Stereometria — powtórzenie

Przekątna sześcianu to $a\sqrt3$:

$$d=4\sqrt3\approx6{,}93$$

Pułapka: $4\sqrt2$ to przekątna ściany.

Odpowiedź: B. $4\sqrt3$.

$$V=a^3=5^3=125$$

Uwaga: $150$ to pole powierzchni tego sześcianu ($6\cdot25$), a $25$ to pole jednej ściany.

Odpowiedź: C. $125$.

Przekrój osiowy walca to prostokąt o wymiarach: średnica podstawy na wysokość.

$$P=2r\cdot H=6\cdot10=60$$

Częsty błąd: użycie promienia zamiast średnicy — dałoby $30$.

Odpowiedź: $60$.

$$V_{\text{graniastosłupa}}=P_p\cdot H$$

$$V_{\text{ostrosłupa}}=\frac13 P_p\cdot H$$

$$V_{\text{walca}}=\pi r^2 H$$

$$V_{\text{stożka}}=\frac13\pi r^2 H$$

$$V_{\text{kuli}}=\frac43\pi r^3$$

Zauważ prawidłowość: bryły „ostro zakończone" (ostrosłup, stożek) mają współczynnik $\frac13$ względem odpowiadających im brył „prostych".

Odpowiedź: pięć wzorów jak wyżej.

Przekrój osiowy stożka to trójkąt równoramienny: podstawą jest średnica koła podstawy, a ramionami — dwie tworzące.

Szczególny przypadek: gdy tworząca równa się średnicy, przekrój jest trójkątem równobocznym — mówimy wtedy o stożku o przekroju równobocznym.

Odpowiedź: trójkąt równoramienny.

$$d=\sqrt{a^2+b^2+c^2}=\sqrt{4+9+36}=\sqrt{49}=7$$

Odpowiedź: $7$.

Kula opisana przechodzi przez wszystkie wierzchołki, więc jej średnica to przekątna sześcianu:

$$2R=a\sqrt3 \quad\Rightarrow\quad R=\frac{a\sqrt3}{2}$$

Dla porównania: kula wpisana dotyka ścian, więc jej promień to $\frac{a}{2}$ — odpowiedź A.

Odpowiedź: C. $\frac{a\sqrt3}{2}$.

$$P=4\pi r^2$$

Rozróżnienie: $\frac43\pi r^3$ to objętość, $\pi r^2$ to pole koła, a $2\pi r$ to długość okręgu.

Kontrola wymiarowa: pole musi zależeć od kwadratu długości, objętość od sześcianu.

Odpowiedź: B. $4\pi r^2$.

Kula wpisana dotyka wszystkich sześciu ścian, więc jej średnica jest równa krawędzi:

$$2r=10 \quad\Rightarrow\quad r=5$$

Odpowiedź: $5$.

Krok 1 — pole podstawy (kwadrat):

$$P_p=36$$

Krok 2 — objętość:

$$V=36\cdot10=360$$

Odpowiedź: $360$.

Taki przekrój ma boki: dwie krawędzie sześcianu (po $a$) i dwie przekątne ścian (po $a\sqrt2$).

To prostokąt o wymiarach $a$ na $a\sqrt2$ — nie kwadrat, bo boki mają różną długość.

Ciekawostka: przekrój sześciokątny też jest możliwy — powstaje, gdy płaszczyzna przechodzi przez środki sześciu krawędzi.

Odpowiedź: A. prostokątem.

Najpierw przekątna podstawy ($a\sqrt2$), potem Pitagoras z wysokością:

$$d=\sqrt{2a^2+a^2}=a\sqrt3$$

Pułapka: $a\sqrt2$ to przekątna ściany.

Odpowiedź: A. $a\sqrt3$.

Krok 1 — wymiary przekroju. Jeden bok to krawędź, drugi — przekątna ściany:

$$6 \quad\text{oraz}\quad 6\sqrt2$$

Krok 2 — pole prostokąta:

$$P=6\cdot6\sqrt2=36\sqrt2\approx50{,}9$$

Odpowiedź: $36\sqrt2$.

Krok 1 — objętość:

$$V=\frac13\cdot64\cdot3=64$$

Krok 2 — wysokość ściany bocznej. Tworzą ją: wysokość bryły ($3$) i połowa krawędzi podstawy ($4$):

$$h=\sqrt{9+16}=5$$

Rozpoznanie: trójka $3$–$4$–$5$.

Odpowiedź: $V=64$, wysokość ściany $5$.

Krok 1 — związek. Wierzchołki sześcianu leżą na kuli, więc przekątna sześcianu jest średnicą:

$$a\sqrt3=2R$$

Krok 2 — wyznaczamy $a$:

$$a=\frac{2R}{\sqrt3}=\frac{2R\sqrt3}{3}$$

Sprawdzenie dla $R=\frac{\sqrt3}{2}$: wychodzi $a=1$, a przekątna $\sqrt3=2R$ ✔

Odpowiedź: $a=\frac{2R\sqrt3}{3}$.

Objętość:

$$V=\pi\cdot16\cdot9=144\pi$$

Pole powierzchni:

$$P=2\pi r^2+2\pi r H=32\pi+72\pi=104\pi$$

Odpowiedź: $V=144\pi$, $P=104\pi$.

Krok 1 — promień podstawy. Okrąg opisany na kwadracie o boku $a$ ma średnicę równą przekątnej kwadratu:

$$2r=a\sqrt2 \quad\Rightarrow\quad r=\frac{a\sqrt2}{2}$$

Krok 2 — objętość (wysokość walca to $a$):

$$V=\pi r^2 H=\pi\cdot\frac{2a^2}{4}\cdot a=\frac{\pi a^3}{2}$$

Odpowiedź: D. $\frac{\pi a^3}{2}$.

Ostrosłup o podstawie $n$-kąta ma $2n$ krawędzi:

$$2n=10 \quad\Rightarrow\quad n=5$$

Kontrola: ma wtedy $6$ ścian i $6$ wierzchołków.

Odpowiedź: D. pięciokąt.

Krok 1 — tworząca z twierdzenia Pitagorasa:

$$l=\sqrt{r^2+H^2}=\sqrt{36+64}=10$$

Krok 2 — przekrój osiowy to trójkąt o podstawie $2r=12$ i wysokości $8$:

$$P=\frac{12\cdot8}{2}=48$$

Odpowiedź: tworząca $10$, pole przekroju $48$.

Krok 1 — tworząca:

$$l=\sqrt{25+144}=13$$

Krok 2 — objętość:

$$V=\frac13\pi\cdot25\cdot12=100\pi$$

Krok 3 — pole:

$$P=\pi r^2+\pi r l=25\pi+65\pi=90\pi$$

Odpowiedź: $l=13$, $V=100\pi$, $P=90\pi$.

W trójkącie równobocznym środek okręgu opisanego dzieli wysokość w stosunku $2:1$, licząc od wierzchołka:

$$h=\frac{a\sqrt3}{2},\qquad R=\frac23 h=\frac{a\sqrt3}{3}$$

Promień okręgu wpisanego to pozostała trzecia część: $r=\frac{a\sqrt3}{6}$ — czyli dokładnie połowa $R$.

Odpowiedź: B. $\frac{a\sqrt3}{3}$.

Objętość zależy od trzeciej potęgi wymiarów liniowych:

$$k^3=2^3=8$$

Zestawienie: długości rosną $k$ razy, pola $k^2$ razy, objętości $k^3$ razy.

Odpowiedź: C. wzrośnie ośmiokrotnie.

Krok 1 — promień kuli:

$$R=\frac{a\sqrt3}{2}=\frac{2\sqrt3}{2}=\sqrt3$$

Krok 2 — objętość:

$$V=\frac43\pi R^3=\frac43\pi\left(\sqrt3\right)^3=\frac43\pi\cdot3\sqrt3=4\sqrt3\,\pi$$

Przybliżenie: $4\sqrt3\pi\approx21{,}8$.

Odpowiedź: $4\sqrt3\,\pi$.

Krok 1 — promień:

$$\frac43\pi r^3=\frac{256}{3}\pi \quad\Rightarrow\quad 4r^3=256 \quad\Rightarrow\quad r^3=64$$

$$r=4$$

Krok 2 — pole powierzchni:

$$P=4\pi\cdot16=64\pi$$

Odpowiedź: $r=4$, $P=64\pi$.

Krok 1 — przekątna podstawy (kwadrat o boku $4$):

$$d=4\sqrt2$$

Krok 2 — kształt przekroju. To prostokąt o wymiarach: przekątna podstawy na wysokość bryły.

Krok 3 — pole:

$$P=4\sqrt2\cdot6=24\sqrt2\approx33{,}9$$

Odpowiedź: $24\sqrt2$.

Krok 1 — pole podstawy (trójkąt równoboczny):

$$P_p=\frac{a^2\sqrt3}{4}=\frac{36\sqrt3}{4}=9\sqrt3$$

Krok 2 — objętość:

$$V=9\sqrt3\cdot8=72\sqrt3\approx124{,}7$$

Odpowiedź: $72\sqrt3$.

Krok 1 — wysokość walca. Kula wpisana dotyka obu podstaw, więc $H=2r$.

Krok 2 — objętości:

$$V_{\text{walca}}=\pi r^2\cdot2r=2\pi r^3$$

$$V_{\text{kuli}}=\frac43\pi r^3$$

Krok 3 — stosunek:

$$\frac{\frac43\pi r^3}{2\pi r^3}=\frac23$$

To odkrycie Archimedesa — kazał wyryć je na swoim nagrobku.

Odpowiedź: C. dwóm trzecim objętości walca.

Przekrój osiowy to prostokąt o wymiarach: średnica na wysokość:

$$P=2r\cdot H$$

Najczęstszy błąd: użycie promienia zamiast średnicy.

Odpowiedź: B. $2rH$.

Krok 1 — przekrój osiowy. W przekroju widać trójkąt (stożek) i wpisany w niego prostokąt (walec).

Krok 2 — podobieństwo. Na wysokości $4$ od podstawy zostaje do wierzchołka $8-4=4$, czyli połowa wysokości stożka. Promień przekroju stożka na tym poziomie maleje w tym samym stosunku:

$$\frac{x}{6}=\frac{4}{8} \quad\Rightarrow\quad x=3$$

Kontrola: na wysokości $0$ promień to $6$, na wysokości $8$ — zero; w połowie wysokości logicznie wychodzi $3$ ✔

Odpowiedź: promień walca wynosi $3$.

Z wzoru $V=\frac13 P_p H$:

$$H=\frac{3V}{P_p}=\frac{144}{24}=6$$

Sprawdzenie: $\frac13\cdot24\cdot6=48$ ✔

Uwaga na trójkę w liczniku — to najczęściej gubiony element.

Odpowiedź: $H=6$.

Promień kuli, odległość płaszczyzny od środka i promień przekroju tworzą trójkąt prostokątny:

$$\rho=\sqrt{R^2-d^2}=\sqrt{25-9}=\sqrt{16}=4$$

Odpowiedź: A. $4$.

Dwie podstawy plus siedem ścian bocznych:

$$2+7=9$$

Kontrola wzorem Eulera: wierzchołków $14$, krawędzi $21$, ścian $9$, a $14-21+9=2$ ✔

Odpowiedź: A. $9$.

Krok 1 — połowa przekątnej podstawy. Przekątna kwadratu o boku $6$ wynosi $6\sqrt2$, a jej połowa:

$$\frac{6\sqrt2}{2}=3\sqrt2$$

Krok 2 — wysokość. Wysokość, połowa przekątnej i krawędź boczna tworzą trójkąt prostokątny, w którym krawędź boczna jest przeciwprostokątną:

$$H=\sqrt{5^2-\left(3\sqrt2\right)^2}=\sqrt{25-18}=\sqrt7$$

Krok 3 — objętość:

$$V=\frac13\cdot36\cdot\sqrt7=12\sqrt7\approx31{,}7$$

Kontrola istnienia: $25>18$, więc bryła jest możliwa. Gdyby krawędź boczna była krótsza niż $3\sqrt2\approx4{,}24$, taki ostrosłup nie istniałby.

Odpowiedź: $H=\sqrt7$, $V=12\sqrt7$.

Krok 1 — połowa przekątnej podstawy. Przekątna kwadratu o boku $12$ to $12\sqrt2$, więc jej połowa:

$$\frac{12\sqrt2}{2}=6\sqrt2$$

Krok 2 — wysokość. Krawędź boczna jest przeciwprostokątną trójkąta o przyprostokątnych $H$ i $6\sqrt2$:

$$H=\sqrt{100-72}=\sqrt{28}=2\sqrt7$$

Krok 3 — objętość:

$$V=\frac13\cdot144\cdot2\sqrt7=96\sqrt7\approx254$$

Kontrola istnienia: $100>72$, więc bryła jest możliwa. Gdyby krawędź boczna była krótsza niż $6\sqrt2\approx8{,}49$, taki ostrosłup nie istniałby.

Odpowiedź: $H=2\sqrt7$, $V=96\sqrt7$.

Krok 1 — promień:

$$r=\frac{6}{2}=3$$

Krok 2 — objętość kuli:

$$V=\frac43\pi\cdot27=36\pi\approx113{,}1$$

Krok 3 — pole powierzchni:

$$P=4\pi\cdot9=36\pi\approx113{,}1$$

Krok 4 — objętość sześcianu:

$$V_{\text{sz}}=216$$

Krok 5 — stosunek:

$$\frac{36\pi}{216}=\frac{\pi}{6}\approx0{,}524$$

Wniosek: kula wypełnia około $52{,}4\%$ sześcianu — i ten wynik nie zależy od rozmiaru krawędzi.

Odpowiedź: $V=36\pi$, $P=36\pi$, kula zajmuje $\frac{\pi}{6}$ objętości sześcianu.

Krok 1 — promień:

$$r=1\ \text{m}$$

Krok 2 — objętość:

$$V=\pi\cdot1\cdot3=3\pi\approx9{,}42\ \text{m}^3$$

Krok 3 — zamiana na litry. $1$ m$^3=1000$ litrów:

$$9{,}42\cdot1000=9420\ \text{litrów}$$

Uwaga: podano średnicę, więc trzeba ją najpierw podzielić na pół. Użycie $r=2$ dałoby wynik czterokrotnie za duży.

Odpowiedź: około $9420$ litrów.

Krok 1 — przekrój osiowy. W przekroju widać koło o promieniu $13$ i wpisany prostokąt o wysokości $24$.

Krok 2 — trójkąt prostokątny. Promień kuli jest przeciwprostokątną, przyprostokątne to promień walca $r$ oraz połowa wysokości:

$$r^2+12^2=13^2$$

Krok 3 — obliczenie:

$$r^2=169-144=25 \quad\Rightarrow\quad r=5$$

Krok 4 — objętość walca:

$$V=\pi\cdot25\cdot24=600\pi\approx1885$$

Rozpoznanie: trójka pitagorejska $5$–$12$–$13$.

Odpowiedź: $r=5$, $V=600\pi$.

Krok 1 — krawędź sześcianu. Kula wpisana dotyka ścian, więc jej średnica równa się krawędzi:

$$a=2r=6$$

Krok 2 — objętość sześcianu:

$$V_1=216$$

Krok 3 — objętość kuli:

$$V_2=\frac43\pi\cdot27=36\pi\approx113{,}1$$

Krok 4 — stosunek:

$$\frac{36\pi}{216}=\frac{\pi}{6}\approx0{,}524=52{,}4\%$$

Warto zauważyć: wynik $\frac{\pi}{6}$ nie zależy od rozmiaru — kula wpisana w dowolny sześcian zawsze wypełnia około $52{,}4\%$ jego objętości.

Odpowiedź: $a=6$, $V_1=216$, $V_2=36\pi$; kula wypełnia około $52{,}4\%$.

Krok 1 — co jest bokiem przekroju. Każdy bok trójkąta łączy dwa wierzchołki sąsiadujące z wybranym, a więc jest przekątną ściany sześcianu:

$$\text{bok}=a\sqrt2$$

Krok 2 — dlaczego równoboczny. Wszystkie trzy boki są przekątnymi ścian tego samego sześcianu, więc mają identyczną długość. Trójkąt o trzech równych bokach jest równoboczny. ∎

Krok 3 — pole:

$$P=\frac{\left(a\sqrt2\right)^2\sqrt3}{4}=\frac{2a^2\sqrt3}{4}=\frac{a^2\sqrt3}{2}$$

Sprawdzenie dla $a=2$: bok wynosi $2\sqrt2\approx2{,}83$, a pole $\frac{4\sqrt3}{2}=2\sqrt3\approx3{,}46$. Dla porównania pole ściany to $4$ — przekrój jest mniejszy, co zgadza się z intuicją, bo odcina tylko narożnik.

Odpowiedź: trójkąt równoboczny o boku $a\sqrt2$ i polu $\frac{a^2\sqrt3}{2}$.

Krok 1 — walec:

$$V_1=\pi\cdot36\cdot10=360\pi$$

Krok 2 — stożek:

$$V_2=\frac13\pi\cdot36\cdot10=120\pi$$

Krok 3 — stosunek:

$$\frac{360\pi}{120\pi}=3$$

Wniosek. Trzy stożki wypełniają dokładnie jeden walec o tej samej podstawie i wysokości. Ten sam stosunek zachodzi między ostrosłupem a graniastosłupem — i właśnie stąd bierze się współczynnik $\frac13$ w obu wzorach.

Praktyczna konsekwencja: lejek stożkowy o tych samych wymiarach co szklanka walcowa trzeba napełnić trzykrotnie, żeby ją zapełnić.

Odpowiedź: walec $360\pi$, stożek $120\pi$; potrzeba $3$ stożków.

Kąt rozwarcia $= 120°$, więc kąt między tworzącą a osią $= 60°$.

Promień podstawy: $r = l\sin60° = 8\cdot\frac{\sqrt{3}}{2} = 4\sqrt{3}$

Wysokość: $h = l\cos60° = 8\cdot\frac{1}{2} = 4$

$$V = \frac{1}{3}\pi r^2 h = \frac{1}{3}\pi (4\sqrt{3})^2 \cdot 4 = \frac{1}{3}\pi \cdot 48 \cdot 4 = \mathbf{64\pi}$$

Krawędź: $a = \sqrt[3]{729} = 9$

Przekątna sześcianu: $d = a\sqrt{3} = 9\sqrt{3}$

Oznaczenia: krawędzie z wierzchołka $A$: $AE=4$, $AB=x$, $AD=y$.

Warunek: $4 + x + y = 15$, więc $y = 11 - x$.

Dziedzina: $x > 0$ i $y = 11-x > 0$, więc $x \in (0, 11)$.

Pole całkowite:

$$S(x) = 2(AE \cdot AB + AB \cdot AD + AE \cdot AD) = 2(4x + xy + 4y)$$

Podstawiamy $y = 11-x$:

$$S(x) = 2\bigl(4x + x(11-x) + 4(11-x)\bigr) = 2\bigl(4x + 11x - x^2 + 44 - 4x\bigr)$$

$$S(x) = 2(-x^2 + 11x + 44) = -2x^2 + 22x + 88$$

Maksimum: Parabola otwarta w dół, wierzchołek w $x = -\frac{22}{2\cdot(-2)} = \frac{22}{4} = 5{,}5$.

Ponieważ $5{,}5 \in (0,11)$, maksimum osiągane dla $\boxed{x = 5{,}5}$.

Sprawdzenie: $y = 11-5{,}5 = 5{,}5$. Prostopadłościan o krawędziach $4$, $5{,}5$, $5{,}5$.