Jakim procentem jednej liczby jest druga

Obliczamy procent z liczby:

$$0{,}2\cdot150=30\ \text{zł}$$

Szybciej: $10\%$ z $150$ to $15$, więc $20\%$ to $30$ zł.

Odpowiedź: B. $30$ zł.

Słowo „procent" znaczy dosłownie „na sto":

$$1\%=\frac{1}{100}=0{,}01$$

Odpowiedź: C. jedna setna.

$$25\%\cdot80=\tfrac14\cdot80=20$$

Odpowiedź: B. $20$.

Krok 1 — wartość obniżki:

$$0{,}25\cdot80=20\ \text{zł}$$

Krok 2 — nowa cena:

$$80-20=60\ \text{zł}$$

Szybciej: po obniżce o $25\%$ zostaje $75\%$, czyli $0{,}75\cdot80=60$ zł.

Odpowiedź: $60$ zł.

$$25\%=\frac{25}{100}=\frac14$$

$$50\%=\frac{50}{100}=\frac12$$

$$20\%=\frac{20}{100}=\frac15$$

Warto zapamiętać te trzy zamiany — pojawiają się najczęściej.

Odpowiedź: $\frac14$, $\frac12$, $\frac15$.

$$30\%\cdot200=0{,}3\cdot200=60\ \text{zł}$$

Odpowiedź: $60$ zł.

Krok 1 — podwyżka:

$$0{,}15\cdot200=30\ \text{zł}$$

Krok 2 — nowa cena:

$$200+30=230\ \text{zł}$$

Odpowiedź: $230$ zł.

Sposób 1 — przez ułamek dziesiętny:

$$0{,}2\cdot300=60$$

Sposób 2 — w pamięci. $10\%$ to $30$, więc $20\%$ to $60$.

Odpowiedź: $60$.

Mnożymy przez $100\%$:

$$0{,}45=45\%$$

Odpowiedź: C. $45\%$.

Dzielimy część przez całość i zamieniamy na procent:

$$\frac{20}{50}=0{,}4=40\%$$

Odpowiedź: C. $40\%$.

Dzielimy część przez całość i zamieniamy na procent:

$$\frac{10}{50}=0{,}2=20\%$$

Odpowiedź: B. $20\%$.

Krok 1 — dzielimy część przez całość:

$$\frac{10}{50}=0{,}2$$

Krok 2 — zamieniamy na procent:

$$0{,}2=20\%$$

Odpowiedź: $20\%$.

Szukamy liczby, której $30\%$ to $45$. Dzielimy:

$$45:0{,}3=150$$

Sprawdzenie: $0{,}3\cdot150=45$ ✔

Odpowiedź: szukana liczba to $150$.

Mnożymy przez $100$:

$$0{,}35=35\%$$

$$\frac34=0{,}75=75\%$$

$$0{,}08=8\%$$

Uwaga: $0{,}08$ to $8\%$, a nie $80\%$ — zero po przecinku jest istotne.

Odpowiedź: $35\%$, $75\%$, $8\%$.

Krok 1 — szukamy całości. Jeśli $40\%$ to $12$, to $1\%$ to:

$$12:40=0{,}3$$

Krok 2 — całość ($100\%$):

$$0{,}3\cdot100=30$$

Sprawdzenie: $40\%\cdot30=12$ ✔

Odpowiedź: $30$.

VAT doliczamy do ceny netto:

$$100+0{,}23\cdot100=100+23=123\ \text{zł}$$

Szybciej: cena brutto to $123\%$ ceny netto: $1{,}23\cdot100=123$ zł.

Odpowiedź: A. $123$ zł.

Dzielimy przez procent zapisany ułamkiem dziesiętnym:

$$15:0{,}3=50$$

Sprawdzenie: $30\%$ z $50$ to $15$ ✔

Odpowiedź: A. $50$.

Krok 1: $10\%\cdot500=50$.

Krok 2: $10\%\cdot50=5$.

Odpowiedź: A. $5$.

Krok 1 — po podwyżce:

$$120\cdot1{,}1=132\ \text{zł}$$

Krok 2 — po obniżce (liczonej od $132$ zł):

$$132\cdot0{,}9=118{,}80\ \text{zł}$$

Wniosek: cena nie wróciła do $120$ zł, bo obniżkę liczono od wyższej kwoty. Sweter jest tańszy niż na początku.

Odpowiedź: $118{,}80$ zł.

Krok 1 — dziewczęta:

$$\frac{15}{25}=0{,}6=60\%$$

Krok 2 — chłopcy. Jest ich $25-15=10$:

$$\frac{10}{25}=0{,}4=40\%$$

Kontrola: $60\%+40\%=100\%$ ✔

Odpowiedź: dziewczęta $60\%$, chłopcy $40\%$.

Krok 1 — podwyżka:

$$15\%\cdot80=12\ \text{zł}$$

Krok 2 — nowa cena:

$$80+12=92\ \text{zł}$$

Odpowiedź: $92$ zł.

Krok 1 — liczba dziewcząt:

$$0{,}6\cdot25=15$$

Krok 2 — chłopcy to reszta:

$$25-15=10$$

Sprawdzenie: chłopcy to $40\%$, czyli $0{,}4\cdot25=10$ ✔

Odpowiedź: $10$ chłopców.

Sposób 1 — mnożenie:

$$0{,}15\cdot240=36\ \text{zł}$$

Sposób 2 — w pamięci. $10\%$ to $24$ zł, $5\%$ to połowa tego, czyli $12$ zł. Razem $36$ zł.

Odpowiedź: $36$ zł.

Sposób 1 — przez obniżkę. $30\%\cdot200=60$ zł, więc $200-60=140$ zł.

Sposób 2 — od razu przez mnożnik. Po obniżce zostaje $70\%$:

$$70\%\cdot200=0{,}7\cdot200=140\ \text{zł}$$

Odpowiedź: $140$ zł.

Cena ze zniżką to $70\%$ ceny pełnej. Dzielimy:

$$28:0{,}7=40\ \text{zł}$$

Sprawdzenie: $40\cdot0{,}7=28$ zł ✔

Pułapka: dodanie $30\%$ do $28$ (czyli $36{,}40$) jest błędne — procent liczy się od ceny pełnej, nie od obniżonej.

Odpowiedź: D. $40$ zł.

$$\frac12=\frac{50}{100}=50\%$$

Warto znać: ćwiartka to $25\%$, jedna trzecia to około $33\%$, a całość to $100\%$.

Odpowiedź: D. $50\%$.

$$\frac34=0{,}75=75\%$$

Odpowiedź: D. $75\%$.

Procent zmiany liczymy względem ceny początkowej.

Krok 1 — wzrost kwotowy:

$$750-600=150\ \text{zł}$$

Krok 2 — procent wzrostu:

$$\frac{150}{600}=0{,}25=25\%$$

Odpowiedź: rower zdrożał o $25\%$.

Procent:

$$\frac14=25\%$$

Kąt środkowy. Całe koło to $360^\circ$:

$$\frac14\cdot360^\circ=90^\circ$$

Przydatna zamiana: $1\%$ odpowiada $3{,}6^\circ$.

Odpowiedź: $25\%$ oraz $90^\circ$.

Krok 1 — część do całości:

$$\frac{7}{28}=\frac14$$

Krok 2 — na procent:

$$\frac14=25\%$$

Odpowiedź: $25\%$.

Zamieniamy ułamek na procent:

$$\frac34=0{,}75=75\%$$

Odpowiedź: B. $75\%$.

Procent większy od $100$ oznacza więcej niż całość:

$$1{,}5\cdot40=60$$

Sprawdzenie: $100\%$ to $40$, a dodatkowe $50\%$ to $20$ — razem $60$ ✔

Odpowiedź: C. $60$.

$100\%$ liczby to cała liczba:

$$100\%\cdot37=37$$

Odpowiedź: B. $37$.

Krok 1 — odsetki:

$$0{,}04\cdot2000=80\ \text{zł}$$

Krok 2 — stan konta:

$$2000+80=2080\ \text{zł}$$

Odpowiedź: odsetki $80$ zł, na koncie $2080$ zł.

Krok 1 — jabłonie:

$$0{,}3\cdot80=24$$

Krok 2 — pozostałe:

$$80-24=56$$

Kontrola: pozostałe to $70\%$, a $0{,}7\cdot80=56$ ✔

Odpowiedź: $24$ jabłonie i $56$ innych drzew.

Krok 1 — cena po obniżce to $80\%$ ceny początkowej:

$$80\%\cdot x=960$$

Krok 2 — rozwiązujemy:

$$x=\frac{960}{0{,}8}=1200\ \text{zł}$$

Sprawdzenie: $20\%\cdot1200=240$, $1200-240=960$ ✔

Odpowiedź: $1200$ zł.

Zakupy przekraczają $200$ zł, więc rabat przysługuje.

Krok 1 — rabat:

$$0{,}15\cdot240=36\ \text{zł}$$

Krok 2 — do zapłaty:

$$240-36=204\ \text{zł}$$

Szybciej: $0{,}85\cdot240=204$ zł.

Odpowiedź: klient zapłaci $204$ zł.

Krok 1 — ułamek:

$$\frac{18}{24}=\frac34$$

Krok 2 — na procenty:

$$\frac34=0{,}75=75\%$$

Odpowiedź: $75\%$.

Krok 1 — dzielimy:

$$\frac{50}{40}=1{,}25$$

Krok 2 — na procent:

$$1{,}25=125\%$$

Uwaga. Skoro $50>40$, wynik przekracza $100\%$ — to poprawne.

Odpowiedź: $125\%$.

Dzielimy przez $1{,}2$:

$$60:1{,}2=50$$

Sprawdzenie: $1{,}2\cdot50=60$ ✔

Uwaga: $120\%$ oznacza więcej niż całość, więc szukana liczba jest mniejsza od $60$.

Odpowiedź: C. $50$.

Sposób 1 — rozszerzamy do mianownika $100$:

$$\frac{7}{20}=\frac{35}{100}=35\%$$

Sposób 2 — dzielenie:

$$7:20=0{,}35=35\%$$

Odpowiedź: B. $35\%$.

$$\frac{5}{20}=\frac14=25\%$$

Odpowiedź: C. $25\%$.

Krok 1 — cena po pierwszym rabacie:

$$1800\cdot0{,}9=1620\ \text{zł}$$

Krok 2 — drugi rabat (liczony od $1620$ zł):

$$1620\cdot0{,}95=1539\ \text{zł}$$

Uwaga: rabaty nie sumują się do $15\%$ — drugi liczy się od już obniżonej ceny. Łączny rabat to $\frac{1800-1539}{1800}=14{,}5\%$.

Odpowiedź: klient zapłaci $1539$ zł.

Sposób 1 — dzielenie:

$$60:0{,}4=150$$

Sposób 2 — przez jedną część. Skoro $40\%$ to $60$ osób, to $10\%$ to $15$ osób, a $100\%$ to $150$ osób.

Sprawdzenie: $40\%$ ze $150$ to $60$ ✔

Odpowiedź: $150$ osób.

Krok 1 — po podwyżce:

$$150\cdot1{,}08=162\ \text{zł}$$

Krok 2 — po obniżce o $8\%$:

$$162\cdot0{,}92=149{,}04\ \text{zł}$$

Wniosek. Cena końcowa ($149{,}04$ zł) jest niższa od początkowej — bo $8\%$ obniżki liczymy od większej kwoty niż $8\%$ podwyżki. Podwyżka i obniżka o ten sam procent NIE znoszą się.

Odpowiedź: $149{,}04$ zł.

$$\frac{25}{500}=0{,}05=5\%$$

Odpowiedź: A. $5\%$.

$$\frac{0}{a}=0=0\%$$

Uwaga: odwrotnie byłoby inaczej — nie można pytać, jakim procentem zera jest inna liczba, bo dzielenie przez zero jest niewykonalne.

Odpowiedź: A. $0\%$.

$$150\%\cdot60=1{,}5\cdot60=90$$

Odpowiedź: A. $90$.

Krok 1 — podwyżka:

$$0{,}08\cdot4000=320\ \text{zł}$$

Krok 2 — nowa pensja:

$$4000+320=4320\ \text{zł}$$

Odpowiedź: nowa pensja to $4320$ zł.

Krok 1 — procent rowerzystów:

$$100\%-45\%-30\%=25\%$$

Krok 2 — liczba uczniów:

$$0{,}25\cdot500=125$$

Kontrola. Autobusem jeździ $225$, pieszo chodzi $150$, rowerem $125$:

$$225+150+125=500 \ ✔$$

Odpowiedź: $125$ uczniów, czyli $25\%$.

Krok 1 — liczba dziewcząt:

$$52\%\cdot600=312$$

Krok 2 — liczba chłopców:

$$600-312=288$$

Krok 3 — różnica:

$$312-288=24$$

Szybciej. Dziewcząt jest o $52\%-48\%=4\%$ więcej: $4\%\cdot600=24$ ✔

Odpowiedź: o $24$ osoby.

Krok 1 — wzrost kwotowy:

$$5-4=1\ \text{zł}$$

Krok 2 — procent względem ceny początkowej:

$$\frac{1}{4}=0{,}25=25\%$$

Częsty błąd: dzielenie przez cenę końcową ($5$ zł) dałoby $20\%$. Procent zmiany zawsze odnosimy do wartości przed zmianą.

Odpowiedź: cena wzrosła o $25\%$.

Krok 1 — ilość wody:

$$0{,}4\cdot250=100\ \text{litrów}$$

Krok 2 — brakuje:

$$250-100=150\ \text{litrów}$$

Krok 3 — procent brakujący:

$$100\%-40\%=60\%$$

Kontrola: $0{,}6\cdot250=150$ ✔

Odpowiedź: jest $100$ litrów, brakuje $150$ litrów, czyli $60\%$.

Krok 1 — po pierwszym rabacie ($90\%$):

$$400\cdot0{,}9=360\ \text{zł}$$

Krok 2 — po drugim rabacie ($95\%$):

$$360\cdot0{,}95=342\ \text{zł}$$

Krok 3 — oszczędność:

$$400-342=58\ \text{zł}=\frac{58}{400}=14{,}5\%$$

Uwaga. Łączny rabat to $14{,}5\%$, a nie $15\%$ — drugi rabat liczony jest od już obniżonej ceny.

Odpowiedź: zapłacił $342$ zł, zaoszczędził $14{,}5\%$.

Krok 1 — cena początkowa. Po obniżce o $40\%$ zostaje $60\%$ ceny, więc:

$$150:0{,}6=250\ \text{zł}$$

Krok 2 — obniżka w złotówkach:

$$250-150=100\ \text{zł}$$

Sprawdzenie: $40\%$ z $250$ to $100$ zł ✔

Odpowiedź: kurtka kosztowała $250$ zł, obniżka to $100$ zł.

Krok 1 — procent gruszek:

$$100\%-40\%-25\%-20\%=15\%$$

Krok 2 — liczba uczniów:

• jabłka: $0{,}40\cdot200=80$
• banany: $0{,}25\cdot200=50$
• truskawki: $0{,}20\cdot200=40$
• gruszki: $0{,}15\cdot200=30$

Krok 3 — kąty (procent razy $3{,}6^\circ$):

• jabłka: $144^\circ$
• banany: $90^\circ$
• truskawki: $72^\circ$
• gruszki: $54^\circ$

Kontrole: $80+50+40+30=200$ ✔ oraz $144+90+72+54=360^\circ$ ✔

Odpowiedź: $80$, $50$, $40$ i $30$ uczniów; kąty $144^\circ$, $90^\circ$, $72^\circ$, $54^\circ$.

Krok 1 — masa napoju. $1{,}5$ l $=1500$ ml $=1500$ g.

Krok 2 — masa cukru:

$$8\%\cdot1500=0{,}08\cdot1500=120\ \text{g}$$

Kontekst. To ok. $24$ kostki cukru w jednej butelce — dobre ćwiczenie na czytanie etykiet.

Odpowiedź: $120$ g cukru.

Krok 1 — objętość w mililitrach:

$$1{,}5\ \text{l}=1500\ \text{ml}$$

Krok 2 — obliczamy $12\%$:

$$0{,}12\cdot1500=180\ \text{ml}$$

Kontrola sensu: $12\%$ to nieco ponad dziesiąta część, a $\frac{1500}{10}=150$, więc $180$ ml jest rozsądne.

Odpowiedź: butelka zawiera $180$ ml owoców.

Krok 1 — klasa A:

$$\frac{18}{24}=0{,}75=75\%$$

Krok 2 — klasa B:

$$\frac{21}{30}=0{,}7=70\%$$

Krok 3 — porównanie:

$$75\%>70\%$$

Dlaczego porównujemy procenty, a nie liczby. W klasie B zdało więcej osób ($21>18$), ale klasa jest liczniejsza. Procent pokazuje, jaka część klasy poradziła sobie z testem — i to jest właściwa miara przy różnych liczebnościach.

Odpowiedź: lepiej wypadła klasa A ($75\%$ wobec $70\%$).

Krok 1 — oznaczenia. Niech cena początkowa to $x$.

Krok 2 — po podwyżce o $50\%$:

$$x\cdot1{,}5=1{,}5x$$

Krok 3 — po obniżce o $50\%$ (od nowej, większej ceny):

$$1{,}5x\cdot0{,}5=0{,}75x$$

Krok 4 — wniosek. Cena końcowa to $0{,}75x$, czyli $75\%$ ceny początkowej — jest o $25\%$ niższa. $\quad∎$

Dlaczego. Obniżkę liczymy od wyższej kwoty ($1{,}5x$), więc odejmowane $50\%$ jest w złotówkach większe niż dodane wcześniej. Procent zawsze odnosi się do konkretnej podstawy.

Sprawdzenie: dla $x=100$ zł: $\to150\to75$ zł ✔