Statystyka — powtórzenie

$$\frac{4+7+10+11}{4}=\frac{32}{4}=8$$

Odpowiedź: C. $8$.

Krok 1 — porządkujemy rosnąco:

$$3,\ 5,\ 7,\ 8,\ 12$$

Krok 2 — środkowy wyraz. Elementów jest $5$ (nieparzysta liczba), więc mediana to trzeci wyraz:

$$7$$

Uwaga: uporządkowanie danych jest obowiązkowe — bez niego mediana wyjdzie błędna.

Odpowiedź: $7$.

Zliczamy wystąpienia:

• $2$ — dwa razy
• $5$ — trzy razy
• $7$ — raz
• $9$ — raz

Najczęściej pojawia się $5$.

Odpowiedź: dominanta to $5$.

Elementów jest $4$ — liczba parzysta, więc mediana to średnia dwóch środkowych:

$$\frac{4+6}{2}=5$$

Zapamiętaj: przy parzystej liczbie danych mediana zwykle nie należy do zestawu.

Odpowiedź: B. $5$.

Mianownik nie może być zerem:

$$x-4\neq0 \quad\Rightarrow\quad x\neq4$$

$$D=\mathbb{R}\setminus\{4\}$$

Odpowiedź: $x\in\mathbb{R}\setminus\{4\}$.

Mediana zależy tylko od pozycji środkowej, więc pojedyncza skrajna wartość jej nie przesuwa.

Przykład: dla zestawu $1$, $2$, $3$ średnia i mediana wynoszą $2$. Po zamianie trójki na $100$ średnia skacze do $34{,}3$, a mediana nadal wynosi $2$.

Odpowiedź: A. mediana.

Krok 1 — suma pięciu liczb:

$$5\cdot12=60$$

Krok 2 — suma sześciu liczb:

$$6\cdot13=78$$

Krok 3 — nowa liczba:

$$78-60=18$$

Odpowiedź: $18$.

Liczymy średnią ważoną — grupy mają różną liczebność:

$$\bar{x}=\frac{10\cdot4+15\cdot5}{10+15}=\frac{40+75}{25}=\frac{115}{25}=4{,}6$$

Częsty błąd: zwykła średnia z $4$ i $5$ dałaby $4{,}5$ — ignoruje to, że piątek jest więcej.

Odpowiedź: $4{,}6$.

Kwadrat jest nieujemny, więc najmniejsza wartość wypada dla $x=0$:

$$f(0)=3$$

Wartość $3$ jest osiągana, więc nawias domykamy.

Odpowiedź: D. $\langle3,+\infty)$.

Krok 1 — porządkujemy:

$$8,\ 8,\ 12,\ 15,\ 17,\ 20$$

Krok 2 — rozstęp (różnica największej i najmniejszej):

$$20-8=12$$

Krok 3 — mediana. Sześć elementów, więc średnia trzeciego i czwartego:

$$\frac{12+15}{2}=13{,}5$$

Odpowiedź: rozstęp $12$, mediana $13{,}5$.

O monotoniczności funkcji liniowej decyduje znak współczynnika kierunkowego:

$$a=-2<0 \quad\Rightarrow\quad \text{funkcja malejąca}$$

Odpowiedź: B. malejąca.

Miejsce zerowe — rozwiązujemy $f(x)=0$:

$$3x-15=0 \quad\Rightarrow\quad x=5$$

Przecięcie z osią $OY$ — obliczamy $f(0)$:

$$f(0)=-15 \quad\Rightarrow\quad \text{punkt } (0,-15)$$

Odpowiedź: miejsce zerowe $x=5$, punkt $(0,-15)$.

Krok 1 — kolejność. Skoro $x<6$, uporządkowany zestaw to $x$, $6$, $9$, $11$.

Krok 2 — mediana to średnia dwóch środkowych, czyli $6$ i $9$:

$$\frac{6+9}{2}=7{,}5 \ ✔$$

Wniosek: mediana wynosi $7{,}5$ niezależnie od wartości $x$, o ile tylko $x<6$ — bo $x$ nie trafia na pozycję środkową.

Odpowiedź: każde $x<6$ spełnia warunek; mediana nie zależy od $x$.

Z postaci kanonicznej $f(x)=a(x-p)^2+q$ odczytujemy wierzchołek $W=(p,\,q)$:

$$p=2,\qquad q=5$$

Uwaga na znak: w nawiasie jest $(x-2)$, więc $p=2$ — nie $-2$.

Odpowiedź: C. $(2,\,5)$.

Krok 1 — suma dotychczasowa:

$$5\cdot3{,}8=19$$

Krok 2 — potrzebna suma:

$$6\cdot4=24$$

Krok 3 — szukana ocena:

$$24-19=5$$

Odpowiedź: musi dostać $5$.

Funkcja parzysta spełnia $f(-x)=f(x)$ — argumenty przeciwne dają tę samą wartość, więc wykres odbija się w osi $OY$.

Dla porównania: funkcja nieparzysta ($f(-x)=-f(x)$) ma wykres symetryczny względem początku układu.

Odpowiedź: A. osi $OY$.

Średnia:

$$\frac{2+4+4+6+9}{5}=\frac{25}{5}=5$$

Mediana — dane są już uporządkowane, środkowy wyraz to trzeci:

$$4$$

Dominanta — najczęstsza wartość:

$$4$$

Interpretacja. Średnia $5$ jest zawyżona przez pojedynczą dużą wartość $9$. Mediana i dominanta zgodnie wskazują $4$ — i to lepiej oddaje typowy przypadek. Przy danych z wartościami odstającymi mediana jest bezpieczniejszym opisem niż średnia.

Odpowiedź: średnia $5$, mediana $4$, dominanta $4$; najlepiej opisuje dane mediana.

Krok 1 — warunek: mianownik różny od zera.

$$x^2-9\neq0$$

Krok 2 — rozkładamy:

$$(x-3)(x+3)\neq0$$

Krok 3 — wykluczamy oba pierwiastki:

$$x\neq3 \quad\text{oraz}\quad x\neq-3$$

$$D=\mathbb{R}\setminus\{-3,\,3\}$$

Najczęstszy błąd: pominięcie pierwiastka ujemnego.

Odpowiedź: $x\in\mathbb{R}\setminus\{-3,\,3\}$.

Krok 1 — miejsca zerowe. Wyróżnik:

$$\Delta=36-20=16,\qquad \sqrt\Delta=4$$

$$x_1=\frac{6-4}{2}=1,\qquad x_2=\frac{6+4}{2}=5$$

Krok 2 — wierzchołek:

$$p=\frac{-b}{2a}=\frac{6}{2}=3,\qquad q=f(3)=9-18+5=-4$$

$$W=(3,\,-4)$$

Krok 3 — zbiór wartości. Ramiona w górę ($a=1>0$), więc wierzchołek wyznacza minimum:

$$ZW=\langle-4,+\infty)$$

Kontrola: wierzchołek leży w połowie między pierwiastkami — $\frac{1+5}{2}=3$ ✔

Odpowiedź: $x\in\{1,\,5\}$, $W=(3,\,-4)$, $ZW=\langle-4,+\infty)$.

Krok 1 — średnia wyjściowa:

$$\frac{3+5+7+9}{4}=\frac{24}{4}=6$$

Krok 2 — warunek na nową liczbę. Skoro średnia ma zostać taka sama, suma pięciu liczb musi wynosić $5\cdot6=30$:

$$30-24=6$$

Wniosek: dodana liczba jest równa dotychczasowej średniej — to reguła ogólna, nie przypadek.

Krok 3 — mediana przed. Cztery elementy, więc średnia dwóch środkowych:

$$\frac{5+7}{2}=6$$

Krok 4 — mediana po. Zestaw $3$, $5$, $6$, $7$, $9$ — środkowy wyraz to trzeci:

$$6$$

Odpowiedź: dodano $6$; mediana pozostała równa $6$.

Liczba trzycyfrowa: $\overline{ABC}$ gdzie $A \neq 0$.

Warunki: nieparzysta ($C$ nieparzysta: 1,3,5,7,9 — 5 możliwości), dokładnie jedna cyfra $0$.

Skoro $A \neq 0$ i $C$ nieparzysta (≠0), cyfra $0$ musi być dokładnie na pozycji $B$ (środkowej):

$\overline{A\,0\,C}$: $A \in \{1,\ldots,9\}$ — 9 możliwości, $C \in \{1,3,5,7,9\}$ — 5 możliwości.

Łącznie: $9 \times 5 = \mathbf{45}$.

Przestrzeń zdarzeń elementarnych: $6 \times 6 = 36$ par.

Zdarzenia sprzyjające (suma $= 11$): $(5,6)$ i $(6,5)$ — 2 pary.

$$P(A) = \frac{2}{36} = \frac{1}{18}$$

$$\frac{1+2+3+4+5+a+b}{7} = 3$$

$$15 + a + b = 21$$

$$a + b = \mathbf{6}$$

Dane: oceny $1\times1$, $2\times3$, $3\times7$, $4\times8$, $5\times4$, $6\times1$. Łącznie 24 uczniów.

Mediana: 24 wartości, mediana to średnia 12. i 13. wartości (po posortowaniu).

Skumulowane: 1→1, 2→4, 3→11, 4→19. Zarówno 12. jak i 13. wartość to ocena $4$.

Mediana $= \mathbf{4}$.

Dominanta: Najczęstsza ocena to $4$ (8 uczniów).

Dominanta $= \mathbf{4}$.