Obliczenia procentowe — powtórzenie

$$0{,}4\cdot250=100$$

Szybciej: $10\%$ to $25$, więc $40\%$ to $4\cdot25=100$.

Odpowiedź: B. $100$.

Odsetki to procent kapitału:

$$4\%\cdot1000=0{,}04\cdot1000=40\ \text{zł}$$

Odpowiedź: B. $40$ zł.

Dzielimy część przez całość:

$$\frac{9}{60}=0{,}15=15\%$$

Odpowiedź: $15\%$.

Krok 1 — kwota podatku:

$$0{,}23\cdot200=46\ \text{zł}$$

Krok 2 — cena brutto:

$$200+46=246\ \text{zł}$$

Skrót: $200\cdot1{,}23=246$ zł.

Odpowiedź: $246$ zł.

Dzielimy przez procent zapisany ułamkiem:

$$30:0{,}25=120$$

Sprawdzenie: $25\%$ ze $120$ to $30$ ✔

Odpowiedź: $120$.

Krok 1 — podatek:

$$0{,}19\cdot200=38\ \text{zł}$$

Krok 2 — odsetki netto:

$$200-38=162\ \text{zł}$$

Odpowiedź: $162$ zł.

$$180\cdot1{,}2=216\ \text{zł}$$

Sprawdzenie: podwyżka to $0{,}2\cdot180=36$ zł, a $180+36=216$ zł ✔

Odpowiedź: D. $216$ zł.

Oprocentowanie podaje się w skali roku, więc dla pół roku bierzemy połowę:

$$\frac{6\%}{2}=3\%$$

Zapamiętaj: „w skali roku” to standard w ofertach bankowych — zawsze trzeba przeliczyć na faktyczny okres oszczędzania.

Odpowiedź: C. $3\%$.

Krok 1 — obniżka:

$$0{,}35\cdot400=140\ \text{zł}$$

Krok 2 — nowa cena:

$$400-140=260\ \text{zł}$$

Szybciej: $400\cdot0{,}65=260$ zł.

Odpowiedź: $260$ zł.

Krok 1 — podatek:

$$0{,}12\cdot4000=480\ \text{zł}$$

Krok 2 — netto:

$$4000-480=3520\ \text{zł}$$

Odpowiedź: $3520$ zł.

Punkty procentowe to zwykła różnica dwóch procentów:

$$38\%-32\%=6\ \text{punktów procentowych}$$

Uwaga na różnicę pojęć: wzrost o $6\%$ oznaczałby coś innego — $32\%\cdot1{,}06\approx33{,}9\%$. Wzrost względny wynosi tu $\frac{6}{32}=18{,}75\%$, ale to inna wielkość niż punkty procentowe.

Odpowiedź: A. o $6$ punktów procentowych.

Krok 1 — związek między cenami:

$$\text{brutto}=\text{netto}\cdot1{,}23$$

Krok 2 — wyznaczamy netto:

$$\text{netto}=\frac{123}{1{,}23}=100\ \text{zł}$$

Częsty błąd to odjęcie $23\%$ od $123$ zł, co daje $94{,}71$ zł. Podatek liczymy od ceny netto, nie brutto.

Odpowiedź: A. $100$ zł.

Cena po obniżce to $70\%$ ceny pełnej:

$$91:0{,}7=130\ \text{zł}$$

Sprawdzenie: $130\cdot0{,}7=91$ zł ✔

Odpowiedź: $130$ zł.

Krok 1 — odsetki brutto:

$$0{,}05\cdot2000=100\ \text{zł}$$

Krok 2 — podatek:

$$0{,}19\cdot100=19\ \text{zł}$$

Krok 3 — odsetki po opodatkowaniu:

$$100-19=81\ \text{zł}$$

Krok 4 — stan konta:

$$2000+81=2081\ \text{zł}$$

Uwaga: podatek dotyczy tylko odsetek, nigdy wpłaconego kapitału.

Odpowiedź: $2081$ zł.

Krok 1 — odsetki:

$$0{,}05\cdot2000=100\ \text{zł}$$

Krok 2 — stan konta:

$$2000+100=2100\ \text{zł}$$

Odpowiedź: $2100$ zł.

Krok 1 — cena netto:

$$\text{netto}=\frac{52{,}50}{1{,}05}=50\ \text{zł}$$

Krok 2 — kwota VAT:

$$52{,}50-50=2{,}50\ \text{zł}$$

Sprawdzenie: $5\%$ z $50$ zł to $2{,}50$ zł ✔

Odpowiedź: netto $50$ zł, VAT $2{,}50$ zł.

Zamieniamy ułamek na dziesiętny, potem na procent:

$$\frac38=0{,}375=37{,}5\%$$

Odpowiedź: C. $37{,}5\%$.

Krok 1 — stopa kwartalna. Kwartał to $\frac14$ roku:

$$\frac{8\%}{4}=2\%$$

Krok 2 — odsetki:

$$0{,}02\cdot5000=100\ \text{zł}$$

Odpowiedź: D. $100$ zł.

Krok 1 — liczba dziewcząt:

$$0{,}6\cdot25=15$$

Krok 2 — liczba chłopców:

$$25-15=10$$

Alternatywnie: chłopcy to $40\%$, czyli $0{,}4\cdot25=10$ ✔

Odpowiedź: $10$ chłopców.

Krok 1 — odsetki:

$$3150-3000=150\ \text{zł}$$

Krok 2 — jaki to procent kapitału:

$$\frac{150}{3000}=0{,}05=5\%$$

Odpowiedź: $5\%$ w skali roku.

VAT doliczamy do ceny netto:

$$200\cdot1{,}23=246\ \text{zł}$$

Sprawdzenie: podatek to $0{,}23\cdot200=46$ zł ✔

Odpowiedź: B. $246$ zł.

Po potrąceniu podatku zostaje $90\%$ nagrody:

$$1000\cdot0{,}9=900\ \text{zł}$$

Odpowiedź: B. $900$ zł.

Krok 1 — po pierwszej podwyżce:

$$3000\cdot1{,}1=3300\ \text{zł}$$

Krok 2 — po drugiej (liczonej od nowej kwoty):

$$3300\cdot1{,}1=3630\ \text{zł}$$

Dlaczego nie $20\%$: $3000\cdot1{,}2=3600$ zł. Różnica $30$ zł bierze się stąd, że druga podwyżka liczona jest już od podwyższonej pensji.

Odpowiedź: $3630$ zł.

Bank A — odsetki roczne:

$$0{,}04\cdot10\ 000=400\ \text{zł}$$

Bank B — cztery kwartały:

$$4\cdot1{,}2\%=4{,}8\%$$

$$0{,}048\cdot10\ 000=480\ \text{zł}$$

Porównanie:

$$480>400$$

Wskazówka. Aby porównać oferty, sprowadzamy je do tego samego okresu — najczęściej do roku.

Odpowiedź: bank B, o $80$ zł więcej.

Krok 1 — po pierwszym rabacie:

$$500\cdot0{,}85=425\ \text{zł}$$

Krok 2 — po drugim:

$$425\cdot0{,}9=382{,}50\ \text{zł}$$

Uwaga: to nie to samo co rabat $25\%$ (byłoby $375$ zł). Łączna zniżka wynosi tu $\frac{500-382{,}5}{500}=23{,}5\%$.

Odpowiedź: $382{,}50$ zł.

Krok 1 — podstawa opodatkowania VAT:

$$4+1{,}50=5{,}50\ \text{zł}$$

Krok 2 — VAT:

$$0{,}23\cdot5{,}50=1{,}265\ \text{zł}$$

Krok 3 — cena końcowa:

$$5{,}50+1{,}265=6{,}765\approx6{,}77\ \text{zł}$$

Uwaga na kolejność. VAT nalicza się od kwoty już zawierającej akcyzę — to podatek liczony od podatku.

Odpowiedź: około $6{,}77$ zł za litr.

Mnożymy kolejno przez współczynniki:

$$x\cdot1{,}5\cdot0{,}5=0{,}75x$$

Wniosek: po wzroście i takim samym procentowo spadku zawsze wychodzi mniej niż na początku, bo spadek liczony jest od większej kwoty.

Odpowiedź: A. $0{,}75x$.

Bez kapitalizacji odsetki naliczane są co roku od tej samej kwoty:

$$2\cdot3\%=6\%$$

Różnica względem procentu składanego. Przy kapitalizacji byłoby $1{,}03^2=1{,}0609$, czyli $6{,}09\%$ — nieco więcej.

Odpowiedź: C. $6\%$.

Krok 1 — wzrost w złotych:

$$7{,}04-6{,}40=0{,}64\ \text{zł}$$

Krok 2 — odnosimy do ceny początkowej:

$$\frac{0{,}64}{6{,}40}=0{,}1=10\%$$

Odpowiedź: cena wzrosła o $10\%$.

Krok 1 — cena netto:

$$\frac{615}{1{,}23}=500\ \text{zł}$$

Krok 2 — VAT:

$$615-500=115\ \text{zł}$$

Sprawdzenie: $23\%$ z $500$ zł to $115$ zł ✔

Odpowiedź: $115$ zł.

Stężenie to masa soli podzielona przez masę całego roztworu:

$$\frac{60}{400}=0{,}15=15\%$$

Uwaga: w mianowniku jest masa roztworu, a nie samej wody.

Odpowiedź: C. $15\%$.

Krok 1 — równanie. Niech $x$ to wpłacony kapitał:

$$0{,}1x=250$$

Krok 2 — rozwiązanie:

$$x=\frac{250}{0{,}1}=2500\ \text{zł}$$

Odpowiedź: A. $2500$ zł.

Krok 1 — po obniżce:

$$1200\cdot0{,}9=1080\ \text{zł}$$

Krok 2 — po podwyżce:

$$1080\cdot1{,}2=1296\ \text{zł}$$

Krok 3 — zmiana względem początku:

$$\frac{1296-1200}{1200}=\frac{96}{1200}=0{,}08=8\%$$

Odpowiedź: $1296$ zł, czyli o $8\%$ drożej niż na początku.

Krok 1 — stopa za pół roku:

$$\frac{4\%}{2}=2\%$$

Krok 2 — odsetki brutto:

$$0{,}02\cdot6000=120\ \text{zł}$$

Krok 3 — podatek:

$$0{,}19\cdot120=22{,}80\ \text{zł}$$

Krok 4 — odsetki netto:

$$120-22{,}80=97{,}20\ \text{zł}$$

Krok 5 — wypłata:

$$6000+97{,}20=6097{,}20\ \text{zł}$$

Trzy pułapki w jednym zadaniu: przeliczenie stopy na pół roku, podatek tylko od odsetek i dodanie kapitału na końcu.

Odpowiedź: $6097{,}20$ zł.

Krok 1 — masa soli (dolewanie wody jej nie zmienia):

$$0{,}1\cdot300=30\ \text{g}$$

Krok 2 — nowa masa roztworu:

$$300+200=500\ \text{g}$$

Krok 3 — nowe stężenie:

$$\frac{30}{500}=0{,}06=6\%$$

Odpowiedź: $6\%$.

Krok 1 — zakup netto:

$$\frac{1230}{1{,}23}=1000\ \text{zł}$$

Krok 2 — sprzedaż netto:

$$\frac{2460}{1{,}23}=2000\ \text{zł}$$

Krok 3 — marża w złotych:

$$2000-1000=1000\ \text{zł}$$

Krok 4 — marża w procentach kosztu:

$$\frac{1000}{1000}=100\%$$

Dlaczego liczymy na netto. VAT jest podatkiem przechodnim — przedsiębiorca go odprowadza, więc nie stanowi ani kosztu, ani zysku.

Odpowiedź: netto $1000$ zł i $2000$ zł, marża $1000$ zł, czyli $100\%$.

Krok 1 — marża w złotych:

$$0{,}45\cdot80=36\ \text{zł}$$

Krok 2 — cena sprzedaży:

$$80+36=116\ \text{zł}$$

Zysk to właśnie marża, czyli $36$ zł na sztuce.

Odpowiedź: cena $116$ zł, zysk $36$ zł.

Krok 1 — odsetki brutto. Kwota $81$ zł to $81\%$ odsetek przed podatkiem:

$$0{,}81x=81 \quad\Rightarrow\quad x=100\ \text{zł}$$

Krok 2 — oprocentowanie:

$$\frac{100}{2000}=0{,}05=5\%$$

Sprawdzenie: $5\%$ z $2000$ zł to $100$ zł, podatek $19$ zł, zostaje $81$ zł ✔

Klucz do zadania. Trzeba było cofnąć się o dwa kroki: od kwoty netto do brutto, a dopiero potem do stopy procentowej.

Odpowiedź: $5\%$.

Zmiana w punktach procentowych — zwykłe odejmowanie:

$$61-54=7\ \text{punktów procentowych}$$

Zmiana względna — odnosimy różnicę do wartości początkowej:

$$\frac{7}{54}\approx0{,}1296\approx13{,}0\%$$

Dlaczego to dwie różne liczby: punkty procentowe mówią, o ile przesunęła się sama wartość procentu; procent zmiany mówi, o jaką część poprzedniej frekwencji ona wzrosła. Mylenie tych pojęć to najczęstszy błąd w doniesieniach prasowych.

Odpowiedź: $7$ punktów procentowych, czyli wzrost o około $13{,}0\%$.

Krok 1 — lokata, odsetki brutto:

$$0{,}05\cdot20\ 000=1000\ \text{zł}$$

Krok 2 — lokata po podatku:

$$1000\cdot0{,}81=810\ \text{zł}$$

Krok 3 — obligacja:

$$0{,}042\cdot20\ 000=840\ \text{zł}$$

Krok 4 — porównanie:

$$840>810$$

Wniosek metodyczny. Wyższa stopa nominalna ($5\%$ wobec $4{,}2\%$) nie przesądza o wyniku — porównywać trzeba kwoty po podatku. Lokata $5\%$ opodatkowana daje efektywnie $4{,}05\%$.

Odpowiedź: obligacja, o $30$ zł więcej.