Klasa 5 SP — teoria, wzory, quizy i zadania do tego tematu.
To liczby naturalne, ich liczby przeciwne oraz zero:
$$\ldots,-3,\ -2,\ -1,\ 0,\ 1,\ 2,\ 3,\ \ldots$$
Na osi liczbowej im dalej w prawo, tym liczba większa. Każda liczba ujemna jest mniejsza od zera.
Dodawanie liczby dodatniej przesuwa nas w prawo, ujemnej — w lewo:
$$-8+12=4,\qquad -5-3=-8$$
Odejmowanie liczby ujemnej to dodawanie liczby przeciwnej:
$$7-(-3)=7+3=10$$
$$(+)\cdot(+)=+,\qquad (-)\cdot(-)=+,\qquad (+)\cdot(-)=-$$
Przykłady: $-4\cdot(-6)=24$; $-20:4=-5$.
Potęga o wykładniku parzystym daje wynik dodatni, o nieparzystym — ujemny:
$$(-2)^2=4,\qquad (-2)^3=-8$$
$|a|$ to odległość liczby od zera, zawsze nieujemna: $|-7|=7$, $|7|=7$.
Rozróżniaj $-2^2$ i $(-2)^2$. W pierwszym przypadku potęgujemy tylko dwójkę, a minus zostaje: $-2^2=-4$. W drugim potęgujemy całą liczbę ujemną: $(-2)^2=4$.
To liczby naturalne, ich liczby przeciwne i zero:
$$\dots,\ -3,\ -2,\ -1,\ 0,\ 1,\ 2,\ 3,\ \dots$$
Na osi liczbowej rozmieszczone są w równych odstępach — ujemne po lewej od zera, dodatnie po prawej.
Zasada jest prosta: większa jest ta liczba, która leży bardziej na prawo.
$$-7<-3<0<2<5$$
Wśród liczb ujemnych działa to odwrotnie niż intuicja podpowiada: $-7$ jest mniejsze od $-3$, choć „siódemka jest większa od trójki”. Decyduje położenie na osi, a nie sama cyfra.
To odległość liczby od zera — zawsze nieujemna:
$$|{-6}|=6,\qquad |6|=6,\qquad |0|=0$$
Dwie liczby przeciwne mają tę samą wartość bezwzględną, bo leżą w tej samej odległości od zera, tylko po przeciwnych stronach.
Liczbą przeciwną do $a$ jest $-a$. Ich suma zawsze wynosi zero:
$$a+(-a)=0$$
Nie myl z liczbą odwrotną — odwrotnością $5$ jest $\frac15$, a liczbą przeciwną $-5$.
Dodawanie liczby dodatniej to ruch w prawo, odejmowanie — w lewo:
$$-3+5=2,\qquad -3-5=-8$$
Gdy znaki są różne, odejmujemy wartości bezwzględne, a wynik dostaje znak liczby o większym module: $-7+12=5$, bo $12>7$ i dwunastka jest dodatnia.
$$a-(-b)=a+b$$
Dwa minusy dają plus. Przykład: $3-(-5)=8$ — to właśnie odległość między $3$ a $-5$ na osi liczbowej.
$$(+)\cdot(+)=+,\qquad (-)\cdot(-)=+,\qquad (+)\cdot(-)=-$$
Jednakowe znaki dają plus, różne — minus. Ta sama reguła obowiązuje przy dzieleniu.
Liczb całkowitych ściśle między $a$ i $b$ jest $b-a-1$. Między $-4$ a $3$ mamy $3-(-4)-1=6$ liczb: $-3,-2,-1,0,1,2$. Zera nie wolno pominąć.
Temperatury poniżej zera, poziomy w budynku, stan konta, wysokość względem poziomu morza. Dług $150$ zł zapisujemy jako $-150$ — i wtedy „większy dług” to mniejsza liczba.
Trzy typowe błędy: uznanie $-5>-2$, pomylenie liczby przeciwnej z odwrotną oraz pominięcie zera przy zliczaniu liczb w przedziale.
Co robi: odjęcie liczby ujemnej zamienia się na dodawanie.
Przykład: $5-(-3)=5+3=8$; $-2+(-4)=-6$.
Która z podanych liczb jest najmniejsza?
Oblicz: $-8+15$.
Oblicz: $-6-9$.
Oblicz: $(-4)\cdot(-5)$.
Oblicz: $(-36):(-4)$.
Ile wynosi $|-12|$?
Uporządkuj rosnąco liczby: $-5$, $3$, $-12$, $0$, $-1$.
Rano termometr wskazywał $-7$ stopni Celsjusza. W ciągu dnia temperatura wzrosła o $12$ stopni. Jaka temperatura była po południu?
Oblicz: $(-2)\cdot(-3)\cdot(-1)$.
Winda ruszyła z parteru (poziom $0$), zjechała $3$ poziomy w dół, a następnie wjechała $5$ poziomów w górę. Na którym poziomie się zatrzymała?
Liczbą przeciwną do $-15$ jest:
Oblicz: $-20+8-5$.
Na koncie bankowym pani Ewy widniał stan $-120$ zł (debet). Pani Ewa wpłaciła $200$ zł. Jaki jest teraz stan konta?
Ile liczb całkowitych leży na osi liczbowej pomiędzy $-4$ a $3$ (bez tych dwóch liczb)?
Oblicz: $(-5)\cdot6+40$.
We Wrocławiu było $-3$ stopnie Celsjusza, a w Zakopanem $-11$ stopni Celsjusza. O ile stopni cieplej było we Wrocławiu?
Które z podanych działań daje wynik dodatni?
Nurek znajdował się na głębokości $18$ metrów pod powierzchnią wody, czyli na poziomie $-18$ m. Wynurzył się o $7$ metrów. Na jakim poziomie jest teraz?
Oblicz: $(-48):6+(-2)\cdot(-3)$.
W kolejnych pięciu dniach stycznia zanotowano temperatury: $-2$, $-5$, $0$, $3$, $-1$ stopnie Celsjusza. Oblicz średnią temperaturę z tych pięciu dni.
Załóż bezpłatne konto i otwórz dostęp do pełnego śledzenia postępów, planów nauki i quizów. Arkusze i zadania podstawowe są dostępne bez rejestracji. Już ponad 5 000 uczniów uczy się z Matematix.