Wariacje z powtórzeniami

Silnia to iloczyn kolejnych liczb naturalnych:

$$4!=4\cdot3\cdot2\cdot1=24$$

Odpowiedź: B. $24$.

Silnia to iloczyn kolejnych liczb naturalnych:

$$4!=4\cdot3\cdot2\cdot1=24$$

Odpowiedź: C. $24$.

Wybór składa się z dwóch niezależnych etapów, więc mnożymy:

$$4\cdot3=12$$

Reguła mnożenia: stosujemy ją, gdy wybieramy jedno i drugie.

Odpowiedź: C. $12$.

To liczba permutacji $5$ elementów:

$$P_5=5!=5\cdot4\cdot3\cdot2\cdot1=120$$

Intuicja: na pierwsze miejsce mamy $5$ możliwości, na drugie $4$, i tak dalej.

Odpowiedź: $120$ sposobów.

To permutacja pięciu elementów:

$$P_5=5!=5\cdot4\cdot3\cdot2\cdot1=120$$

Skąd to wynika: na pierwsze miejsce mamy $5$ możliwości, na drugie $4$, i tak dalej — mnożymy.

Odpowiedź: $120$ sposobów.

Reguła mnożenia:

$$3\cdot5=15$$

Odpowiedź: $15$ zestawów.

Korzystamy z reguły mnożenia — moneta ma $2$ wyniki, kostka $6$:

$$2\cdot6=12$$

Odpowiedź: $12$ wyników.

Na każdej z trzech pozycji mamy $10$ możliwości:

$$10\cdot10\cdot10=10^3=1000$$

To wariacja z powtórzeniami: $n^k$, gdzie $n=10$, $k=3$.

Odpowiedź: $1000$ kodów.

Wybieramy jedno albo drugie, więc dodajemy:

$$6+4=10$$

Reguła dodawania: stosujemy ją przy wyborze rozłącznych możliwości (fantasy lub kryminał).

Odpowiedź: A. $10$.

To wariacje z powtórzeniami. Na każdą z $2$ pozycji mamy $3$ możliwości:

$$3\cdot3=3^2=9$$

Odpowiedź: C. $9$.

Z definicji przyjmujemy:

$$0!=1$$

Dlaczego tak: istnieje dokładnie jeden sposób ustawienia pustego zbioru — nie robić nic. Ta umowa sprawia też, że wzory kombinatoryczne działają bez wyjątków.

Odpowiedź: B. $1$.

Na każdej z trzech pozycji mamy $10$ możliwości:

$$10\cdot10\cdot10=10^3=1000$$

To wariacja z powtórzeniami: $10^3$.

Odpowiedź: $1000$.

To wariacje bez powtórzeń — cyfry się nie powtarzają.

Na pierwszą pozycję mamy $4$ możliwości, na drugą tylko $3$ (jedna cyfra już użyta):

$$4\cdot3=12$$

Odpowiedź: $12$ liczb.

Rozpisujemy licznik tylko do $4!$ i skracamy:

$$\frac{6!}{4!}=\frac{6\cdot5\cdot4!}{4!}=6\cdot5=30$$

Odpowiedź: $30$.

Na każdej z $k$ pozycji wybieramy niezależnie jeden z $n$ elementów:

$$n^k$$

Uwaga na kolejność: podstawa to liczba elementów $n$, wykładnik to liczba miejsc $k$.

Odpowiedź: D. $n^k$.

Symbol Newtona liczymy ze wzoru:

$$\binom{5}{2}=\frac{5!}{2!\cdot3!}=\frac{5\cdot4}{2\cdot1}=10$$

Odpowiedź: A. $10$.

Wybieramy $3$ elementy z $5$, przy czym kolejność ma znaczenie, a elementy się nie powtarzają:

$$5\cdot4\cdot3=60$$

Wzór: $\frac{n!}{(n-k)!}=\frac{5!}{2!}=60$.

Dla porównania: $125=5^3$ to wariacje z powtórzeniami.

Odpowiedź: A. $60$.

Każdy rzut ma $2$ wyniki, rzutów jest $5$:

$$2^5=32$$

Odpowiedź: $32$ ciągi.

W delegacji kolejność nie ma znaczenia, więc to kombinacje:

$$\binom{6}{2}=\frac{6\cdot5}{2\cdot1}=15$$

Dlaczego kombinacje, a nie wariacje: delegacja „Ala i Ola” to ta sama delegacja co „Ola i Ala” — kolejność wyboru nie tworzy nowej pary.

Odpowiedź: $15$ sposobów.

To permutacja czterech elementów:

$$4!=24$$

Uwaga: zero nie występuje wśród cyfr, więc żadna z tych liczb nie zaczyna się od zera — nie musimy nic odejmować.

Odpowiedź: $24$ liczby.

Krok 1 — część literowa:

$$26^3=17\ 576$$

Krok 2 — część cyfrowa:

$$10^4=10\ 000$$

Krok 3 — reguła mnożenia:

$$26^3\cdot10^4=175\ 760\ 000$$

Odpowiedź: $175\ 760\ 000$ tablic.

Wariacje z powtórzeniami. Na każdą z $3$ pozycji mamy $10$ cyfr:

$$10\cdot10\cdot10=10^3=1000$$

Odpowiedź: $1000$ numerów (od $000$ do $999$).

Rozpoznanie: kolejność ma znaczenie (przewodniczący to inna funkcja niż zastępca), a jedna osoba nie może pełnić obu — to wariacja bez powtórzeń.

$$12\cdot11=132$$

Odpowiedź: $132$ sposoby.

Każdy z $3$ argumentów można odwzorować na jeden z $2$ elementów niezależnie:

$$2^3=8$$

To wariacja z powtórzeniami: $n^k=2^3$, gdzie $n=2$ (zbiór wartości), $k=3$ (argumenty).

Odpowiedź: B. $8$.

Kombinacje liczą wybory, w których kolejność nie ma znaczenia (np. wybór grupy, zestawu liczb w losowaniu).

Wariacje uwzględniają kolejność (np. ustawienie na podium, kod PIN).

Odpowiedź: D.

Każda moneta daje $2$ możliwości, a monety są rozróżnialne:

$$2^3=8$$

Wypisanie: OOO, OOR, ORO, ROO, ORR, ROR, RRO, RRR.

Odpowiedź: D. $8$.

Na każdej z czterech pozycji $3$ możliwości:

$$3^4=81$$

Uwaga: tu nie ma problemu z zerem na początku, bo zero nie należy do zbioru cyfr.

Odpowiedź: $81$.

Kolejność miejsc ma znaczenie, a wszystkie osoby są rozdzielane, więc to permutacje:

$$P_3=3!=3\cdot2\cdot1=6$$

Odpowiedź: $6$ sposobów.

Rozpoznanie: nagrody są różne, więc kolejność przydziału ma znaczenie; jedna osoba nie może dostać dwóch — bez powtórzeń.

$$7\cdot6\cdot5=210$$

Wzór: $\frac{7!}{4!}=210$.

Odpowiedź: $210$ sposobów.

„Dokładnie jedna rzecz" — chleb albo bułka, więc reguła dodawania:

$$3+2=5$$

Dla porównania: gdyby kupował chleb i bułkę, byłoby $3\cdot2=6$ (reguła mnożenia).

Odpowiedź: $5$ możliwości.

Skracamy silnie:

$$\frac{6!}{4!}=\frac{6\cdot5\cdot4!}{4!}=6\cdot5=30$$

Odpowiedź: B. $30$.

Na każdej z pięciu pozycji mamy $2$ możliwości:

$$2^5=32$$

To wariacja z powtórzeniami — litery mogą się powtarzać.

Odpowiedź: C. $32$.

Na każdej z $6$ pozycji dwie możliwości:

$$2^6=64$$

Odpowiedź: C. $64$.

Kolejność losowania nie ma znaczenia, więc to kombinacje:

$$\binom{52}{2}=\frac{52\cdot51}{2}=\frac{2652}{2}=1326$$

Odpowiedź: $1326$ sposobów.

Z powtórzeniami — na każdej pozycji $10$ cyfr:

$$10^4=10\,000$$

Bez powtórzeń — liczba możliwości maleje o jeden przy każdej kolejnej pozycji:

$$10\cdot9\cdot8\cdot7=5040$$

Obserwacja: zakaz powtórzeń zmniejsza liczbę kodów prawie o połowę.

Odpowiedź: $10\,000$ oraz $5040$.

Krok 1 — pierwsza cyfra: $9$ możliwości (bez zera).

Krok 2 — druga i trzecia: po $10$ możliwości.

Krok 3 — mnożymy:

$$9\cdot10\cdot10=900$$

Kontrola: liczb trzycyfrowych jest dokładnie $900$ (od $100$ do $999$) ✔

Odpowiedź: $900$.

Wyraz MATURA ma $6$ liter, w tym literę A dwa razy.

Permutacje z powtórzeniami — dzielimy przez silnię liczby powtórzeń:

$$\frac{6!}{2!}=\frac{720}{2}=360$$

Dlaczego dzielimy: dwie litery A są nierozróżnialne, więc każde ustawienie policzylibyśmy dwa razy.

Odpowiedź: $360$ słów.

To permutacja sześciu elementów:

$$6!=6\cdot5\cdot4\cdot3\cdot2\cdot1=720$$

Odpowiedź: $720$ sposobów.

Każde z $10$ pytań ma $2$ możliwe odpowiedzi:

$$2^{10}=1024$$

Interpretacja: zgadując, mamy tylko $\frac{1}{1024}$ szans na komplet poprawnych odpowiedzi.

Odpowiedź: $1024$.

Jest tylko jeden sposób, aby nie wybrać żadnego elementu — wybór pustego zbioru:

$$\binom{n}{0}=1$$

Podobnie $\binom{n}{n}=1$ — jeden sposób wybrania wszystkich.

Odpowiedź: C. $1$.

Zestawienie wzorów:

• $n!$ — permutacje (ustawienia wszystkich elementów)
• $n^k$ — wariacje z powtórzeniami
• $\frac{n!}{(n-k)!}$ — wariacje bez powtórzeń
• $\frac{n!}{k!(n-k)!}$ — kombinacje (kolejność nieistotna)

Odpowiedź: B. $n^k$.

Reguła dodawania dotyczy wyboru jednej z rozłącznych grup możliwości (albo z jednej, albo z drugiej).

Reguła mnożenia — gdy wybór składa się z kilku etapów jednocześnie.

Odpowiedź: A. rozłączne (albo–albo).

Wariacje bez powtórzeń — cyfry się nie powtarzają, kolejność ma znaczenie.

Na kolejne pozycje mamy coraz mniej możliwości:

$$9\cdot8\cdot7\cdot6=3024$$

Uwaga: nie ma tu cyfry $0$, więc nie trzeba się martwić o zero na pierwszym miejscu.

Odpowiedź: $3024$ liczby.

Litery mają być różne, a kolejność ma znaczenie:

$$26\cdot25\cdot24=15\,600$$

Dla porównania: gdyby litery mogły się powtarzać, byłoby $26^3=17\,576$.

Odpowiedź: $15\,600$.

Na każdej z czterech pozycji $3$ litery do wyboru:

$$3^4=81$$

To wariacja z powtórzeniami: litery mogą się powtarzać, kolejność ma znaczenie.

Odpowiedź: $81$.

Reguła mnożenia — wybór koszuli i wybór spodni są niezależne:

$$4\cdot3=12$$

Odpowiedź: A. $12$ sposobów.

Skracamy $6!$ w liczniku i mianowniku:

$$\frac{8\cdot7\cdot6!}{6!\cdot2}=\frac{56}{2}=28$$

Uwaga: to wzór na kombinacje — wybór $2$ elementów z $8$ bez uwzględniania kolejności.

Odpowiedź: A. $28$.

Każda kostka ma $6$ wyników, kostek są $3$:

$$6^3=216$$

Odpowiedź: D. $216$.

Role są jednakowe, więc kolejność nie ma znaczenia — to kombinacje:

$$\binom{10}{3}=\frac{10\cdot9\cdot8}{3\cdot2\cdot1}=\frac{720}{6}=120$$

Porównanie: gdyby role były różne (prezes, wiceprezes, sekretarz), byłoby to $10\cdot9\cdot8=720$ sposobów (wariacje).

Odpowiedź: $120$ sposobów.

Krok 1 — wszystkie ustawienia:

$$4!=24$$

Krok 2 — odrzucamy te zaczynające się od zera. Jeśli zero stoi na pierwszym miejscu, pozostałe trzy cyfry można ustawić na:

$$3!=6\ \text{sposobów}$$

Takie zapisy nie są liczbami czterocyfrowymi.

Krok 3 — odejmujemy:

$$24-6=18$$

Kontrola inną drogą. Na pierwsze miejsce mamy $3$ możliwości (bez zera), a pozostałe trzy pozycje wypełniamy dowolnie: $3\cdot3!=3\cdot6=18$ ✔

Odpowiedź: $18$ liczb.

Przypadek 1 — z powtórzeniami:

$$26^2\cdot10^3=676\cdot1000=676\ 000$$

Przypadek 2 — cyfry różne. Litery nadal $26^2$, ale cyfry to wariacja bez powtórzeń: $10\cdot9\cdot8$:

$$676\cdot(10\cdot9\cdot8)=676\cdot720=486\ 720$$

Wniosek. Warunek „różne cyfry" zmniejsza liczbę haseł — na kolejnych pozycjach cyfrowych zostaje coraz mniej możliwości.

Odpowiedź: $676\ 000$ oraz $486\ 720$.

W Lotto kolejność wylosowanych liczb nie ma znaczenia, więc to kombinacje:

$$\binom{49}{6}=\frac{49!}{6!\cdot43!}=\frac{49\cdot48\cdot47\cdot46\cdot45\cdot44}{6!}$$

Wynik to $13\,983\,816$ — stąd bardzo małe szanse na główną wygraną.

Odpowiedź: $\binom{49}{6}=13\,983\,816$ możliwych zestawów.

Krok 1 — sklejamy parę. Traktujemy dwie osoby jako jeden blok. Zamiast $5$ obiektów mamy teraz $4$:

$$4!=24\ \text{ustawień}$$

Krok 2 — wnętrze bloku. Te dwie osoby mogą stać w dwóch kolejnościach:

$$2!=2$$

Krok 3 — mnożymy:

$$24\cdot2=48$$

Kontrola sensu: wszystkich ustawień pięciu osób jest $120$, a nasz wynik to $48$ — mniej, czyli warunek faktycznie ograniczył możliwości ✔ Stanowi to $\frac{48}{120}=40\%$ wszystkich ustawień.

Odpowiedź: $48$ sposobów.

Krok 1 — ostatnia cyfra parzysta. Ze zbioru $\{1,2,3,4,5\}$ parzyste są $2$ i $4$ — dwie możliwości.

Krok 2 — pozostałe trzy pozycje: po $5$ możliwości (cały zbiór).

Krok 3 — reguła mnożenia:

$$5\cdot5\cdot5\cdot2=250$$

Uwaga. Zaczynamy od najbardziej ograniczonej pozycji (ostatnia cyfra — warunek parzystości), reszta jest dowolna.

Odpowiedź: $250$.

To permutacje cykliczne. Jedną osobę „unieruchamiamy” jako punkt odniesienia, a pozostałe ustawiamy względem niej.

$$(5-1)!=4!=24$$

Dlaczego $(n-1)!$: przy okrągłym stole obrót całości nie tworzy nowego ustawienia, więc dzielimy zwykłe $5!$ przez $5$ możliwych obrotów: $\frac{120}{5}=24$.

Odpowiedź: $24$ sposoby.

Krok 1 — cyfry nieparzyste: $1$, $3$, $5$, $7$, $9$ — jest ich $5$.

Krok 2 — z powtórzeniami. Na każdej z trzech pozycji mamy $5$ możliwości (zero nie należy do zbioru, więc pierwsza cyfra nie sprawia kłopotu):

$$5^3=125$$

Krok 3 — bez powtórzeń:

$$5\cdot4\cdot3=60$$

Odpowiedź: $125$ liczb, w tym $60$ o różnych cyfrach.

Krok 1 — zaczynające się od $1$. Pierwsza cyfra ustalona, pozostałe cztery dowolne:

$$1\cdot2^4=16$$

Krok 2 — kończące się na $0$. Ostatnia ustalona:

$$2^4\cdot1=16$$

Krok 3 — zaczynające się od $1$ ORAZ kończące na $0$. Dwie pozycje ustalone:

$$1\cdot2^3\cdot1=8$$

Krok 4 — zasada włączeń i wyłączeń. Aby nie liczyć części wspólnej dwa razy, odejmujemy ją:

$$16+16-8=24$$

Odpowiedź: $24$ ciągi.

Wybory są niezależne, więc korzystamy z kombinacji dla każdej grupy i mnożymy wyniki.

Krok 1 — wybór dziewcząt:

$$\binom{12}{2}=\frac{12\cdot11}{2}=66$$

Krok 2 — wybór chłopców:

$$\binom{8}{2}=\frac{8\cdot7}{2}=28$$

Krok 3 — reguła mnożenia:

$$66\cdot28=1848$$

Odpowiedź: $1848$ sposobów.

Z uwzględnieniem kolejności (wariacje bez powtórzeń):

$$52\cdot51\cdot50=132\,600$$

Bez uwzględniania kolejności (kombinacje). Każdy zestaw trzech kart policzyliśmy powyżej $3!=6$ razy — raz dla każdej kolejności:

$$\frac{132\,600}{6}=22\,100$$

Kluczowa różnica. Gdy rozdajemy karty na rękę, kolejność nie ma znaczenia — liczy się skład. Gdy jednak przypisujemy kartom role (pierwsza odkryta, druga, trzecia), kolejność się liczy.

Zapis wzorem: $\binom{52}{3}=\frac{52!}{3!\cdot49!}=22\,100$.

Odpowiedź: $132\,600$ z kolejnością, $22\,100$ bez.

Krok 1 — pomysł. Każdy podzbiór odpowiada decyzji podejmowanej dla każdego z $n$ elementów: „należy" albo „nie należy".

Krok 2 — reguła mnożenia. Dla każdego z $n$ elementów mamy $2$ niezależne możliwości, więc łączna liczba decyzji to:

$$\underbrace{2\cdot2\cdot\ldots\cdot2}_{n}=2^n$$

Krok 3 — wniosek. Różne układy decyzji dają różne podzbiory, a każdy podzbiór odpowiada dokładnie jednemu układowi. Zatem podzbiorów jest $2^n$. $\qquad ∎$

Uwaga. Wliczamy tu zbiór pusty (wszystkie „nie") i cały zbiór (wszystkie „tak"). Sprawdzenie dla $n=3$: podzbiorów jest $2^3=8$ ✔