Rozwiązujemy równanie z wartością bezwzględną:

\(|x-6|=4\iff x-6=4\) lub \(x-6=-4\)

\(x=10\) lub \(x=2\)

Obliczamy iloczyn rozwiązań:

\(10\cdot 2=20\)

Odpowiedź: B.

Zapisujemy obie liczby jako potęgi dwójki:

\(256=2^8\)

\(\sqrt[3]{8^2}=\sqrt[3]{\left(2^3\right)^2}=\sqrt[3]{2^6}=2^{\frac{6}{3}}=2^2\)

Mnożymy potęgi o tej samej podstawie:

\(2^8\cdot 2^2=2^{10}\)

Odpowiedź: B.

Stwierdzenie 1. Korzystamy ze wzoru \(n\log_a b=\log_a b^n\):

\(2\cdot\log_{3}5=\log_{3}5^2=\log_{3}25\)

Stwierdzenie jest prawdziwe (P).

Stwierdzenie 2. Zapisujemy liczbę \(2\) jako logarytm o podstawie \(3\):

\(2=\log_{3}9\)

\(2+\log_{3}5=\log_{3}9+\log_{3}5=\log_{3}45\)

Ponieważ \(\log_{3}45\neq\log_{3}10\), stwierdzenie jest fałszywe (F).

Odpowiedź: P, F.

Rozwijamy kwadrat sumy:

\(\left(\sqrt{3}+1\right)^2=3+2\sqrt{3}+1=4+2\sqrt{3}\)

Wyłączamy czynnik spod drugiego pierwiastka:

\(\sqrt{12}=\sqrt{4\cdot 3}=2\sqrt{3}\)

Odejmujemy:

\(4+2\sqrt{3}-2\sqrt{3}=4\)

Odpowiedź: D.

Z założeń możemy zapisać obie liczby w postaci:

\(a=5k+1\) oraz \(b=5m+4\), gdzie \(k\) i \(m\) są liczbami całkowitymi.

Obliczamy kwadraty:

\(a^2=(5k+1)^2=25k^2+10k+1\)

\(b^2=(5m+4)^2=25m^2+40m+16\)

Wyznaczamy różnicę:

\(a^2-b^2=25k^2+10k+1-25m^2-40m-16\)

\(a^2-b^2=25k^2+10k-25m^2-40m-15\)

Wyłączamy \(5\) przed nawias:

\(a^2-b^2=5\left(5k^2+2k-5m^2-8m-3\right)\)

Liczby \(k\) i \(m\) są całkowite, więc wyrażenie w nawiasie jest liczbą całkowitą. Otrzymana liczba jest iloczynem liczby \(5\) i liczby całkowitej, zatem jest podzielna przez \(5\). \(\blacksquare\)

Mnożymy obie strony nierówności przez \(2\):

\(16-(1-2x)\ge 6x\)

\(16-1+2x\ge 6x\)

\(15\ge 4x\)

\(x\le\frac{15}{4}=3{,}75\)

Największą liczbą całkowitą spełniającą ten warunek jest \(3\).

Odpowiedź: C.

Iloczyn jest równy zeru, gdy któryś z czynników jest zerem:

\((x-1)^2=0\Rightarrow x=1\)

\(x^2-25=0\Rightarrow x=5\) lub \(x=-5\)

Choć czynnik \((x-1)^2\) jest kwadratem (pierwiastek podwójny), liczba \(1\) jest jednym rozwiązaniem równania.

Różnych rozwiązań jest zatem trzy: \(1\), \(5\), \(-5\).

Odpowiedź: B.

Oznaczmy przez \(x\) liczbę drzew w pierwszym sadzie, a przez \(y\) — w drugim. Wtedy:

\(x+y=1410\)

Po roku pozostało: w pierwszym sadzie \(0{,}8x\), w drugim \(0{,}85y\). Z warunku zadania:

\(0{,}85y=0{,}7\cdot 0{,}8x\)

\(0{,}85y=0{,}56x\)

\(y=\frac{0{,}56}{0{,}85}x=\frac{56}{85}x\)

Podstawiamy do pierwszego równania:

\(x+\frac{56}{85}x=1410\)

\(\frac{141}{85}x=1410\)

\(x=1410\cdot\frac{85}{141}=10\cdot 85=850\)

Sprawdzenie: \(y=560\); po roku \(0{,}8\cdot 850=680\) oraz \(0{,}85\cdot 560=476\), a \(\frac{476}{680}=0{,}7\) ✓

Odpowiedź: w pierwszym sadzie posadzono \(850\) drzew.

Przekształcamy nierówność równoważnie:

\(x(x+4)\lt x-2\)

\(x^2+4x\lt x-2\)

\(x^2+3x+2\lt 0\)

Rozkładamy trójmian na czynniki (pierwiastki to \(-1\) i \(-2\)):

\((x+1)(x+2)\lt 0\)

Współczynnik przy \(x^2\) jest dodatni, więc parabola ma ramiona skierowane w górę i przyjmuje wartości ujemne między miejscami zerowymi.

Odpowiedź: \(x\in(-2,-1)\)

1. Dziedzina. Sumujemy przedziały z definicji funkcji:

\((-5,-2]\cup(-2,1]\cup(1,3]=(-5,3]\)

2. Zbiór wartości. Rozpatrujemy kolejne fragmenty:

na \((-5,-2]\): \(f(x)=-x-2\) przyjmuje wartości od \(0\) (dla \(x=-2\)) do wartości bliskich \(3\) (dla \(x\) bliskich \(-5\), ale bez \(3\)),

na \((-2,1]\): wartość stała \(0\),

na \((1,3]\): \(f(x)=x\) przyjmuje wartości z przedziału \((1,3]\) — w szczególności osiągana jest wartość \(3\).

Sumując: \(ZW_f=[0,3]\)

3. Miejsca zerowe. Wartość \(0\) przyjmowana jest dla \(x=-2\) (z pierwszego wzoru) oraz dla wszystkich \(x\in(-2,1]\) (drugi wzór):

\([-2,1]\)

4. Nierówność \(f(x)\lt f(-3)\). Obliczamy wartość odniesienia:

\(f(-3)=-(-3)-2=1\)

Szukamy \(f(x)\lt 1\):

na \((-5,-2]\): \(-x-2\lt 1\Rightarrow x\gt -3\), czyli \((-3,-2]\),

na \((-2,1]\): \(0\lt 1\) — cały przedział,

na \((1,3]\): \(x\lt 1\) — brak rozwiązań.

Łącznie: \((-3,1]\)

Odpowiedź: 1. \((-5,3]\), 2. \([0,3]\), 3. \([-2,1]\), 4. \((-3,1]\)

Wyznaczamy miejsce zerowe funkcji:

\(\frac{1}{2}x-k=0\)

\(x=2k\)

Z warunku zadania miejsce zerowe jest większe od \(2\):

\(2k\gt 2\)

\(k\gt 1\)

Zatem \(k\in(1,+\infty)\).

Odpowiedź: D.

Przesunięcie wykresu o jedną jednostkę w prawo odpowiada podstawieniu \(x-1\) w miejsce \(x\):

\(g(x)=f(x-1)=5(x-1)=5x-5\)

Odpowiedź: A.

Krok 1. Drugie miejsce zerowe.

Miejsca zerowe leżą symetrycznie względem osi symetrii \(x=-1\). Skoro jednym z nich jest \(1\) (odległe o \(2\) od osi), drugim jest:

\(-1-2=-3\)

Krok 2. Współczynnik \(a\).

Zapisujemy postać iloczynową:

\(f(x)=a(x-1)(x+3)\)

Korzystamy z warunku \(f(2)=15\):

\(a(2-1)(2+3)=15\)

\(5a=15\), czyli \(a=3\)

Krok 3. Postać kanoniczna.

Pierwsza współrzędna wierzchołka to \(p=-1\), a druga:

\(q=f(-1)=3(-1-1)(-1+3)=3\cdot(-2)\cdot 2=-12\)

\(f(x)=3(x+1)^2-12\)

Sprawdzenie: \(f(2)=3\cdot 9-12=15\) ✓

Odpowiedź: \(f(x)=3(x+1)^2-12\)

Obliczamy trzy początkowe wyrazy ciągu:

\(a_1=3\cdot 1^2-3\cdot 1=0\)

\(a_2=3\cdot 4-3\cdot 2=12-6=6\)

\(a_3=3\cdot 9-3\cdot 3=27-9=18\)

Sumujemy:

\(S_3=0+6+18=24\)

Odpowiedź: B.

Stwierdzenie 1. Sprawdzamy różnice kolejnych wyrazów \(0,\;6,\;18\):

\(a_2-a_1=6\), natomiast \(a_3-a_2=12\)

Różnice nie są stałe, więc ciąg nie jest arytmetyczny — stwierdzenie fałszywe (F).

Stwierdzenie 2. Przekształcamy wzór ciągu:

\(a_n=3n^2-3n=3n(n-1)\)

Liczby \(n-1\) i \(n\) są kolejnymi liczbami naturalnymi, więc jedna z nich jest parzysta — ich iloczyn jest parzysty. Zatem \(3n(n-1)\) też jest liczbą parzystą.

Stwierdzenie jest prawdziwe (P).

Odpowiedź: F, P.

Korzystamy ze wzoru na \(n\)-ty wyraz ciągu arytmetycznego:

\(a_{25}=a_1+24r\)

Podstawiamy dane:

\(2=52+24r\)

\(24r=-50\)

\(r=-\frac{50}{24}=-\frac{25}{12}\)

Odpowiedź: A.

W ciągu geometrycznym kwadrat wyrazu środkowego jest równy iloczynowi wyrazów skrajnych:

\(m^2=4(m-1)\)

\(m^2-4m+4=0\)

\((m-2)^2=0\)

\(m=2\)

Sprawdzenie: ciąg \((4,2,1)\) jest geometryczny o ilorazie \(q=\frac{1}{2}\) ✓

Odpowiedź: C.

Korzystamy ze wzoru na sumę początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego:

\(S_n=\frac{a_1+a_n}{2}\cdot n\)

Podstawiamy \(n=25\), \(a_1=52\), \(a_{25}=2\):

\(S_{25}=\frac{52+2}{2}\cdot 25=27\cdot 25=675\)

Odpowiedź: A.

W liczniku wyłączamy \(\sin 25^\circ\) przed nawias:

\(\sin^3 25^\circ+\sin 25^\circ\cdot\cos^2 25^\circ=\sin 25^\circ\left(\sin^2 25^\circ+\cos^2 25^\circ\right)\)

Korzystamy z tożsamości \(\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1\):

\(=\sin 25^\circ\cdot 1=\sin 25^\circ\)

Zatem całe wyrażenie jest równe:

\(\frac{\sin 25^\circ}{\cos 25^\circ}=\operatorname{tg} 25^\circ\)

Odpowiedź: C.

Stwierdzenie 1. Korzystamy z tożsamości \(\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1\):

\(\cos^2\alpha=1-\left(\frac{4}{7}\right)^2=1-\frac{16}{49}=\frac{33}{49}\)

\(\cos\alpha=\frac{\sqrt{33}}{7}\)

Ponieważ \(\frac{\sqrt{33}}{7}\neq\frac{3}{7}\) (bo \(\sqrt{33}\neq 3\)), stwierdzenie jest fałszywe (F).

Stwierdzenie 2. Kąty ostre trójkąta prostokątnego są dopełniające: \(\alpha+\beta=90^\circ\), więc \(\beta=90^\circ-\alpha\) i

\(\cos\beta=\cos\left(90^\circ-\alpha\right)=\sin\alpha=\frac{4}{7}\)

Stwierdzenie jest prawdziwe (P).

Odpowiedź: F, P.

Sposób I — wzór dla trójkąta prostokątnego.

Dla przyprostokątnych \(a\), \(b\) i przeciwprostokątnej \(c\):

\(r=\frac{a+b-c}{2}=\frac{10+24-26}{2}=\frac{8}{2}=4\)

Sposób II — z pola.

\(P=\frac{1}{2}\cdot 10\cdot 24=120\), \(\;p=\frac{10+24+26}{2}=30\)

\(r=\frac{P}{p}=\frac{120}{30}=4\)

Odpowiedź: B.

Sprawdzamy, że trójkąt jest prostokątny:

\(10^2+24^2=100+576=676=26^2\) ✓

W trójkącie prostokątnym przeciwprostokątna jest średnicą okręgu opisanego (kąt prosty jest kątem wpisanym opartym na półokręgu), zatem:

\(R=\frac{c}{2}=\frac{26}{2}=13\)

Odpowiedź: D.

Wierzchołki dziesięciokąta foremnego dzielą okrąg opisany na \(10\) równych łuków. Każdy z nich odpowiada kątowi środkowemu o mierze:

\(\frac{360^\circ}{10}=36^\circ\)

Kąt wpisany \(AGD\) jest oparty na łuku \(AD\) niezawierającym punktu \(G\). Łuk ten składa się z trzech łuków: \(AB\), \(BC\), \(CD\), więc odpowiadający mu kąt środkowy ma miarę:

\(3\cdot 36^\circ=108^\circ\)

Kąt wpisany jest połową kąta środkowego opartego na tym samym łuku:

\(|\angle AGD|=\frac{108^\circ}{2}=54^\circ\)

Odpowiedź: C.

Oznaczmy przez \(a\) długość boku kwadratu \(\mathcal{K}_1\). Skala podobieństwa wynosi \(5\), więc bok kwadratu \(\mathcal{K}_2\) ma długość \(5a\).

Sumujemy pola:

\(a^2+(5a)^2=78\)

\(a^2+25a^2=78\)

\(26a^2=78\)

\(a^2=3\)

\(a=\sqrt{3}\) (bierzemy wartość dodatnią)

Odpowiedź: A.

Krok 1. Równanie prostej \(l\).

Proste równoległe mają równe współczynniki kierunkowe, więc \(a=5\). Prosta \(l\) przecina oś \(Oy\) w punkcie \((0,-4)\), czyli \(b=-4\):

\(l:\;y=5x-4\)

Krok 2. Wyznaczenie \(p\).

Punkt \((p,2)\) należy do prostej \(l\):

\(2=5p-4\)

\(5p=6\)

\(p=\frac{6}{5}=1{,}2\)

Odpowiedź: \(p=\frac{6}{5}\)

Z równania okręgu \(\mathcal{O}\) odczytujemy środek i promień:

\(S=(-1,2)\), \(\;r=3\)

W symetrii względem osi \(Oy\) zmienia się znak pierwszej współrzędnej:

\(S=(-1,2)\;\to\;S_1=(1,2)\)

Promień się nie zmienia, więc:

\(\mathcal{K}:\;(x-1)^2+(y-2)^2=9\)

Odpowiedź: D.

Krok 1. Oznaczenia.

Krawędzie tworzą ciąg geometryczny o ilorazie \(4\), więc mają długości:

\(a\), \(4a\), \(16a\), gdzie \(a\gt 0\)

Krok 2. Pole powierzchni całkowitej.

\(P_c=2(a\cdot 4a+a\cdot 16a+4a\cdot 16a)\)

\(P_c=2\left(4a^2+16a^2+64a^2\right)=2\cdot 84a^2=168a^2\)

Z warunku zadania:

\(168a^2=94{,}5\)

\(a^2=\frac{94{,}5}{168}=0{,}5625=\frac{9}{16}\)

\(a=\frac{3}{4}=0{,}75\)

Krok 3. Objętość.

\(V=a\cdot 4a\cdot 16a=64a^3\)

\(V=64\cdot\left(\frac{3}{4}\right)^3=64\cdot\frac{27}{64}=27\)

Sprawdzenie: krawędzie mają długości \(0{,}75\), \(3\), \(12\); \(P_c=2(2{,}25+9+36)=2\cdot 47{,}25=94{,}5\) ✓, \(V=0{,}75\cdot 3\cdot 12=27\) ✓

Odpowiedź: objętość prostopadłościanu jest równa \(27\).

Oznaczmy pole podstawy przez \(P_p\), a pole powierzchni bocznej przez \(P_b\). Z warunku zadania \(P_b=4P_p\), a pole powierzchni całkowitej to:

\(P_c=P_p+P_b=P_p+4P_p=5P_p\)

\(5P_p=20\)

\(P_p=4\)

Podstawą ostrosłupa prawidłowego czworokątnego jest kwadrat o boku \(a\):

\(a^2=4\), czyli \(a=2\)

Odpowiedź: A.

Przekrój osiowy stożka jest trójkątem równoramiennym, którego ramiona to tworzące (długości \(6\)), a kąt między nimi — kąt rozwarcia — ma miarę \(60^\circ\).

Trójkąt równoramienny o kącie \(60^\circ\) między ramionami jest równoboczny, zatem jego bok (a więc i średnica podstawy) ma długość \(6\):

\(2r=6\), czyli \(r=3\)

Wysokość stożka wyznaczamy z twierdzenia Pitagorasa:

\(h=\sqrt{l^2-r^2}=\sqrt{36-9}=\sqrt{27}=3\sqrt{3}\)

Odpowiedź: C.

Krok 1. Liczba wszystkich zdarzeń elementarnych.

Zbiór \(X\) ma \(6\) elementów, zbiór \(Y\) — \(4\) elementy, więc z reguły mnożenia:

\(|\Omega|=6\cdot 4=24\)

Krok 2. Zdarzenia sprzyjające \(x\cdot y\ge 0\).

Rozpatrujemy przypadki:

• iloczyn równy \(0\): wystarczy \(x=0\) lub \(y=0\). Dla \(x=0\) mamy \(4\) pary, dla \(y=0\) mamy \(6\) par, a para \((0,0)\) została policzona dwukrotnie, więc razem \(4+6-1=9\) par.

• iloczyn dodatni przy \(x\lt 0\) i \(y\lt 0\): \(x\in\{-3,-2,-1\}\) (3 możliwości), \(y\in\{-2,-1\}\) (2 możliwości) — \(3\cdot 2=6\) par.

• iloczyn dodatni przy \(x\gt 0\) i \(y\gt 0\): \(x\in\{1,2\}\) (2 możliwości), \(y\in\{1\}\) (1 możliwość) — \(2\cdot 1=2\) pary.

\(|A|=9+6+2=17\)

Krok 3. Prawdopodobieństwo.

\(P(A)=\frac{|A|}{|\Omega|}=\frac{17}{24}\)

Odpowiedź: \(P(A)=\frac{17}{24}\)

Liczba trzycyfrowa ma postać \(\overline{abc}\), gdzie \(a\neq 0\), a liczba jest parzysta, czyli \(c\in\{0,2,4,6,8\}\). Cyfra \(0\) ma wystąpić dokładnie raz, a nie może stać na pierwszym miejscu, więc rozpatrujemy dwa przypadki.

Przypadek 1: \(b=0\) (wtedy \(c\neq 0\)).

\(a\in\{1,\dots,9\}\) — \(9\) możliwości, \(c\in\{2,4,6,8\}\) — \(4\) możliwości:

\(9\cdot 4=36\) liczb

Przypadek 2: \(c=0\) (wtedy \(b\neq 0\)).

\(a\in\{1,\dots,9\}\) — \(9\) możliwości, \(b\in\{1,\dots,9\}\) — \(9\) możliwości:

\(9\cdot 9=81\) liczb

Przypadki są rozłączne, więc łącznie:

\(36+81=117\)

Odpowiedź: B.

Z warunku zadania:

\(\frac{a+b+c}{3}=12\), więc \(a+b+c=36\)

Obliczamy sumę sześciu podanych liczb:

\(2a+3a+2b+3b+2c+3c=5a+5b+5c=5(a+b+c)=5\cdot 36=180\)

Średnia arytmetyczna:

\(\frac{180}{6}=30\)

Odpowiedź: C.

1. Średnia arytmetyczna i uczniowie z wynikiem niższym.

Obliczamy sumę wszystkich punktów:

\(0\cdot 4+1\cdot 2+2\cdot 5+3\cdot 5+4\cdot 11+5\cdot 5=0+2+10+15+44+25=96\)

\(\bar{x}=\frac{96}{32}=3\)

Wynik niższy od \(3\) uzyskali uczniowie z \(0\), \(1\) lub \(2\) punktami:

\(4+2+5=11\) uczniów

2. Mediana.

Liczba uczniów jest parzysta \((32)\), więc mediana to średnia arytmetyczna \(16\)-tego i \(17\)-tego wyniku w uporządkowanym zestawieniu.

Liczebności skumulowane: \(0\) pkt — do \(4\), \(1\) pkt — do \(6\), \(2\) pkt — do \(11\), \(3\) pkt — do \(16\), \(4\) pkt — do \(27\).

Szesnasty wynik to \(3\), siedemnasty to \(4\), zatem:

\(\mathrm{Me}=\frac{3+4}{2}=3{,}5\)

3. Dominanta.

Najczęściej występujący wynik to \(4\) punkty (\(11\) uczniów), więc dominanta jest równa \(4\).

Odpowiedź: 1. \(11\) uczniów, 2. \(3{,}5\), 3. \(4\)

Funkcja \(\mathcal{Z}\) jest funkcją kwadratową zapisaną w postaci iloczynowej. Wyznaczamy jej miejsca zerowe:

\(500+50x=0\Rightarrow x=-10\)

\(16-x=0\Rightarrow x=16\)

Po wymnożeniu współczynnik przy \(x^2\) jest równy \(-50\lt 0\), więc parabola ma ramiona skierowane w dół i funkcja osiąga największą wartość w wierzchołku. Pierwsza współrzędna wierzchołka leży w środku między miejscami zerowymi:

\(x_w=\frac{-10+16}{2}=3\)

Liczba \(3\) spełnia warunki \(x\ge 1\) i \(x\le 14\), zatem zysk jest największy dla \(x=3\).

Sprawdzenie: \(\mathcal{Z}(3)=650\cdot 13=8450\), \(\mathcal{Z}(4)=700\cdot 12=8400\lt 8450\) ✓

Odpowiedź: A.