Oś liczbowa

Kolejność działań: mnożenie wykonujemy przed dodawaniem.

$$3\cdot4=12$$

$$2+12=14$$

Pułapka: liczenie od lewej ($2+3=5$, potem $5\cdot4=20$) daje błędną odpowiedź A. Mnożenie ma pierwszeństwo.

Odpowiedź: C. $14$.

Mnożenie wykonujemy przed dodawaniem:

$$2+12=14$$

Pułapka: licząc po kolei od lewej ($2+3=5$, potem $5\cdot4$) wychodzi $20$ — to najczęstszy błąd.

Odpowiedź: B. $14$.

Porównujemy cyfra po cyfrze od lewej. Tysiące wszędzie równe ($3$), więc decydują setki:

$$9>8>0$$

Największa setka jest w $3908$.

Odpowiedź: C. $3908$.

Krok 1 — nawias:

$$3+4=7$$

Krok 2 — mnożenie:

$$2\cdot7=14$$

Krok 3 — odejmowanie:

$$20-14=6$$

Kolejność: najpierw nawiasy, potem mnożenie i dzielenie, na końcu dodawanie i odejmowanie.

Odpowiedź: $6$.

Mnożymy kolejne cyfry, pamiętając o przeniesieniach:

$$4\cdot6=24 \quad\text{(piszemy }4\text{, przenosimy }2)$$

$$3\cdot6=18,\ +2=20 \quad\text{(piszemy }0\text{, przenosimy }2)$$

$$2\cdot6=12,\ +2=14$$

$$234\cdot6=1404$$

Kontrola z grubsza: $234$ to około $230$, a $230\cdot6=1380$ — wynik jest tego rzędu ✔

Odpowiedź: $1404$.

Patrzymy na cyfrę dziesiątek — jest to $3$.

Cyfra mniejsza od $5$, więc zaokrąglamy w dół:

$$4738\approx4700$$

Odpowiedź: $4700$.

Porównujemy cyframi od lewej strony. Obie liczby mają tyle samo cyfr i zgadzają się na pozycji tysięcy ($3$) oraz setek ($0$).

Różnica jest na pozycji dziesiątek:

$$4<9 \quad\Rightarrow\quad 3049<3094$$

Odpowiedź: B. $3094$.

Dzielimy od najstarszej cyfry:

$$7:4=1 \ \text{r.}\ 3 \quad\to\quad 34:4=8 \ \text{r.}\ 2 \quad\to\quad 28:4=7$$

$$748:4=187$$

Sprawdzenie: $187\cdot4=748$ ✔

Odpowiedź: $187$.

Rozkładamy na składniki: $24=20+4$.

$$20=\text{XX},\qquad 4=\text{IV}$$

$$24=\text{XXIV}$$

Zapamiętaj: mniejszy znak przed większym oznacza odejmowanie (IV to $5-1$).

Odpowiedź: XXIV.

Krok 1 — znajdujemy cyfrę setek. To $5$ (w liczbie $4\underline{5}67$).

Krok 2 — patrzymy na cyfrę następną (dziesiątek): to $6$.

Krok 3 — reguła: cyfra $5$ lub większa oznacza zaokrąglenie w górę, a cyfry po zaokrąglanej pozycji zastępujemy zerami:

$$4567\approx4600$$

Odpowiedź: $4600$.

$$47=5\cdot9+2$$

Iloraz to $9$, reszta to $2$.

Zapamiętaj: reszta zawsze jest mniejsza od dzielnika.

Odpowiedź: C. $2$.

Potęgowanie to wielokrotne mnożenie:

$$2^5=2\cdot2\cdot2\cdot2\cdot2=32$$

Pułapka: $2\cdot5=10$ to mnożenie, a nie potęgowanie.

Odpowiedź: B. $32$.

Kolejność działań: dzielenie przed odejmowaniem.

Krok 1 — dzielenie:

$$36:4=9$$

Krok 2 — odejmowanie:

$$100-9=91$$

Pułapka: liczenie od lewej ($100-36=64$, potem $64:4=16$) daje błędny wynik. Dzielenie ma pierwszeństwo.

Odpowiedź: $91$.

Najpierw nawias:

$$(15-7)\cdot3=8\cdot3=24$$

Odpowiedź: $24$.

Patrzymy na cyfrę setek — jest to $6$.

Cyfra co najmniej $5$, więc zaokrąglamy w górę:

$$2650\approx3000$$

Odpowiedź: $3000$.

Liczba w połowie odcinka to średnia obu końców:

$$\frac{20+30}{2}=\frac{50}{2}=25$$

Sprawdzenie: od $20$ do $25$ jest $5$ kroków i od $25$ do $30$ też $5$ — punkt leży dokładnie pośrodku.

Odpowiedź: A. $25$.

Środek odcinka na osi to średnia obu liczb:

$$\frac{20+30}{2}=25$$

Sprawdzenie: od $20$ do $25$ jest $5$ i od $25$ do $30$ też $5$ ✔

Odpowiedź: A. $25$.

Rozbijamy zapis:

$$\text{XL}=50-10=40,\qquad \text{II}=2$$

$$40+2=42$$

Uwaga: X przed L oznacza odejmowanie. Gdyby było LX, byłoby $60$.

Odpowiedź: D. $42$.

Kolejność: oba mnożenia wykonujemy przed dodawaniem.

Krok 1:

$$5\cdot6=30,\qquad 8\cdot3=24$$

Krok 2 — dodajemy wyniki:

$$30+24=54$$

Odpowiedź: $54$.

Krok 1 — nawias:

$$12-7=5$$

Krok 2 — mnożenie:

$$4\cdot5=20$$

Krok 3 — odejmowanie:

$$100-20=80$$

Odpowiedź: $80$.

Krok 1 — odległość między liczbami:

$$200-140=60$$

Krok 2 — połowa tej odległości:

$$60:2=30$$

Krok 3 — szukana liczba:

$$140+30=170$$

Sprawdzenie średnią: $\frac{140+200}{2}=170$ ✔

Odpowiedź: $170$.

Krok 1 — cyfra tysięcy: to $8$ (w liczbie $2\underline{8}\,764$).

Krok 2 — cyfra następna (setek): to $7$.

Krok 3 — zaokrąglamy w górę (bo $7\ge5$), pozostałe cyfry zerujemy:

$$28\,764\approx29\,000$$

Uwaga: zaokrąglenie w górę cyfry $8$ daje $9$ — gdyby było $9$, nastąpiłoby przeniesienie do kolejnej pozycji.

Odpowiedź: $29\,000$.

Krok 1 — mnożymy przez cyfrę jedności ($5$):

$$128\cdot5=640$$

Krok 2 — mnożymy przez cyfrę dziesiątek ($2$), przesuwając o jedno miejsce:

$$128\cdot20=2560$$

Krok 3 — dodajemy:

$$640+2560=3200$$

Sprytniej: $25=100:4$, więc $128\cdot25=12800:4=3200$ ✔

Odpowiedź: $3200$.

XIX: $\text{X}=10$, $\text{IX}=9$, razem $19$.

LXXV: $\text{L}=50$, $\text{XX}=20$, $\text{V}=5$, razem $75$.

CDL: $\text{CD}=500-100=400$, $\text{L}=50$, razem $450$.

Odpowiedź: $19$, $75$, $450$.

Krok 1 — nawias:

$$12+8=20$$

Krok 2 — dzielenie:

$$20:5=4$$

Rola nawiasu: bez nawiasu $12+8:5$ dałoby najpierw $8:5$, czyli zupełnie inny wynik. Nawias wymusza dodawanie jako pierwsze.

Odpowiedź: D. $4$.

Dzielenie i mnożenie mają pierwszeństwo przed dodawaniem:

$$6+8=14$$

Odpowiedź: D. $14$.

Potęga dziesiątki ma tyle zer, ile wynosi wykładnik:

$$10^4=10\cdot10\cdot10\cdot10=10\,000$$

Odpowiedź: A. $10\,000$.

Krok 1 — nawias:

$$2\cdot3=6$$

Krok 2 — dzielenie:

$$48:6=8$$

Krok 3 — dodawanie:

$$8+7=15$$

Odpowiedź: $15$.

Dzielimy z resztą:

$$150:8=18 \ \text{r.}\ 6$$

Sprawdzenie: $18\cdot8=144$, a $150-144=6$ ✔

Odpowiedź: $18$ pełnych pudełek, zostanie $6$ cukierków.

Wszystkie mają tę samą cyfrę tysięcy, więc porównujemy setki:

• $2005$ — setki $0$, dziesiątki $0$
• $2050$ — setki $0$, dziesiątki $5$
• $2055$ — setki $0$, dziesiątki $5$, jedności $5$
• $2500$ — setki $5$

$$2005<2050<2055<2500$$

Odpowiedź: $2005$, $2050$, $2055$, $2500$.

Wypisujemy liczby spełniające warunek. Znak $\le$ oznacza, że $12$ należy, a znak $<$ oznacza, że $17$ nie należy:

$$12,\ 13,\ 14,\ 15,\ 16$$

Jest ich $5$.

Pułapka: dołączenie $17$ (błędna odpowiedź C) albo pominięcie $12$ (błędna odpowiedź A). Trzeba uważnie czytać znaki nierówności.

Odpowiedź: B. $5$.

Porównujemy cyfrę po cyfrze od lewej. Tysiące wszędzie równe ($4$). W setkach: $9$ w $4901$ kontra $0$ w pozostałych.

$$4901>4099>4090$$

Odpowiedź: B. $4901$.

Patrzymy na cyfrę jedności — jest to $6$, więc zaokrąglamy w górę:

$$8496\approx8500$$

Uwaga: dziewiątka w rzędzie dziesiątek „przekręca się” na zero i podnosi setki.

Odpowiedź: C. $8500$.

Krok 1 — działanie w nawiasie. Wewnątrz też obowiązuje kolejność — najpierw mnożenie:

$$3\cdot4=12,\qquad 15-12=3$$

Krok 2 — mnożenie przed nawiasem:

$$2\cdot3=6$$

Krok 3 — dodawanie:

$$6+10=16$$

Odpowiedź: $16$.

Krok 1 — w nawiasie najpierw mnożenie:

$$30-20=10$$

Krok 2 — mnożenie i dzielenie:

$$2\cdot10=20,\qquad 18:3=6$$

Krok 3 — dodawanie:

$$20+6=26$$

Odpowiedź: $26$.

Rozbijamy liczbę na rzędy:

$$47\,306=4\cdot10\,000+7\cdot1000+3\cdot100+0\cdot10+6$$

• cyfra setek: $3$
• cyfra tysięcy: $7$

Odpowiedź: setki $3$, tysiące $7$.

Rozkładamy nazwę na pozycje:

• siedem tysięcy $=7000$
• pięćset $=500$
• trzy $=3$

$$7000+500+3=7503$$

Uwaga na zero: brak dziesiątek zapisujemy cyfrą $0$ — inaczej powstałoby błędne $753$.

Odpowiedź: $7503$.

Mnożymy pisemnie:

$$27\cdot4=108,\qquad 27\cdot20=540$$

$$108+540=648$$

Kontrola z grubsza: $27\cdot24$ to mniej więcej $27\cdot25=675$ — wynik jest bliski ✔

Odpowiedź: $648$ uczniów.

Krok 1 — pierwsza potęga:

$$3^3=3\cdot3\cdot3=27$$

Krok 2 — druga potęga:

$$2^4=2\cdot2\cdot2\cdot2=16$$

Krok 3 — suma:

$$27+16=43$$

Odpowiedź: $43$.

Gdy występuje samo dzielenie, liczymy od lewej do prawej:

$$36:6=6$$

$$6:2=3$$

Pułapka: policzenie najpierw $6:2=3$, a potem $36:3=12$ daje błędną odpowiedź A. Dzielenie nie jest łączne — kolejność ma znaczenie.

Odpowiedź: C. $3$.

Reszta zawsze jest mniejsza od dzielnika, więc przy dzieleniu przez $7$ może wynosić $0$, $1$, $2$, $3$, $4$, $5$ lub $6$.

Gdyby wyszła reszta $7$, znaczyłoby to, że można wykonać jeszcze jedno pełne dzielenie.

Odpowiedź: C. $7$.

W zapisie rzymskim znak I można powtórzyć najwyżej trzy razy. Liczbę $4$ zapisujemy jako IV, a nie IIII.

Pozostałe są poprawne: XIV $=14$, XC $=90$, MCM $=1900$.

Odpowiedź: B. IIII.

Krok 1 — liczba dostarczonych zeszytów:

$$8\cdot50=400$$

Krok 2 — łączna liczba:

$$1250+400=1650$$

Zapis jednym wyrażeniem: $1250+8\cdot50=1650$ — mnożenie wykonujemy przed dodawaniem, więc nawias nie jest potrzebny.

Odpowiedź: w sklepie jest $1650$ zeszytów.

Krok 1 — koszt biletów:

$$15\cdot23=345\ \text{zł}$$

Krok 2 — reszta:

$$400-345=55\ \text{zł}$$

Odpowiedź: zapłacą $345$ zł, reszty otrzymają $55$ zł.

Największa — ustawiamy cyfry malejąco:

$$7530$$

Najmniejsza — ustawiamy rosnąco, ale zero nie może stać na początku (byłaby to liczba trzycyfrowa). Na pierwszym miejscu dajemy więc najmniejszą niezerową cyfrę, czyli $3$, a zero na drugie miejsce:

$$3057$$

Odpowiedź: najmniejsza $3057$, największa $7530$.

Krok 1 — cyfra dziesiątek: to $4$ (w liczbie $6\underline{4}9$).

Krok 2 — cyfra następna (jedności): to $9$.

Krok 3 — zaokrąglamy w górę (bo $9\ge5$):

$$649\approx650$$

Uwaga: patrzymy tylko na cyfrę jedności. Chociaż liczba jest „prawie $600$”, do dziesiątek zaokrąglamy do $650$, a nie do $600$.

Odpowiedź: A. $650$.

Nawias daje zero, a mnożenie przez zero też daje zero:

$$5\cdot0+7=0+7=7$$

Odpowiedź: A. $7$.

Wypisujemy: $48$, $49$, $50$, $51$, $52$ — pięć liczb.

Sprawdzenie wzorem: $53-47-1=5$ ✔

Odpowiedź: D. $5$.

Kolejność działań: potęgowanie ma pierwszeństwo przed mnożeniem.

Krok 1 — potęga:

$$4^2=4\cdot4=16$$

Krok 2 — mnożenie:

$$3\cdot16=48$$

Pułapka: policzenie $3\cdot4=12$, a potem $12^2=144$ jest błędne — najpierw potęga, potem mnożenie.

Odpowiedź: $48$.

Krok 1 — przebyty dystans:

$$3\cdot400=1200\ \text{m}$$

Krok 2 — pozostało:

$$1250-1200=50\ \text{m}$$

Odpowiedź: zostało $50$ m.

Do dziesiątek — patrzymy na jedności ($8$, w górę):

$$16\,750$$

Do setek — patrzymy na dziesiątki oryginału ($4$, w dół):

$$16\,700$$

Do tysięcy — patrzymy na setki oryginału ($7$, w górę):

$$17\,000$$

Ważna zasada: każde zaokrąglenie wykonujemy na liczbie pierwotnej, nie na wyniku poprzedniego. Zaokrąglając kolejno wynik, dostalibyśmy do setek $16\,800$ — wartość błędną.

Odpowiedź: $16\,750$, $16\,700$, $17\,000$.

Krok 1 — łączna liczba osób:

$$28+2=30$$

Krok 2 — koszt biletów:

$$30\cdot23=690\ \text{zł}$$

Zapis jednym wyrażeniem: $(28+2)\cdot23$ — tutaj nawias jest konieczny, bo najpierw musimy dodać osoby.

Odpowiedź: trzeba zapłacić $690$ zł.

Korzystamy ze wzoru na dzielenie z resztą:

$$\text{liczba}=\text{dzielnik}\cdot\text{iloraz}+\text{reszta}$$

$$9\cdot12+5=108+5=113$$

Sprawdzenie: $113:9=12$ reszty $5$ ✔ Reszta $5$ jest mniejsza od dzielnika $9$, więc wynik ma sens.

Odpowiedź: $113$.

Krok 1 — długość odcinka:

$$68-20=48$$

Krok 2 — jedna część:

$$48:4=12$$

Krok 3 — kolejne punkty:

$$20+12=32,\qquad 32+12=44,\qquad 44+12=56$$

Sprawdzenie: $56+12=68$ ✔ — czwarta część kończy się w $B$.

Odpowiedź: $32$, $44$, $56$.

Kolejność: najpierw dzielenie i mnożenie, potem dodawanie i odejmowanie od lewej.

Krok 1 — dzielenie i mnożenie:

$$24:8=3,\qquad 3\cdot2=6$$

Krok 2 — wstawiamy wyniki:

$$56+3-6$$

Krok 3 — dodawanie i odejmowanie od lewej:

$$56+3=59,\qquad 59-6=53$$

Odpowiedź: $53$.

Krok 1 — jabłka:

$$6\cdot18=108\ \text{kg}$$

Krok 2 — gruszki:

$$4\cdot25=100\ \text{kg}$$

Krok 3 — razem:

$$108+100=208\ \text{kg}$$

Krok 4 — różnica:

$$108-100=8\ \text{kg}$$

Odpowiedź: łącznie $208$ kg, jabłek jest o $8$ kg więcej.

Najmniejsza. Zaokrąglamy w górę do $3400$, więc liczba musi zaczynać się co najmniej od połowy przedziału:

$$3350$$

Największa. Zaokrąglamy w dół do $3400$; jeszcze $3449$ daje $3400$, ale $3450$ zaokrągliłoby się już do $3500$:

$$3449$$

Sprawdzenie: $3350\approx3400$ ✔ oraz $3449\approx3400$ ✔, natomiast $3349\approx3300$ ✘

Odpowiedź: od $3350$ do $3449$.

Krok 1 — liczba przywiezionych worków:

$$5\cdot144=720$$

Krok 2 — liczba rozwiezionych worków:

$$3\cdot160=480$$

Krok 3 — różnica:

$$720-480=240$$

Zapis jednym wyrażeniem: $5\cdot144-3\cdot160=720-480=240$ — oba mnożenia wykonujemy przed odejmowaniem.

Kontrola sensu: przywieziono więcej, niż rozwieziono, więc wynik dodatni jest sensowny.

Odpowiedź: w magazynie zostało $240$ worków.

Krok 1 — dzielenie z resztą:

$$180:52=3 \ \text{r.}\ 24$$

Krok 2 — liczba autokarów. Trzy autokary zabiorą $156$ osób, a $24$ uczniów zostałoby na miejscu — potrzebny jest więc czwarty autokar:

$$3+1=4\ \text{autokary}$$

Krok 3 — wolne miejsca:

$$4\cdot52=208,\qquad 208-180=28$$

Uwaga: w takich zadaniach reszty nie odrzucamy — nawet jedna osoba ponad komplet wymaga dodatkowego autokaru.

Odpowiedź: $4$ autokary, wolnych zostanie $28$ miejsc.

Krok 1 — potęgi (mają pierwszeństwo):

$$5^3=125,\qquad 4^2=16$$

Krok 2 — mnożenie:

$$16\cdot2=32$$

Krok 3 — odejmowanie:

$$125-32=93$$

Kolejność działań: najpierw nawiasy, potem potęgi, dalej mnożenie i dzielenie, na końcu dodawanie i odejmowanie.

Odpowiedź: $93$.

Rozwiązanie

1. Jedna część $=\dfrac{83-56}{3}=9$. $A=56-9=47$, $C=47+6\cdot9=101$ — nieparzysta → 1) F.
2. $B=47+3\cdot9=74$; $74<74$ nieprawda → 2) F.

Odpowiedź: FF