na koncie.
Ostrosłup prawidłowy trójkątny ma krawędź podstawy $6$, a krawędź boczna jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem $60^\circ$. Oblicz objętość ostrosłupa i cosinus kąta nachylenia ściany bocznej do podstawy.
Dany jest sześcian $ABCDEFGH$ o krawędzi $6$ ($E$ nad $A$, $F$ nad $B$, $G$ nad $C$, $H$ nad $D$). Oblicz cosinus kąta nachylenia przekątnej $AG$ do płaszczyzny podstawy oraz pole przekroju sześcianu płaszczyzną $ACH$.
Rzut $AG$ na podstawę to $AC=6\sqrt2$; $|AG|=6\sqrt3$; $\cos\alpha=\frac{6\sqrt2}{6\sqrt3}=\frac{\sqrt6}3$.
$AC$, $CH$, $AH$ to przekątne ścian — trójkąt równoboczny o boku $6\sqrt2$.
Pole: $\frac{72\sqrt3}4=18\sqrt3$.
Odpowiedź: $\cos\alpha=\tfrac{\sqrt6}3$, pole $18\sqrt3$
Schemat punktowania:
1 pkt — wskazanie kąta,
2 pkt — cosinus,
3 pkt — rozpoznanie trójkąta równobocznego,
4 pkt — pole przekroju.
✎ Samoocena wg schematu punktowania — ile punktów zdobył(a)byś?/ 4 pkt
Wszystkie krawędzie ostrosłupa prawidłowego czworokątnego mają długość $a$. Oblicz cosinus kąta między sąsiednimi ścianami bocznymi.
Ściany boczne są trójkątami równobocznymi. Wysokości ścian $SBC$ i $SDC$ opuszczone z $B$ i $D$ na $SC$ mają spodek w środku $SC$ i długość $\frac{a\sqrt3}2$.
Promień okręgu wpisanego w podstawę ostrosłupa prawidłowego trójkątnego jest równy $2$, a ściana boczna jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem $60^\circ$. Oblicz objętość i pole powierzchni bocznej.
Graniastosłup prawidłowy czworokątny $ABCDEFGH$ ma krawędź podstawy $4$ i wysokość $6$ ($G$ nad $C$). Oblicz pole przekroju płaszczyzną $BDG$ oraz cosinus kąta nachylenia tego przekroju do płaszczyzny podstawy.
Przekrój to trójkąt równoramienny $BDG$: $|BD|=4\sqrt2$.
$O$ — środek $BD$; $|OC|=2\sqrt2$, więc $|OG|=\sqrt{8+36}=2\sqrt{11}$ i $OG\perp BD$.
Podstawą ostrosłupa $ABCS$ jest trójkąt prostokątny $ABC$ o przyprostokątnych $|AC|=6$ i $|BC|=8$. Wszystkie krawędzie boczne mają długość $13$. Oblicz objętość ostrosłupa.
Równe krawędzie boczne ⇒ spodek wysokości to środek okręgu opisanego na podstawie — środek przeciwprostokątnej $AB$; $R=5$.
$H=\sqrt{169-25}=12$.
$V=\frac13\cdot24\cdot12=96$.
Odpowiedź: $96$
Schemat punktowania:
1 pkt — położenie spodka wysokości,
2 pkt — $R=5$,
3 pkt — $H=12$,
4 pkt — objętość.
✎ Samoocena wg schematu punktowania — ile punktów zdobył(a)byś?/ 4 pkt
Załóż bezpłatne konto i otwórz dostęp do pełnego śledzenia postępów, planów nauki i quizów. Arkusze i zadania podstawowe są dostępne bez rejestracji. Już ponad 5 000 uczniów uczy się z Matematix.
