Klasa 7 SP — teoria, wzory, quizy i zadania do tego tematu.
Bank dopisuje do wpłaconej kwoty odsetki liczone jako procent od kapitału:
$$\text{odsetki}=\text{kapitał}\cdot\frac{p}{100}$$
Przykład: od $2000$ zł przy $5\%$ rocznie odsetki wynoszą $0{,}05\cdot2000=100$ zł.
Od odsetek pobierany jest podatek $19\%$. Zamiast liczyć podatek i odejmować, szybciej od razu policzyć, ile zostaje:
$$\text{do wypłaty}=\text{odsetki}\cdot0{,}81$$
Przykład: z $300$ zł odsetek zostaje $300\cdot0{,}81=243$ zł.
Po dopisaniu odsetek do kapitału w kolejnym roku procent liczy się już od większej kwoty:
$$K_n=K_0\cdot\left(1+\frac{p}{100}\right)^n$$
Przykład: $1000$ zł na $2$ lata przy $10\%$ daje $1000\cdot1{,}1^2=1210$ zł — o $10$ zł więcej niż przy prostym naliczaniu.
$$\text{po podwyżce o } p\%:\ a\cdot\left(1+\tfrac{p}{100}\right),\qquad \text{po obniżce o } p\%:\ a\cdot\left(1-\tfrac{p}{100}\right)$$
Podwyżka o $10\%$ i następnie obniżka o $10\%$ nie wraca do ceny wyjściowej: $200\to220\to198$ zł, bo drugi procent liczymy od większej kwoty.
Jeśli po podwyżce o $20\%$ cena wynosi $360$ zł, to cena początkowa to:
$$360:1{,}2=300\ \text{zł}$$
Dzielimy, a nie odejmujemy $20\%$ od $360$ — to dałoby błędne $288$ zł.
To dwie różne miary tej samej zmiany:
Zawsze sprawdzaj, od czego liczysz procent. Ta sama zmiana z $4\%$ na $6\%$ to jednocześnie $2$ punkty procentowe i aż $50\%$ wzrostu — obie odpowiedzi są poprawne, ale odpowiadają na inne pytania.
Oprocentowanie zawsze podaje się w skali roku, nawet gdy lokata trwa krócej:
$$\text{odsetki}=\text{kapitał}\cdot\frac{p}{100}\cdot\frac{\text{liczba miesięcy}}{12}$$
Lokata półroczna na $6\%$ daje faktycznie $3\%$, kwartalna na $8\%$ — $2\%$.
Bank pobiera $19\%$ od odsetek — nigdy od wpłaconego kapitału.
$$\text{odsetki netto}=\text{odsetki brutto}\cdot0{,}81$$
Przykład: $2000$ zł na $5\%$ daje $100$ zł odsetek, podatek to $19$ zł, więc na konto trafia $2081$ zł.
$$\text{brutto}=\text{netto}\cdot\left(1+\tfrac{\text{VAT}}{100}\right)$$
Przy stawce $23\%$ mnożnikiem jest $1{,}23$:
$$\text{netto}=\frac{\text{brutto}}{1{,}23}$$
Aby z ceny brutto $123$ zł otrzymać netto, dzielimy przez $1{,}23$ i dostajemy $100$ zł. Odjęcie $23\%$ od $123$ zł daje błędne $94{,}71$ zł — bo podatek liczony jest od netto, a nie od brutto.
Podstawowa $23\%$, obniżone $8\%$ (m.in. usługi budowlane) i $5\%$ (książki, część żywności), a niektóre towary są zwolnione.
Oferty sprowadzamy do wspólnego okresu — zwykle do roku. Bank dający $1{,}2\%$ kwartalnie daje w roku $4{,}8\%$, czyli więcej niż konkurent z $4\%$ rocznie.
Przy porównaniach z podatkiem liczy się kwota po opodatkowaniu. Lokata $5\%$ obciążona podatkiem $19\%$ daje efektywnie $4{,}05\%$ — mniej niż zwolniona z podatku obligacja na $4{,}2\%$.
Gdy znamy odsetki po opodatkowaniu, cofamy się o dwa kroki. Kwota $81$ zł to $81\%$ odsetek brutto, więc brutto wynosiło $100$ zł, a przy kapitale $2000$ zł daje to oprocentowanie $5\%$.
Przy paliwie VAT nalicza się od kwoty zawierającej już akcyzę. Dla ceny netto $4$ zł i akcyzy $1{,}50$ zł podstawą jest $5{,}50$ zł, a VAT wynosi $1{,}265$ zł — cena końcowa to około $6{,}77$ zł.
Nie zapomnij przeliczyć stopy rocznej na faktyczny okres. Nie obciążaj podatkiem kapitału. I nie odejmuj procentu VAT od ceny brutto.
Cena brutto to cena netto powiększona o podatek VAT ($v\%$).
Przykład: Netto 200 zł, VAT 23%: brutto $200\cdot1{,}23=246$ zł.
$m$ — liczba kapitalizacji w roku, $n$ — liczba lat.
Przykład: 2000 zł, 6% rocznie, kapitalizacja kwartalna, 2 lata: $2000\cdot1{,}015^{8}\approx2252{,}99$ zł.
Zadania ćwiczeniowe ze zbiorów Matematix — z rozwiązaniami krok po kroku.
Wpłacono $1000$ zł na lokatę roczną oprocentowaną $4\%$. Ile wyniosą odsetki przed opodatkowaniem?
Cena netto towaru to $200$ zł, a VAT wynosi $23\%$. Ile wynosi cena brutto?
Od odsetek bank pobiera podatek $19\%$. Odsetki wyniosły $200$ zł. Ile trafi na konto oszczędzającego?
Lokata półroczna z oprocentowaniem $6\%$ w skali roku. Jaki procent kapitału stanowią odsetki po pół roku?
Pensja brutto wynosi $4000$ zł, a podatek $12\%$. Ile wynosi pensja netto (pomijamy inne składki)?
Cena brutto wynosi $123$ zł przy stawce VAT $23\%$. Ile wynosi cena netto?
Na lokatę roczną $5\%$ wpłacono $2000$ zł. Podatek od odsetek wynosi $19\%$. Ile pieniędzy będzie na koncie po roku?
Sklep sprzedaje książkę za $52{,}50$ zł brutto przy stawce VAT $5\%$. Oblicz cenę netto i kwotę podatku.
Lokata kwartalna oprocentowana $8\%$ w skali roku. Ile wyniosą odsetki od $5000$ zł po jednym kwartale?
Klient wpłacił $3000$ zł na lokatę i po roku otrzymał $3150$ zł (przed opodatkowaniem). Jakie było oprocentowanie?
Od nagrody $1000$ zł pobrano podatek $10\%$. Ile otrzymał zwycięzca?
Bank A oferuje $4\%$ rocznie, bank B — $1{,}2\%$ kwartalnie. Który bank daje więcej po roku od kwoty $10\ 000$ zł? Pomijamy kapitalizację.
Cena paliwa netto to $4$ zł za litr. Doliczana jest akcyza $1{,}50$ zł, a następnie VAT $23\%$ od sumy. Ile kosztuje litr dla kierowcy?
Lokata dwuletnia, $3\%$ rocznie, bez kapitalizacji odsetek. Jaki procent kapitału stanowią łączne odsetki?
Za usługę zapłacono $615$ zł brutto. Stawka VAT to $23\%$. Ile wynosi kwota podatku?
Ile trzeba wpłacić na lokatę roczną $10\%$, aby otrzymać $250$ zł odsetek?
Na lokatę $6000$ zł oprocentowaną $4\%$ rocznie wpłacono pieniądze na pół roku. Bank pobiera podatek $19\%$ od odsetek. Ile wypłaci klientowi?
Przedsiębiorca kupił materiały za $1230$ zł brutto (VAT $23\%$) i sprzedał gotowy produkt za $2460$ zł brutto. Oblicz obie kwoty netto i marżę liczoną na wartościach netto.
Ile wynosiło oprocentowanie lokaty rocznej, jeśli po potrąceniu podatku $19\%$ klient otrzymał $81$ zł odsetek od kwoty $2000$ zł?
Rodzina rozważa dwie oferty na $20\ 000$ zł: lokata roczna $5\%$ z podatkiem $19\%$ od odsetek albo obligacja dająca $4{,}2\%$ zysku zwolnionego z podatku. Która opcja jest korzystniejsza?
Prawdziwe zadania z arkuszy egzaminacyjnych (matura, egzamin ósmoklasisty, próbne) dotyczące tego tematu.
Załóż bezpłatne konto i otwórz dostęp do pełnego śledzenia postępów, planów nauki i quizów. Arkusze i zadania podstawowe są dostępne bez rejestracji. Już ponad 5 000 uczniów uczy się z Matematix.