Zapis dziesiątkowy liczb naturalnych

Porównujemy cyfra po cyfrze od lewej. Tysiące wszędzie równe ($3$), więc decydują setki:

$$9>8>0$$

Największa setka jest w $3908$.

Odpowiedź: C. $3908$.

Patrzymy na cyfrę dziesiątek — jest to $3$.

Cyfra mniejsza od $5$, więc zaokrąglamy w dół:

$$4738\approx4700$$

Odpowiedź: $4700$.

Rozkładamy na składniki: $24=20+4$.

$$20=\text{XX},\qquad 4=\text{IV}$$

$$24=\text{XXIV}$$

Zapamiętaj: mniejszy znak przed większym oznacza odejmowanie (IV to $5-1$).

Odpowiedź: XXIV.

Potęgowanie to wielokrotne mnożenie:

$$2^5=2\cdot2\cdot2\cdot2\cdot2=32$$

Pułapka: $2\cdot5=10$ to mnożenie, a nie potęgowanie.

Odpowiedź: B. $32$.

Patrzymy na cyfrę setek — jest to $6$.

Cyfra co najmniej $5$, więc zaokrąglamy w górę:

$$2650\approx3000$$

Odpowiedź: $3000$.

Rozbijamy zapis:

$$\text{XL}=50-10=40,\qquad \text{II}=2$$

$$40+2=42$$

Uwaga: X przed L oznacza odejmowanie. Gdyby było LX, byłoby $60$.

Odpowiedź: D. $42$.

Krok 1 — odległość między liczbami:

$$200-140=60$$

Krok 2 — połowa tej odległości:

$$60:2=30$$

Krok 3 — szukana liczba:

$$140+30=170$$

Sprawdzenie średnią: $\frac{140+200}{2}=170$ ✔

Odpowiedź: $170$.

XIX: $\text{X}=10$, $\text{IX}=9$, razem $19$.

LXXV: $\text{L}=50$, $\text{XX}=20$, $\text{V}=5$, razem $75$.

CDL: $\text{CD}=500-100=400$, $\text{L}=50$, razem $450$.

Odpowiedź: $19$, $75$, $450$.

Potęga dziesiątki ma tyle zer, ile wynosi wykładnik:

$$10^4=10\cdot10\cdot10\cdot10=10\,000$$

Odpowiedź: A. $10\,000$.

Wszystkie mają tę samą cyfrę tysięcy, więc porównujemy setki:

• $2005$ — setki $0$, dziesiątki $0$
• $2050$ — setki $0$, dziesiątki $5$
• $2055$ — setki $0$, dziesiątki $5$, jedności $5$
• $2500$ — setki $5$

$$2005<2050<2055<2500$$

Odpowiedź: $2005$, $2050$, $2055$, $2500$.

Patrzymy na cyfrę jedności — jest to $6$, więc zaokrąglamy w górę:

$$8496\approx8500$$

Uwaga: dziewiątka w rzędzie dziesiątek „przekręca się” na zero i podnosi setki.

Odpowiedź: C. $8500$.

Rozbijamy liczbę na rzędy:

$$47\,306=4\cdot10\,000+7\cdot1000+3\cdot100+0\cdot10+6$$

• cyfra setek: $3$
• cyfra tysięcy: $7$

Odpowiedź: setki $3$, tysiące $7$.

Krok 1 — pierwsza potęga:

$$3^3=3\cdot3\cdot3=27$$

Krok 2 — druga potęga:

$$2^4=2\cdot2\cdot2\cdot2=16$$

Krok 3 — suma:

$$27+16=43$$

Odpowiedź: $43$.

W zapisie rzymskim znak I można powtórzyć najwyżej trzy razy. Liczbę $4$ zapisujemy jako IV, a nie IIII.

Pozostałe są poprawne: XIV $=14$, XC $=90$, MCM $=1900$.

Odpowiedź: B. IIII.

Największa — ustawiamy cyfry malejąco:

$$7530$$

Najmniejsza — ustawiamy rosnąco, ale zero nie może stać na początku (byłaby to liczba trzycyfrowa). Na pierwszym miejscu dajemy więc najmniejszą niezerową cyfrę, czyli $3$, a zero na drugie miejsce:

$$3057$$

Odpowiedź: najmniejsza $3057$, największa $7530$.

Wypisujemy: $48$, $49$, $50$, $51$, $52$ — pięć liczb.

Sprawdzenie wzorem: $53-47-1=5$ ✔

Odpowiedź: D. $5$.

Do dziesiątek — patrzymy na jedności ($8$, w górę):

$$16\,750$$

Do setek — patrzymy na dziesiątki oryginału ($4$, w dół):

$$16\,700$$

Do tysięcy — patrzymy na setki oryginału ($7$, w górę):

$$17\,000$$

Ważna zasada: każde zaokrąglenie wykonujemy na liczbie pierwotnej, nie na wyniku poprzedniego. Zaokrąglając kolejno wynik, dostalibyśmy do setek $16\,800$ — wartość błędną.

Odpowiedź: $16\,750$, $16\,700$, $17\,000$.

Krok 1 — długość odcinka:

$$68-20=48$$

Krok 2 — jedna część:

$$48:4=12$$

Krok 3 — kolejne punkty:

$$20+12=32,\qquad 32+12=44,\qquad 44+12=56$$

Sprawdzenie: $56+12=68$ ✔ — czwarta część kończy się w $B$.

Odpowiedź: $32$, $44$, $56$.

Najmniejsza. Zaokrąglamy w górę do $3400$, więc liczba musi zaczynać się co najmniej od połowy przedziału:

$$3350$$

Największa. Zaokrąglamy w dół do $3400$; jeszcze $3449$ daje $3400$, ale $3450$ zaokrągliłoby się już do $3500$:

$$3449$$

Sprawdzenie: $3350\approx3400$ ✔ oraz $3449\approx3400$ ✔, natomiast $3349\approx3300$ ✘

Odpowiedź: od $3350$ do $3449$.

Krok 1 — potęgi (mają pierwszeństwo):

$$5^3=125,\qquad 4^2=16$$

Krok 2 — mnożenie:

$$16\cdot2=32$$

Krok 3 — odejmowanie:

$$125-32=93$$

Kolejność działań: najpierw nawiasy, potem potęgi, dalej mnożenie i dzielenie, na końcu dodawanie i odejmowanie.

Odpowiedź: $93$.