Mnożenie i dzielenie liczb całkowitych

Na osi liczbowej mniejsza jest ta liczba, która leży bardziej na lewo.

$$-7 \ < \ -3 \ < \ 0 \ < \ 2$$

Pułapka: przy liczbach ujemnych działa to odwrotnie niż przy dodatnich — im większa cyfra po minusie, tym liczba mniejsza. Siedem jest większe od trzech, ale $-7$ jest mniejsze od $-3$.

Odpowiedź: D. $-7$.

Wyobraź sobie oś liczbową: startujemy w punkcie $-8$ i idziemy $15$ kroków w prawo (bo dodajemy).

Po $8$ krokach jesteśmy w zerze, zostaje jeszcze $15-8=7$ kroków:

$$-8+15=7$$

Sposób rachunkowy: liczby mają różne znaki, więc odejmujemy mniejszą wartość od większej ($15-8=7$) i bierzemy znak liczby o większej wartości — tu $+15$, czyli wynik dodatni.

Odpowiedź: $7$.

Startujemy w $-6$ i idziemy $9$ kroków w lewo (bo odejmujemy):

$$-6-9=-15$$

Jak to zapamiętać: gdy obie liczby są ujemne, „długi ujemny” tylko się wydłuża — dodajemy wartości ($6+9=15$) i zostawiamy minus.

Przykład z życia: masz $6$ zł długu i pożyczasz jeszcze $9$ zł — łącznie jesteś $15$ zł na minusie.

Odpowiedź: $-15$.

Reguła znaków przy mnożeniu:

$$(-)\cdot(-)=(+),\qquad (-)\cdot(+)=(-),\qquad (+)\cdot(+)=(+)$$

Oba czynniki są ujemne, więc wynik jest dodatni. Mnożymy same liczby: $4\cdot5=20$.

$$(-4)\cdot(-5)=20$$

Pułapka: odpowiedzi C i D to wynik dodawania $4+5$, a nie mnożenia — łatwo pomylić działanie, gdy skupiamy się na znakach.

Odpowiedź: B. $20$.

Przy dzieleniu obowiązuje ta sama reguła znaków co przy mnożeniu. Dwa minusy dają plus:

$$(-36):(-4)=9$$

Sprawdzenie mnożeniem: $(-4)\cdot9=-36$. Zgadza się.

Odpowiedź: $9$.

Wartość bezwzględna to odległość liczby od zera na osi liczbowej. Odległość nigdy nie jest ujemna.

Liczba $-12$ leży $12$ jednostek od zera, więc:

$$|-12|=12$$

Tak samo $|12|=12$ — obie liczby są jednakowo oddalone od zera, tylko po przeciwnych stronach.

Odpowiedź: A. $12$.

Krok 1 — dzielimy liczby na grupy. Ujemne: $-5$, $-12$, $-1$. Zero: $0$. Dodatnie: $3$.

Krok 2 — porządkujemy ujemne. Im dalej od zera, tym mniejsza liczba:

$$-12 \ < \ -5 \ < \ -1$$

Krok 3 — składamy całość. Każda liczba ujemna jest mniejsza od zera, a zero od każdej dodatniej:

$$-12 \ < \ -5 \ < \ -1 \ < \ 0 \ < \ 3$$

Odpowiedź: $-12,\ -5,\ -1,\ 0,\ 3$.

Wzrost temperatury to dodawanie:

$$-7+12=5$$

Jak to policzyć na osi: z $-7$ idziemy $12$ kroków w prawo. Po $7$ krokach jesteśmy w zerze, zostaje $12-7=5$ kroków ponad zero.

Odpowiedź: po południu było $5$ stopni Celsjusza.

Mnożymy po kolei, od lewej strony:

$$(-2)\cdot(-3)=6 \qquad \text{(dwa minusy dają plus)}$$

$$6\cdot(-1)=-6 \qquad \text{(plus razy minus daje minus)}$$

Skrót do zapamiętania: liczymy minusy. Jest ich trzy, czyli nieparzysta liczba, więc wynik jest ujemny. Wartość to $2\cdot3\cdot1=6$.

Odpowiedź: C. $-6$.

Zjazd w dół zapisujemy jako odejmowanie, wjazd w górę jako dodawanie:

$$0-3+5$$

Krok 1: $0-3=-3$ — winda jest na trzecim poziomie parkingu podziemnego.

Krok 2: $-3+5=2$ — wjeżdża $5$ poziomów, czyli mija parter i zatrzymuje się dwa poziomy nad nim.

Odpowiedź: winda zatrzymała się na poziomie $2$ (drugie piętro).

Liczba przeciwna to ta sama liczba ze zmienionym znakiem. Leży po drugiej stronie zera, w tej samej odległości.

$$\text{przeciwna do } -15 \ \text{ to } \ 15$$

Test: suma liczby i liczby do niej przeciwnej zawsze daje zero: $-15+15=0$. Zgadza się.

Nie mylić z odwrotnością — odwrotnością $-15$ jest $-\tfrac{1}{15}$, a to zupełnie co innego.

Odpowiedź: B. $15$.

Działania dodawania i odejmowania wykonujemy po kolei, od lewej:

Krok 1:

$$-20+8=-12$$

(idziemy $8$ kroków w prawo z punktu $-20$)

Krok 2:

$$-12-5=-17$$

(idziemy jeszcze $5$ kroków w lewo)

Odpowiedź: $-17$.

Wpłata to dodawanie do aktualnego stanu:

$$-120+200=80$$

Jak to policzyć: najpierw $120$ zł spłaca cały debet i konto wraca do zera. Z wpłaconych $200$ zł zostaje $200-120=80$ zł.

Odpowiedź: na koncie jest $80$ zł.

Wypisujemy wszystkie liczby całkowite leżące ściśle między $-4$ a $3$:

$$-3,\ -2,\ -1,\ 0,\ 1,\ 2$$

Liczymy je: jest ich sześć.

Uwaga na zero — to też liczba całkowita i łatwo o niej zapomnieć. Bez zera wyszłoby błędne $5$.

Odpowiedź: C. $6$.

Kolejność działań: najpierw mnożenie, potem dodawanie.

Krok 1 — mnożenie. Minus razy plus daje minus:

$$(-5)\cdot6=-30$$

Krok 2 — dodawanie:

$$-30+40=10$$

Częsty błąd: liczenie od lewej bez uwzględnienia kolejności działań, czyli $(-5)\cdot(6+40)=-230$. Mnożenie ma pierwszeństwo.

Odpowiedź: $10$.

Różnicę temperatur liczymy odejmując od większej wartości mniejszą:

$$-3-(-11)$$

Odejmowanie liczby ujemnej to dodawanie liczby przeciwnej:

$$-3-(-11)=-3+11=8$$

Sprawdzenie na osi: od $-11$ do $0$ jest $11$ kresek, od $0$ do $-3$ cofamy się o $3$, więc $11-3=8$. Zgadza się.

Odpowiedź: we Wrocławiu było cieplej o $8$ stopni.

Sprawdzamy każdą możliwość:

$$\text{A: } (-3)\cdot5=-15 \quad \text{(ujemny)}$$

$$\text{B: } (-3)\cdot(-5)=15 \quad \text{(dodatni)}$$

$$\text{C: } 3\cdot(-5)=-15 \quad \text{(ujemny)}$$

$$\text{D: } 0\cdot(-5)=0 \quad \text{(zero — ani dodatnie, ani ujemne)}$$

Iloczyn jest dodatni tylko wtedy, gdy oba czynniki mają ten sam znak i żaden nie jest zerem.

Odpowiedź: B.

Wynurzanie to ruch w górę, czyli dodawanie:

$$-18+7=-11$$

Kontrola sensu: nurek nadal jest pod wodą (wynik ujemny), bo wynurzył się tylko o $7$ z $18$ metrów. Zostało mu jeszcze $11$ metrów do powierzchni.

Odpowiedź: nurek jest na poziomie $-11$ m, czyli $11$ metrów pod powierzchnią.

Kolejność działań: najpierw dzielenie i mnożenie, dopiero na końcu dodawanie.

Krok 1 — dzielenie. Minus dzielony przez plus daje minus:

$$(-48):6=-8$$

Krok 2 — mnożenie. Dwa minusy dają plus:

$$(-2)\cdot(-3)=6$$

Krok 3 — dodawanie wyników:

$$-8+6=-2$$

Odpowiedź: $-2$.

Krok 1 — sumujemy wszystkie temperatury. Wygodnie jest zsumować osobno ujemne i osobno dodatnie.

$$\text{ujemne: } -2-5-1=-8$$

$$\text{dodatnie: } 0+3=3$$

$$\text{razem: } -8+3=-5$$

Krok 2 — dzielimy przez liczbę dni:

$$(-5):5=-1$$

Kontrola sensu: większość dni była na minusie, więc średnia ujemna jest wynikiem oczekiwanym. Mieści się też pomiędzy najniższą ($-5$) a najwyższą ($3$) temperaturą, tak jak każda średnia.

Odpowiedź: średnia temperatura wynosiła $-1$ stopień Celsjusza.