Działania na liczbach całkowitych

Ułamki mają ten sam mianownik, więc dodajemy tylko liczniki, a mianownik przepisujemy:

$$\frac{2}{5}+\frac{1}{5}=\frac{2+1}{5}=\frac{3}{5}$$

Częsty błąd: dodawanie także mianowników (odpowiedź A). Mianownik mówi, na ile części podzielono całość — nie zmienia się przy dodawaniu.

Odpowiedź: C. $\frac35$.

Na osi liczbowej od $-5$ przesuwamy się o $3$ w prawo:

$$-5+3=-2$$

Odpowiedź: B. $-2$.

Krok 1 — wspólny mianownik. Najmniejszy wspólny mianownik dla $2$ i $3$ to $6$:

$$\frac{1}{2}=\frac{3}{6},\qquad \frac{1}{3}=\frac{2}{6}$$

Krok 2 — dodajemy liczniki:

$$\frac{3}{6}+\frac{2}{6}=\frac{5}{6}$$

Odpowiedź: $\frac56$.

Odejmowanie oddala nas w lewo od zera:

$$-7-4=-11$$

Odpowiedź: $-11$.

Ułamki mnożymy licznik przez licznik i mianownik przez mianownik.

Skracamy przed mnożeniem (to wygodniejsze): $3$ z $9$ daje $1$ i $3$, a $2$ z $4$ daje $1$ i $2$:

$$\frac{3}{4}\cdot\frac{2}{9}=\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{3}=\frac{1}{6}$$

Sprawdzenie bez skracania: $\frac{6}{36}=\frac16$ ✔

Odpowiedź: $\frac16$.

Odejmowanie liczby ujemnej = dodawanie:

$$-3-(-8)=-3+8=5$$

Odpowiedź: $5$.

Dzielenie przez ułamek to mnożenie przez jego odwrotność:

$$\frac{3}{5}:\frac{2}{5}=\frac{3}{5}\cdot\frac{5}{2}$$

Skracamy piątki:

$$\frac{3}{5}\cdot\frac{5}{2}=\frac{3}{2}=1\frac12$$

Pułapka: odpowiedź A to wynik mnożenia zamiast dzielenia. Trzeba odwrócić drugi ułamek.

Odpowiedź: B. $\frac32$.

Iloczyn dwóch liczb ujemnych jest dodatni:

$$(-4)\cdot(-3)=12$$

Odpowiedź: A. $12$.

Działania dodawania i odejmowania wykonujemy po kolei, od lewej:

$$-8+15=7$$

$$7-6=1$$

Wskazówka: można też osobno zsumować dodatnie ($15$) i osobno ujemne ($-8-6=-14$), a potem $15-14=1$ — ten sam wynik.

Odpowiedź: $1$.

Iloczyn liczb o różnych znakach jest ujemny:

$$(-6)\cdot2=-12$$

Odpowiedź: C. $-12$.

Potęga $2^5$ oznacza pięciokrotne mnożenie dwójki przez siebie:

$$2^5=2\cdot2\cdot2\cdot2\cdot2=32$$

Pułapka: odpowiedź B ($10$) to wynik mnożenia $2\cdot5$, a nie potęgowania. Wykładnik mówi, ile razy mnożymy podstawę, a nie przez ile.

Odpowiedź: A. $32$.

Iloraz dwóch liczb ujemnych jest dodatni:

$$(-20):(-4)=5$$

Odpowiedź: $5$.

Krok 1 — wspólny mianownik. Najmniejszy wspólny mianownik dla $6$ i $4$ to $12$:

$$\frac{5}{6}=\frac{10}{12},\qquad \frac{1}{4}=\frac{3}{12}$$

Krok 2 — odejmujemy liczniki:

$$\frac{10}{12}-\frac{3}{12}=\frac{7}{12}$$

Wynik jest nieskracalny.

Odpowiedź: $\frac{7}{12}$.

Iloraz liczb o różnych znakach jest ujemny:

$$(-15):3=-5$$

Odpowiedź: D. $-5$.

Kolejność: najpierw mnożenia, potem dodawanie.

Krok 1 — mnożenia z regułą znaków:

$$(-3)\cdot4=-12,\qquad (-2)\cdot(-5)=10$$

Krok 2 — dodajemy wyniki:

$$-12+10=-2$$

Odpowiedź: $-2$.

Krok po kroku od lewej:

$$-2+7=5$$

$$5-10=-5$$

Odpowiedź: $-5$.

Krok 1 — osobno całości, osobno ułamki. Całości: $2+1=3$.

Krok 2 — dodajemy części ułamkowe na wspólnym mianowniku $6$:

$$\frac13+\frac16=\frac26+\frac16=\frac36=\frac12$$

Krok 3 — łączymy:

$$3+\frac12=3\frac12$$

Odpowiedź: D. $3\frac12$.

Parzysty wykładnik daje wynik dodatni:

$$(-1)^{100}=1$$

Odpowiedź: B. $1$.

„Ułamek z liczby” oznacza mnożenie ułamka przez tę liczbę:

$$\frac{2}{3}\cdot150$$

Sposób sprytny: najpierw dzielimy przez mianownik, potem mnożymy przez licznik:

$$150:3=50,\qquad 50\cdot2=100$$

Odpowiedź: $100$.

Krok 1 — najpierw mnożenie:

$$-3\cdot4=-12$$

Krok 2 — dodawanie:

$$-12+5=-7$$

Odpowiedź: $-7$.

Przy mnożeniu potęg o tej samej podstawie wykładniki dodajemy:

$$3^2\cdot3^3=3^{2+3}=3^5$$

Sprawdzenie: $9\cdot27=243$ oraz $3^5=243$ ✔

Uwaga: podstawa pozostaje bez zmian — nie mnożymy jej (odpowiedź C jest błędna). Wykładniki mnożymy dopiero przy potęgowaniu potęgi.

Odpowiedź: B. $3^5$.

Nieparzysty wykładnik zachowuje znak minus:

$$(-2)^3=-8$$

Odpowiedź: A. $-8$.

Kolejność: najpierw mnożenie, potem dodawanie.

Krok 1 — mnożenie:

$$\frac12\cdot\frac23=\frac{2}{6}=\frac13$$

Krok 2 — dodawanie na wspólnym mianowniku $12$:

$$\frac34+\frac13=\frac{9}{12}+\frac{4}{12}=\frac{13}{12}=1\frac{1}{12}$$

Odpowiedź: $\frac{13}{12}=1\frac{1}{12}$.

Krok 1 — mnożenie:

$$3\cdot(-2)=-6$$

Krok 2 — odejmowanie:

$$10-(-6)=10+6=16$$

Odpowiedź: $16$.

Krok 1 — dzielenie. Dwa minusy dają plus:

$$(-24):(-6)=4$$

Krok 2 — dodawanie:

$$4+(-3)=1$$

Odpowiedź: $1$.

$$-6+9=3^\circ\text{C}$$

Odpowiedź: $3^\circ$C.

Potęga dziesiątki to jedynka z tyloma zerami, ile wynosi wykładnik:

$$10^3=10\cdot10\cdot10=1000$$

Wykładnik $3$ oznacza trzy zera.

Zestawienie: $10^2=100$, $10^3=1000$, $10^4=10\,000$ — te potęgi warto znać na pamięć, bo pojawiają się przy notacji wykładniczej.

Odpowiedź: C. $1000$.

Liczba przeciwna ma przeciwny znak: $-(-7)=7$.

Odpowiedź: C. $7$.

Podnosząc ułamek do kwadratu, podnosimy osobno licznik i mianownik:

$$\left(\frac{2}{3}\right)^2=\frac{2^2}{3^2}=\frac{4}{9}$$

Częsty błąd: podniesienie do kwadratu tylko licznika. Wykładnik dotyczy całego ułamka, więc obejmuje i licznik, i mianownik.

Odpowiedź: $\frac{4}{9}$.

Krok 1 — dwa pierwsze czynniki:

$$(-2)\cdot(-3)=6$$

Krok 2 — mnożymy przez $(-1)$:

$$6\cdot(-1)=-6$$

Zasada. Nieparzysta liczba czynników ujemnych (tu trzy) daje wynik ujemny.

Odpowiedź: $-6$.

Krok 1 — zamieniamy liczby mieszane na ułamki niewłaściwe:

$$2\frac12=\frac52,\qquad 1\frac13=\frac43$$

Krok 2 — mnożymy, skracając po drodze ($2$ z $4$):

$$\frac52\cdot\frac43=\frac{5}{1}\cdot\frac{2}{3}=\frac{10}{3}=3\frac13$$

Kluczowa uwaga: liczb mieszanych nie mnożymy „całości razy całości i ułamek razy ułamek”. Trzeba je najpierw zamienić na ułamki niewłaściwe.

Odpowiedź: $\frac{10}{3}=3\frac13$.

$$0-(-9)=0+9=9$$

Odpowiedź: D. $9$.

Przy dzieleniu potęg o tej samej podstawie odejmujemy wykładniki:

$$\frac{2^6}{2^4}=2^{6-4}=2^2=4$$

Sprawdzenie: $\frac{64}{16}=4$ ✔

Pułapka: dodanie wykładników (odpowiedź D) dotyczy mnożenia, a nie dzielenia.

Odpowiedź: A. $4$.

Krok 1 — najpierw nawias:

$$3-7=-4$$

Krok 2 — mnożenie:

$$-4\cdot(-4)=16$$

Odpowiedź: $16$.

Krok 1 — ile zjedzono razem. Wspólny mianownik dla $3$ i $4$ to $12$:

$$\frac13+\frac14=\frac{4}{12}+\frac{3}{12}=\frac{7}{12}$$

Krok 2 — ile zostało. Całość to $1=\frac{12}{12}$:

$$1-\frac{7}{12}=\frac{12}{12}-\frac{7}{12}=\frac{5}{12}$$

Kontrola sensu: zjedzono ponad połowę, więc reszta mniejsza od połowy — $\frac{5}{12}$ się zgadza.

Odpowiedź: zostało $\frac{5}{12}$ tabliczki.

Zapisujemy ruch jako sumę:

$$0-3+5-2$$

Liczymy od lewej:

$$0-3=-3,\quad -3+5=2,\quad 2-2=0$$

Odpowiedź: na parterze (poziom $0$).

Czytamy od prawej — najpierw bierzemy $\frac23$ z $45$, potem $\frac45$ z wyniku.

Krok 1:

$$\frac23\cdot45=\frac{90}{3}=30$$

Krok 2:

$$\frac45\cdot30=\frac{120}{5}=24$$

Sposób jednym działaniem: $\frac45\cdot\frac23\cdot45=\frac{8}{15}\cdot45=24$ — ten sam wynik.

Odpowiedź: $24$.

Krok 1 — licznik:

$$(-12)+(-8)=-20$$

Krok 2 — dzielenie (dwie liczby ujemne → dodatni wynik):

$$\frac{-20}{-4}=5$$

Odpowiedź: $5$.

Krok 1 — wspólny mianownik. Najmniejszy wspólny mianownik dla $2$, $3$ i $4$ to $12$:

$$\frac12=\frac{6}{12},\qquad \frac13=\frac{4}{12},\qquad \frac14=\frac{3}{12}$$

Krok 2 — wykonujemy działania na licznikach po kolei:

$$\frac{6}{12}+\frac{4}{12}-\frac{3}{12}=\frac{6+4-3}{12}=\frac{7}{12}$$

Sprawdzenie oszacowaniem: $\frac12+\frac13\approx0{,}83$, minus $\frac14=0{,}25$ daje około $0{,}58$, a $\frac{7}{12}\approx0{,}58$ ✔

Odpowiedź: $\frac{7}{12}$.

Krok 1 — oznaczenia. Niech liczba to $a$; liczbą przeciwną jest $-a$.

Krok 2 — dodajemy:

$$a+(-a)=a-a=0 \qquad ∎$$

Interpretacja. Na osi liczbowej $a$ i $-a$ leżą w jednakowej odległości od zera po przeciwnych stronach — „znoszą się”.

Sprawdzenie: $7+(-7)=0$, $-5+5=0$ ✔