🔒 Zaloguj się, aby zapisywać wyniki zadań tego klucza na swoim koncie.
🎯 Co musisz umieć
rozwiązywać równania i nierówności wykładnicze (wspólna podstawa, podstawienie $t=a^x$),
rozwiązywać równania i nierówności logarytmiczne z dziedziną i monotonicznością ($a\gt 1$ / $0\lt a\lt 1$),
stosować zmianę podstawy logarytmu i wykazywać równości z parametrami $a=\log\dots$,
budować i stosować modele $N(t)=N_0k^t$ (wzrost, rozpad, stygnięcie).
🔍 Jak rozpoznać zadanie
„masa maleje o $p\%$ na dobę”, „liczebność podwaja się co …” → model wykładniczy,
„wykaż, że jeżeli $\log_5 4=a$, to …” → zmiana podstawy na wspólną,
$9^x-4\cdot3^x+3=0$ → podstawienie $t=3^x\gt 0$.
📘 Teoria w pigułce
$f(x)=a^x$: dla $a\gt 1$ rosnąca, dla $0\lt a\lt 1$ malejąca; $a^x\gt 0$ zawsze. $a^{f(x)}=a^{g(x)} \iff f(x)=g(x)$.
Nierówność: $a^{f(x)}\gt a^{g(x)}$ — dla $a\gt 1$ zachowujemy znak, dla $0\lt a\lt 1$ odwracamy. To samo dla logarytmów.
Dziedzina logarytmu: argument $\gt 0$, podstawa $\gt 0$ i $\ne1$ — wyznacz ją przed przekształceniami.
Zmiana podstawy: $\log_ab=\dfrac{\log_cb}{\log_ca}$; w szczególności $\log_ab\cdot\log_ba=1$.
$a^{\log_ab}=b$, np. $81^{\log_3x}=\left(3^{\log_3x}\right)^4=x^4$.
∑ Najważniejsze wzory
$\log_ab=\dfrac{\log_cb}{\log_ca}$
$a^{\log_ab}=b$
$N(t)=N_0\cdot k^t$
$\log_a(xy)=\log_ax+\log_ay$
$\log_ax^r=r\log_ax$
⚙️ Algorytm krok po kroku
Wyznacz dziedzinę (logarytmy) lub zauważ $a^x\gt 0$ (wykładnicze).
Sprowadź do wspólnej podstawy albo podstaw $t=a^x$ / $t=\log_ax$.
Porównaj wykładniki/argumenty — przy podstawie z $(0,1)$ odwróć znak nierówności.
Odrzuć rozwiązania spoza dziedziny (i ujemne $t$ przy $t=a^x$).
⚠️ Najczęstsze pułapki
Źle
Dobrze
Dlaczego
✗ $\log_{\frac12}(x-2)\ge-3 \Rightarrow x-2\ge8$
✓ $x-2\le8$
podstawa $\lt 1$ odwraca znak
✗ pominięta dziedzina
✓ $x^2-1\gt 0$ i $x-1\gt 0$
często jedno rozwiązanie odpada
✗ $t=3^x$, $t=-1 \Rightarrow x=\dots$
✓ $t\gt 0$ — odrzucamy
$3^x$ nie jest ujemne
✗ „po $7{,}2$ doby” jako odpowiedź na „pełnych dób”
✓ $8$ dób
zaokrąglaj zgodnie z treścią
✍️ Przykład wzorcowy typ zadania 1 z matury 2025
Liczebność populacji bakterii opisuje wzór $N(t)=N_0\cdot k^t$, gdzie $t$ — czas w godzinach. Na początku było $1000$ bakterii, a po $2$ godzinach — $2250$. Oblicz $k$ i ustal, po ilu pełnych godzinach liczebność po raz pierwszy przekroczy $10\,000$.
$1{,}5^5\approx7{,}59\lt 10$, $1{,}5^6\approx11{,}39\gt 10$ — pierwszy raz po $6$ pełnych godzinach.
Odpowiedź: $k=1{,}5$; po $6$ godzinach
Jak CKE przyznaje punkty:
1 pkt — obliczenie $k=1{,}5$,
2 pkt — ustalenie, że nastąpi to po $6$ godzinach (z uzasadnieniem rachunkowym).
📊 Ślad w prawdziwych arkuszach CKE
Zadania autentyczne. Niżej są prawdziwe zadania z arkuszy CKE — numer i punktacja zgodne z oryginalnym arkuszem. Kliknij rok, aby otworzyć cały arkusz.
Zadania autorskie. To nie są przedruki z arkuszy — ułożyliśmy je w formacie maturalnym, na wzorów z tabeli „Ślad w arkuszach CKE” powyżej. Typ, punktacja i poziom trudności odpowiadają realnym zadaniom egzaminacyjnym.
Zadania zamknięte sprawdzają się po kliknięciu odpowiedzi (jedna próba). W otwartych porównaj swoje rozwiązanie z wzorcowym i wystaw samoocenę według schematu punktowania — wynik zapisze się na koncie.
Masę substancji (w gramach) po $t$ dobach opisuje wzór $m(t)=5\cdot0{,}8^{\,t}$. Oblicz, po ilu pełnych dobach masa substancji po raz pierwszy będzie mniejsza od $1$ grama.
Temperatura kawy (w $^\circ$C) po $t$ minutach jest równa $T(t)=20+60\cdot k^t$. Po $10$ minutach kawa ma $50^\circ$C. Oblicz temperaturę kawy po $20$ minutach.
Załóż bezpłatne konto i otwórz dostęp do pełnego śledzenia postępów, planów nauki i quizów. Arkusze i zadania podstawowe są dostępne bez rejestracji. Już ponad 5 000 uczniów uczy się z Matematix.
