Naszkicuj; jeśli brak współrzędnych — wybierz wygodny układ (wierzchołek w $(0,0)$, boki na osiach).
Zapisz potrzebne proste (równania) i wektory.
Warunki (prostopadłość, równe odległości) zamień na równania; rozwiąż.
Długości, pola — ze wzorów; sprawdź wynik na szkicu.
⚠️ Najczęstsze pułapki
Źle
Dobrze
Dlaczego
✗ $d=\frac{Ax_0+By_0+C}{A^2+B^2}$
✓ wartość bezwzględna i pierwiastek
wzór na odległość
✗ pole bez $\frac12$
✓ $\frac12|\det|$
wyznacznik to pole równoległoboku
✗ prostopadła do $2x-y+3=0$: $y=-2x+b$
✓ $y=-\frac12x+b$
najpierw postać kierunkowa
✗ układ współrzędnych bez uzasadnienia
✓ opisz, gdzie leżą wierzchołki
czytelność dla egzaminatora
✍️ Przykład wzorcowy typ zadania 4 z matury 2026
Dany jest kwadrat $ABCD$ o boku $a$. Punkt $K$ jest środkiem boku $AB$, a punkt $M$ leży na boku $BC$ i odcinki $DK$ i $KM$ są prostopadłe. Oblicz stosunek pola trójkąta $DKM$ do pola kwadratu.
1 pkt — wprowadzenie układu i współrzędnych $K$, $M$,
2 pkt — warunek prostopadłości i $m=\frac a4$,
3 pkt — pole i stosunek $\frac5{16}$.
📊 Ślad w prawdziwych arkuszach CKE
Zadania autentyczne. Niżej są prawdziwe zadania z arkuszy CKE — numer i punktacja zgodne z oryginalnym arkuszem. Kliknij rok, aby otworzyć cały arkusz.
Zadania autorskie. To nie są przedruki z arkuszy — ułożyliśmy je w formacie maturalnym, na wzorów z tabeli „Ślad w arkuszach CKE” powyżej. Typ, punktacja i poziom trudności odpowiadają realnym zadaniom egzaminacyjnym.
Zadania zamknięte sprawdzają się po kliknięciu odpowiedzi (jedna próba). W otwartych porównaj swoje rozwiązanie z wzorcowym i wystaw samoocenę według schematu punktowania — wynik zapisze się na koncie.
Dana jest prosta $k:\ 2x-y+3=0$ i punkt $P=(4,1)$. Wyznacz równanie prostej $l$ prostopadłej do $k$ przechodzącej przez $P$, punkt przecięcia prostych $k$ i $l$ oraz odległość punktu $P$ od prostej $k$.
$k:\ y=2x+3$, więc $l:\ y=-\frac12x+b$; $1=-2+b \Rightarrow b=3$.
$2x+3=-\frac12x+3 \Rightarrow x=0$, punkt $(0,3)$.
$d=\frac{|8-1+3|}{\sqrt5}=\frac{10}{\sqrt5}=2\sqrt5$ (= odległość $P$ od $(0,3)$ ✓).
Prostokąt $ABCD$ ma wierzchołki $A=(0,0)$, $B=(6,0)$, $C=(6,4)$, $D=(0,4)$. Punkt $M$ jest środkiem boku $BC$. Prosta $AM$ przecina przekątną $BD$ w punkcie $P$. Oblicz współrzędne punktu $P$ i pole trójkąta $ABP$.
Punkty $A=(-1,2)$ i $B=(5,4)$ są wierzchołkami trójkąta równoramiennego $ABC$, w którym $|AC|=|BC|$. Wierzchołek $C$ leży na prostej $y=x-3$. Oblicz współrzędne punktu $C$ i pole trójkąta $ABC$.
$C$ leży na symetralnej $AB$: środek $(2,3)$, $a_{AB}=\frac13$, symetralna $y=-3x+9$.
Dane są punkty $A=(1,2)$ i $B=(4,6)$. Wyznacz współrzędne punktu $C$ takiego, że trójkąt $ABC$ jest prostokątny z kątem prostym przy wierzchołku $A$ i $|AC|=10$. Oblicz pole trójkąta $ABC$.
$\vec{AB}=[3,4]$, $|AB|=5$. Wektor prostopadły: $[-4,3]$ (długość $5$).
$\vec{AC}=\pm2\cdot[-4,3]$: $C=(1-8,\ 2+6)=(-7,8)$ lub $C=(9,-4)$.
$P=\frac12\cdot5\cdot10=25$.
Odpowiedź: $C=(-7,8)$ lub $C=(9,-4)$; $P=25$
Schemat punktowania:
1 pkt — warunek $\vec{AB}\cdot\vec{AC}=0$,
2 pkt — warunek $|AC|=10$,
3 pkt — oba punkty $C$,
4 pkt — pole $25$.
✎ Samoocena wg schematu punktowania — ile punktów zdobył(a)byś?/ 4 pkt
Dany jest trójkąt o wierzchołkach $A=(0,0)$, $B=(8,0)$, $C=(2,6)$. Wyznacz środek ciężkości $S$, środek okręgu opisanego $O$ i ortocentrum $H$ tego trójkąta. Wykaż, że punkty $S$, $O$, $H$ leżą na jednej prostej.
Załóż bezpłatne konto i otwórz dostęp do pełnego śledzenia postępów, planów nauki i quizów. Arkusze i zadania podstawowe są dostępne bez rejestracji. Już ponad 5 000 uczniów uczy się z Matematix.
