Klasa 6 SP — teoria, wzory, quizy i zadania do tego tematu.
Zamiast liczyć rabat i odejmować, mnożymy od razu przez jedną liczbę:
$$\text{podwyżka o } p\%:\ \times\left(1+\tfrac{p}{100}\right),\qquad \text{obniżka o } p\%:\ \times\left(1-\tfrac{p}{100}\right)$$
Podwyżka o $20\%$ to mnożenie przez $1{,}2$, obniżka o $30\%$ — przez $0{,}7$.
1. Znamy cenę wyjściową, szukamy końcowej. Mnożymy: $200\cdot1{,}15=230$ zł.
2. Znamy cenę końcową, szukamy wyjściowej. Dzielimy: $\frac{850}{0{,}85}=1000$ zł.
3. Znamy obie ceny, szukamy procentu. Dzielimy zmianę przez cenę wyjściową: $\frac{15}{60}=25\%$.
Procent zawsze liczymy od czegoś. To „coś” nazywamy podstawą i stanowi ono $100\%$.
Przy obniżce podstawą jest cena sprzed obniżki. Gdy cena wzrosła z $18$ do $27$ zł, wzrost wynosi $\frac{9}{18}=50\%$ — dzielimy przez $18$, a nie przez $27$.
Kolejne zmiany procentowe mnożymy, nie dodajemy:
$$1{,}1\cdot0{,}9=0{,}99$$
Podwyżka o $10\%$, a potem obniżka o $10\%$ nie wraca do punktu wyjścia — daje spadek o $1\%$. Powód: obniżkę liczymy od większej kwoty.
Ogólnie $(1+p)(1-p)=1-p^2<1$ — końcowa cena jest zawsze niższa od wyjściowej.
Dwa rabaty $30\%$ i $10\%$ dają mnożnik $0{,}7\cdot0{,}9=0{,}63$, czyli łączny rabat $37\%$ — mniej niż $40\%$. Sprzedawcy chętnie eksponują sumę procentów, ale liczy się iloczyn mnożników.
Spadek o $50\%$ wymaga wzrostu o $100\%$, by wrócić do punktu wyjścia. Wzrost o $50\%$ odwraca spadek o $33\tfrac13\%$.
Dzieje się tak, bo za każdym razem procent liczymy od innej podstawy.
Narzut liczymy od ceny zakupu, a rabat — od ceny sprzedaży. Towar kupiony za $80$ zł z narzutem $50\%$ kosztuje $120$ zł; po rabacie $30\%$ sprzedamy go za $84$ zł, wciąż z zyskiem $4$ zł. Odejmowanie tych procentów od siebie nie ma sensu.
Nie odejmuj $20\%$ od ceny po podwyżce, gdy szukasz ceny sprzed niej. Nie dodawaj procentów kolejnych rabatów. I zawsze sprawdzaj, od czego liczony jest dany procent.
Co robi: zamienia dwuetapowe liczenie (najpierw kwota zmiany, potem dodawanie lub odejmowanie) na jedno mnożenie.
Elementy: $c_0$ to cena wyjściowa, $c_1$ — końcowa, $p$ — procent zmiany.
Przykłady: podwyżka o $25\%$ to mnożenie przez $1{,}25$; obniżka o $30\%$ — przez $0{,}7$. Zatem $80\cdot1{,}25=100$ zł, a $400\cdot0{,}7=280$ zł.
Zadanie odwrotne: znając cenę końcową, dzielimy przez mnożnik. Cena po obniżce o $15\%$ wynosi $850$ zł, więc wyjściowa to $\frac{850}{0{,}85}=1000$ zł.
Zmiany kolejne: mnożniki mnożymy przez siebie. Rabat $30\%$, a potem $10\%$ daje $0{,}7\cdot0{,}9=0{,}63$, czyli łącznie $37\%$ — nie $40\%$.
Pułapka: mnożenie przez $0{,}3$ przy obniżce o $30\%$ daje samą kwotę rabatu, a nie cenę po obniżce. I nie odejmuj procentu od ceny po podwyżce, gdy szukasz ceny sprzed niej.
Co robi: od razu podaje cenę po zmianie, bez liczenia kwoty podwyżki osobno.
Elementy: $c$ — cena początkowa, $p$ — procent zmiany, $c_{\text{po}}$ — cena po zmianie. Mnożnik $\left(1 \pm \frac{p}{100}\right)$ nazywamy wskaźnikiem zmiany.
Przykład: cena $80$ zł po obniżce o $25\%$: $80 \cdot (1 - 0{,}25) = 80 \cdot 0{,}75 = 60$ zł.
Pułapka: podwyżka o $20\%$, a potem obniżka o $20\%$ nie daje ceny wyjściowej: $100 \to 120 \to 96$. Procenty liczy się za każdym razem od nowej podstawy.
Cena kurtki wynosiła $200$ zł i wzrosła o $10\%$. Ile kosztuje teraz?
Buty kosztowały $150$ zł i zostały przecenione o $20\%$. Ile kosztują po obniżce?
Cena $80$ zł wzrosła o $25\%$. Podaj nową cenę, korzystając z mnożnika.
Jakim mnożnikiem obliczymy cenę po obniżce o $30\%$?
Pensja $3000$ zł wzrosła o $5\%$. O ile złotych wzrosła i ile wynosi teraz?
Towar kosztował $60$ zł, a po obniżce $45$ zł. O ile procent staniał?
Rower po obniżce o $15\%$ kosztuje $850$ zł. Ile kosztował przed obniżką?
Cena $200$ zł wzrosła o $10\%$, a potem spadła o $10\%$. Ile wynosi teraz? Czy wróciła do wartości wyjściowej?
Cena wzrosła o $100\%$. Oznacza to, że:
Bilet kosztował $24$ zł. Cena wzrosła najpierw o $25\%$, a potem obniżono ją o $20\%$. Ile kosztuje teraz?
Sweter kosztuje $120$ zł. Ile zapłacimy przy rabacie $50\%$?
W sklepie obowiązuje rabat $30\%$, a stali klienci dostają dodatkowo $10\%$ od ceny już obniżonej. Ile zapłaci stały klient za towar za $400$ zł?
Cena po podwyżce o $20\%$ wynosi $360$ zł. Ile wynosiła przed podwyżką?
Który zestaw rabatów daje najniższą cenę końcową?
Liczba uczniów w szkole wzrosła z $250$ do $280$. O ile procent?
Cena spadła o $50\%$. O ile procent musi teraz wzrosnąć, by wrócić do poprzedniej wartości?
Telewizor kosztował $2400$ zł. W styczniu potaniał o $15\%$, a w lutym podrożał o $15\%$. Oblicz cenę po obu zmianach i porównaj z ceną wyjściową.
Sklep kupuje towar za $80$ zł i sprzedaje z narzutem $50\%$. Podczas wyprzedaży daje rabat $30\%$ od ceny sprzedaży. Czy nadal zarabia? O ile?
Cena biletu wzrosła z $18$ zł do $27$ zł. O ile procent wzrosła? O ile procent musiałaby teraz spaść, żeby wrócić do $18$ zł?
W sklepie A kurtka kosztuje $300$ zł z rabatem $20\%$. W sklepie B ta sama kurtka kosztuje $280$ zł z rabatem $15\%$. Gdzie jest taniej i o ile?
Załóż bezpłatne konto i otwórz dostęp do pełnego śledzenia postępów, planów nauki i quizów. Arkusze i zadania podstawowe są dostępne bez rejestracji. Już ponad 5 000 uczniów uczy się z Matematix.