Pojęcie procentu

Słowo „procent" znaczy dosłownie „na sto":

$$1\%=\frac{1}{100}=0{,}01$$

Odpowiedź: C. jedna setna.

$$25\%=\frac{25}{100}=\frac14$$

$$50\%=\frac{50}{100}=\frac12$$

$$20\%=\frac{20}{100}=\frac15$$

Warto zapamiętać te trzy zamiany — pojawiają się najczęściej.

Odpowiedź: $\frac14$, $\frac12$, $\frac15$.

Sposób 1 — przez ułamek dziesiętny:

$$0{,}2\cdot300=60$$

Sposób 2 — w pamięci. $10\%$ to $30$, więc $20\%$ to $60$.

Odpowiedź: $60$.

Dzielimy część przez całość i zamieniamy na procent:

$$\frac{10}{50}=0{,}2=20\%$$

Odpowiedź: B. $20\%$.

Mnożymy przez $100$:

$$0{,}35=35\%$$

$$\frac34=0{,}75=75\%$$

$$0{,}08=8\%$$

Uwaga: $0{,}08$ to $8\%$, a nie $80\%$ — zero po przecinku jest istotne.

Odpowiedź: $35\%$, $75\%$, $8\%$.

Dzielimy przez procent zapisany ułamkiem dziesiętnym:

$$15:0{,}3=50$$

Sprawdzenie: $30\%$ z $50$ to $15$ ✔

Odpowiedź: A. $50$.

Krok 1 — dziewczęta:

$$\frac{15}{25}=0{,}6=60\%$$

Krok 2 — chłopcy. Jest ich $25-15=10$:

$$\frac{10}{25}=0{,}4=40\%$$

Kontrola: $60\%+40\%=100\%$ ✔

Odpowiedź: dziewczęta $60\%$, chłopcy $40\%$.

Sposób 1 — mnożenie:

$$0{,}15\cdot240=36\ \text{zł}$$

Sposób 2 — w pamięci. $10\%$ to $24$ zł, $5\%$ to połowa tego, czyli $12$ zł. Razem $36$ zł.

Odpowiedź: $36$ zł.

$$\frac12=\frac{50}{100}=50\%$$

Warto znać: ćwiartka to $25\%$, jedna trzecia to około $33\%$, a całość to $100\%$.

Odpowiedź: D. $50\%$.

Procent:

$$\frac14=25\%$$

Kąt środkowy. Całe koło to $360^\circ$:

$$\frac14\cdot360^\circ=90^\circ$$

Przydatna zamiana: $1\%$ odpowiada $3{,}6^\circ$.

Odpowiedź: $25\%$ oraz $90^\circ$.

Procent większy od $100$ oznacza więcej niż całość:

$$1{,}5\cdot40=60$$

Sprawdzenie: $100\%$ to $40$, a dodatkowe $50\%$ to $20$ — razem $60$ ✔

Odpowiedź: C. $60$.

Krok 1 — jabłonie:

$$0{,}3\cdot80=24$$

Krok 2 — pozostałe:

$$80-24=56$$

Kontrola: pozostałe to $70\%$, a $0{,}7\cdot80=56$ ✔

Odpowiedź: $24$ jabłonie i $56$ innych drzew.

Krok 1 — ułamek:

$$\frac{18}{24}=\frac34$$

Krok 2 — na procenty:

$$\frac34=0{,}75=75\%$$

Odpowiedź: $75\%$.

Sposób 1 — rozszerzamy do mianownika $100$:

$$\frac{7}{20}=\frac{35}{100}=35\%$$

Sposób 2 — dzielenie:

$$7:20=0{,}35=35\%$$

Odpowiedź: B. $35\%$.

Sposób 1 — dzielenie:

$$60:0{,}4=150$$

Sposób 2 — przez jedną część. Skoro $40\%$ to $60$ osób, to $10\%$ to $15$ osób, a $100\%$ to $150$ osób.

Sprawdzenie: $40\%$ ze $150$ to $60$ ✔

Odpowiedź: $150$ osób.

$$\frac{0}{a}=0=0\%$$

Uwaga: odwrotnie byłoby inaczej — nie można pytać, jakim procentem zera jest inna liczba, bo dzielenie przez zero jest niewykonalne.

Odpowiedź: A. $0\%$.

Krok 1 — procent rowerzystów:

$$100\%-45\%-30\%=25\%$$

Krok 2 — liczba uczniów:

$$0{,}25\cdot500=125$$

Kontrola. Autobusem jeździ $225$, pieszo chodzi $150$, rowerem $125$:

$$225+150+125=500 \ ✔$$

Odpowiedź: $125$ uczniów, czyli $25\%$.

Krok 1 — ilość wody:

$$0{,}4\cdot250=100\ \text{litrów}$$

Krok 2 — brakuje:

$$250-100=150\ \text{litrów}$$

Krok 3 — procent brakujący:

$$100\%-40\%=60\%$$

Kontrola: $0{,}6\cdot250=150$ ✔

Odpowiedź: jest $100$ litrów, brakuje $150$ litrów, czyli $60\%$.

Krok 1 — procent gruszek:

$$100\%-40\%-25\%-20\%=15\%$$

Krok 2 — liczba uczniów:

• jabłka: $0{,}40\cdot200=80$
• banany: $0{,}25\cdot200=50$
• truskawki: $0{,}20\cdot200=40$
• gruszki: $0{,}15\cdot200=30$

Krok 3 — kąty (procent razy $3{,}6^\circ$):

• jabłka: $144^\circ$
• banany: $90^\circ$
• truskawki: $72^\circ$
• gruszki: $54^\circ$

Kontrole: $80+50+40+30=200$ ✔ oraz $144+90+72+54=360^\circ$ ✔

Odpowiedź: $80$, $50$, $40$ i $30$ uczniów; kąty $144^\circ$, $90^\circ$, $72^\circ$, $54^\circ$.

Krok 1 — klasa A:

$$\frac{18}{24}=0{,}75=75\%$$

Krok 2 — klasa B:

$$\frac{21}{30}=0{,}7=70\%$$

Krok 3 — porównanie:

$$75\%>70\%$$

Dlaczego porównujemy procenty, a nie liczby. W klasie B zdało więcej osób ($21>18$), ale klasa jest liczniejsza. Procent pokazuje, jaka część klasy poradziła sobie z testem — i to jest właściwa miara przy różnych liczebnościach.

Odpowiedź: lepiej wypadła klasa A ($75\%$ wobec $70\%$).