Graniastosłupy — powtórzenie

Ostrosłup ma jedną podstawę i tyle ścian bocznych, ile boków ma podstawa:

$$1+4=5$$

Różnica względem graniastosłupa: graniastosłup ma dwie podstawy, ostrosłup — jedną i wierzchołek.

Odpowiedź: C. $5$.

Wierzchołki: trzy w podstawie plus jeden na górze — razem $4$.

Krawędzie: trzy w podstawie plus trzy boczne — razem $6$.

Odpowiedź: $4$ wierzchołki i $6$ krawędzi.

$$V=P_p\cdot H=20\cdot6=120\ \text{cm}^3$$

Odpowiedź: $120$ cm$^3$.

Ostrosłup ma trzy razy mniejszą objętość niż graniastosłup o tej samej podstawie i wysokości:

$$V=\frac13\cdot30\cdot6=60\ \text{cm}^3$$

Pułapka: $180$ cm$^3$ to objętość odpowiadającego graniastosłupa.

Odpowiedź: B. $60$ cm$^3$.

Podstawa: jeden kwadrat.

Ściany boczne: cztery jednakowe trójkąty równoramienne.

Odpowiedź: jeden kwadrat i cztery trójkąty równoramienne.

Osiem krawędzi w dolnej podstawie, osiem w górnej i osiem pionowych:

$$8+8+8=24$$

Odpowiedź: D. $24$.

Krok 1 — pole podstawy:

$$P_p=6\cdot6=36\ \text{cm}^2$$

Krok 2 — pole jednej ściany bocznej (trójkąt o podstawie $6$ i wysokości $5$):

$$\frac{6\cdot5}{2}=15\ \text{cm}^2$$

Krok 3 — cztery ściany i podstawa:

$$P=36+4\cdot15=36+60=96\ \text{cm}^2$$

Odpowiedź: $96$ cm$^2$.

Z wzoru $V=P_p\cdot H$ wyznaczamy pole podstawy:

$$P_p=150:10=15\ \text{cm}^2$$

Odpowiedź: $15$ cm$^2$.

Trzy jednakowe ostrosłupy wypełniają dokładnie graniastosłup o tej samej podstawie i wysokości, stąd współczynnik $\frac13$.

Odpowiedź: A. $V=\frac13 P_p\cdot H$.

Graniastosłup:

$$V_1=8\cdot12=96\ \text{cm}^3$$

Ostrosłup:

$$V_2=\frac13\cdot96=32\ \text{cm}^3$$

Odpowiedź: $96$ cm$^3$ i $32$ cm$^3$.

Ostrosłup o podstawie $n$-kąta ma $n$ krawędzi podstawy i $n$ bocznych, razem $2n$:

$$2n=12 \quad\Rightarrow\quad n=6$$

Odpowiedź: C. sześciokątem.

Krok 1 — dwie podstawy:

$$2\cdot4^2=32\ \text{cm}^2$$

Krok 2 — ściany boczne (obwód podstawy razy wysokość):

$$16\cdot9=144\ \text{cm}^2$$

Krok 3 — razem:

$$P=32+144=176\ \text{cm}^2$$

Odpowiedź: $176$ cm$^2$.

Z wzoru $V=\frac13 P_p H$ wyznaczamy $H$:

$$H=\frac{3V}{P_p}=\frac{3\cdot80}{24}=\frac{240}{24}=10\ \text{cm}$$

Sprawdzenie: $\frac13\cdot24\cdot10=80$ cm$^3$ ✔

Odpowiedź: $10$ cm.

Dwie równoległe podstawy ma graniastosłup, a nie ostrosłup — ostrosłup ma jedną podstawę i wierzchołek.

Pozostałe trzy zdania poprawnie opisują ostrosłup prawidłowy.

Odpowiedź: B. ma dwie równoległe podstawy.

Krok 1 — objętość:

$$V=250\cdot20=5000\ \text{cm}^3$$

Krok 2 — zamiana na litry ($1$ l $=1000$ cm$^3$):

$$5000:1000=5\ \text{litrów}$$

Odpowiedź: $5$ litrów.

Ostrosłup o podstawie $n$-kąta ma $n+1$ wierzchołków:

$$n+1=9 \quad\Rightarrow\quad n=8$$

Ścian bocznych jest tyle, ile boków podstawy, czyli $8$.

Odpowiedź: D. $8$.

Krok 1 — pole podstawy:

$$P_p=3\cdot3=9\ \text{m}^2$$

Krok 2 — objętość:

$$V=\frac13\cdot9\cdot2=6\ \text{m}^3$$

Odpowiedź: $6$ m$^3$.

Krok 1 — pole podstawy:

$$P_p=\frac{6\cdot8}{2}=24\ \text{cm}^2$$

Krok 2 — objętość:

$$V=24\cdot10=240\ \text{cm}^3$$

Krok 3 — trzeci bok podstawy (twierdzenie Pitagorasa):

$$c=\sqrt{36+64}=10\ \text{cm}$$

Krok 4 — obwód podstawy i pole boczne:

$$O_p=6+8+10=24\ \text{cm},\qquad P_b=24\cdot10=240\ \text{cm}^2$$

Odpowiedź: $V=240$ cm$^3$, $P_b=240$ cm$^2$.

Krok 1 — objętość całego sześcianu:

$$V=6^3=216\ \text{cm}^3$$

Krok 2 — połowa (cięcie dzieli bryłę na dwie przystające części):

$$216:2=108\ \text{cm}^3$$

Sprawdzenie inną drogą: powstały graniastosłup ma podstawę trójkąta prostokątnego o przyprostokątnych $6$ i $6$, czyli o polu $18$ cm$^2$, oraz wysokość $6$ cm: $18\cdot6=108$ cm$^3$ ✔

Odpowiedź: $108$ cm$^3$.

Krok 1 — pole podstawy:

$$P_p=10\cdot10=100\ \text{cm}^2$$

Krok 2 — pole boczne. Cztery trójkąty o podstawie $10$ i wysokości $13$:

$$P_b=4\cdot\frac{10\cdot13}{2}=4\cdot65=260\ \text{cm}^2$$

Krok 3 — pole całkowite:

$$P=100+260=360\ \text{cm}^2$$

Krok 4 — wysokość bryły. Wysokość ostrosłupa, połowa krawędzi podstawy ($5$ cm) i wysokość ściany bocznej ($13$ cm) tworzą trójkąt prostokątny:

$$H=\sqrt{13^2-5^2}=\sqrt{169-25}=\sqrt{144}=12\ \text{cm}$$

Odpowiedź: $P=360$ cm$^2$, wysokość $12$ cm.