Definicje: Geometria analityczna

Budowa układu

Dwie prostopadłe osie: pozioma $OX$ (odcięte) i pionowa $OY$ (rzędne). Przecinają się w początku układu $O=(0,\,0)$.

Punkt zapisujemy jako parę $(x,\,y)$ — zawsze najpierw odcięta.

Ćwiartki

• I — $(+,+)$, prawa górna
• II — $(-,+)$, lewa górna
• III — $(-,-)$, lewa dolna
• IV — $(+,-)$, prawa dolna

Punkty osi $OX$ mają postać $(x,\,0)$, a osi $OY$ — $(0,\,y)$.

Odcinki równoległe do osi

Gdy odcinek jest poziomy (równe rzędne), jego długość to różnica odciętych. Gdy pionowy — różnica rzędnych. Nie trzeba wtedy twierdzenia Pitagorasa.

Odcinek ukośny

$$|AB|=\sqrt{(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2}$$

To po prostu twierdzenie Pitagorasa: rysujemy trójkąt prostokątny o przyprostokątnych równoległych do osi.

Przykład: dla $A=(1,\,1)$ i $B=(5,\,4)$ mamy $\Delta x=4$, $\Delta y=3$, więc $|AB|=5$.

Środek odcinka

$$S=\left(\frac{x_A+x_B}{2},\ \frac{y_A+y_B}{2}\right)$$

Zadanie odwrotne: znając środek i jeden koniec, drugi znajdujemy z $x_B=2x_S-x_A$.

Odległość od osi

Od osi $OX$ — wartość bezwzględna rzędnej. Od osi $OY$ — wartość bezwzględna odciętej. Odległość nigdy nie jest ujemna.

Symetrie

• względem osi $OX$: $(x,\,y)\to(x,\,-y)$
• względem osi $OY$: $(x,\,y)\to(-x,\,y)$
• względem początku układu: $(x,\,y)\to(-x,\,-y)$

Przesunięcie o wektor

$$(x,\,y)\ \xrightarrow{\ [p,\,q]\ }\ (x+p,\ y+q)$$

Przesunięcie nie zmienia kształtu ani rozmiaru figury — jej pole i obwód pozostają takie same. Zmieniają się tylko współrzędne.

Pola figur w układzie

Dla figur o bokach równoległych do osi wystarczą zwykłe wzory: różnice współrzędnych dają długości boków i wysokości. Trójkąt o wierzchołkach na obu osiach i w początku układu jest prostokątny, więc jego pole to połowa iloczynu przyprostokątnych.

Na co uważać

Kolejność współrzędnych — $(3,\,5)$ i $(5,\,3)$ to różne punkty. Przy odległości od osi nie zapominaj o wartości bezwzględnej.

Punkty i odcinki

$$|AB|=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}$$

$$S=\left(\frac{x_1+x_2}{2},\ \frac{y_1+y_2}{2}\right)$$

Wzór na odległość to twierdzenie Pitagorasa zapisane we współrzędnych.

Prosta

Postać kierunkowa $y=ax+b$ oraz ogólna $Ax+By+C=0$. Odległość punktu od prostej:

$$d=\frac{|Ax_0+By_0+C|}{\sqrt{A^2+B^2}}$$

Wzór wymaga postaci ogólnej — prostą $y=2x+1$ trzeba najpierw przekształcić do $2x-y+1=0$.

Okrąg i koło

$$(x-a)^2+(y-b)^2=r^2$$

Środek $S=(a,b)$, promień $r$. Znaki w nawiasach są przeciwne do współrzędnych środka. Koło to nierówność $\le r^2$. Z postaci rozwiniętej środek i promień wyznaczamy przez uzupełnianie do kwadratu.

Wektory

$$\vec{AB}=[x_2-x_1,\ y_2-y_1],\qquad |\vec u|=\sqrt{u_1^2+u_2^2}$$

$$\vec u\circ\vec v=u_1v_1+u_2v_2=|\vec u||\vec v|\cos\alpha$$

Iloczyn skalarny daje liczbę. Kluczowy wniosek: $\vec u\perp\vec v \iff \vec u\circ\vec v=0$.

Na co uważać

Wektor $\vec{AB}$ to „koniec minus początek”. Jeśli po uzupełnieniu do kwadratu prawa strona równania okręgu wyjdzie ujemna, równanie nie opisuje żadnego okręgu.

Współrzędne wektora

Wektor o początku $A=(x_A,\,y_A)$ i końcu $B=(x_B,\,y_B)$ ma współrzędne:

$$\vec{AB}=[x_B-x_A,\ y_B-y_A]$$

Od końca odejmujemy początek. Odwrotna kolejność daje wektor przeciwny $\vec{BA}$.

Długość wektora

$$|\vec{u}|=\sqrt{u_x^2+u_y^2}$$

Przykład: dla $\vec{u}=[4,\,2]$ mamy $|\vec{u}|=\sqrt{16+4}=\sqrt{20}=2\sqrt5$.

Działania na wektorach

$$\vec{u}+\vec{v}=[u_x+v_x,\ u_y+v_y],\qquad k\vec{u}=[k\,u_x,\ k\,u_y]$$

Mnożenie przez liczbę $k>0$ zmienia tylko długość, a $k\lt 0$ dodatkowo odwraca zwrot.

Iloczyn skalarny

$$\vec{u}\circ\vec{v}=u_x v_x+u_y v_y=|\vec{u}|\,|\vec{v}|\cos\alpha$$

Wynikiem jest liczba, nie wektor.

Kąt między wektorami

Znak iloczynu skalarnego od razu mówi, jaki jest kąt:

• $\vec{u}\circ\vec{v}=0 \Rightarrow$ wektory prostopadłe
• $\vec{u}\circ\vec{v}>0 \Rightarrow$ kąt ostry
• $\vec{u}\circ\vec{v}\lt 0 \Rightarrow$ kąt rozwarty

Sam kąt wyznaczamy ze wzoru:

$$\cos\alpha=\frac{\vec{u}\circ\vec{v}}{|\vec{u}|\,|\vec{v}|}$$

Wektory równoległe

Wektory $\vec{u}$ i $\vec{v}$ są równoległe, gdy jeden jest wielokrotnością drugiego, co sprawdzamy warunkiem:

$$u_x v_y-u_y v_x=0$$

Zastosowania

• przesunięcie punktu o wektor: $(x,\,y)+[p,\,q]=(x+p,\,y+q)$
• środek odcinka jako punkt „w połowie wektora”
• sprawdzanie, czy trzy punkty leżą na jednej prostej (wektory równoległe)
• sprawdzanie prostopadłości boków wielokąta (iloczyn skalarny równy zero)

Na co uważać

Nie myl iloczynu skalarnego z mnożeniem współrzędnych „po kolei” — wynikiem jest liczba, którą otrzymujemy przez dodanie iloczynów. Pamiętaj też, że wektor to nie punkt: ten sam wektor może zaczynać się w dowolnym miejscu układu, bo liczy się tylko kierunek, zwrot i długość.

Symetria względem osi OX

$$(x,\,y) \ \longrightarrow \ (x,\,-y)$$

Zmienia się znak drugiej współrzędnej. Punkt $(4,\,-2)$ przechodzi na $(4,\,2)$.

Symetria względem osi OY

$$(x,\,y) \ \longrightarrow \ (-x,\,y)$$

Zmienia się znak pierwszej współrzędnej. Punkt $(4,\,-2)$ przechodzi na $(-4,\,-2)$.

Symetria względem początku układu

$$(x,\,y) \ \longrightarrow \ (-x,\,-y)$$

To symetria środkowa o środku $(0,\,0)$ — zmieniają się obie współrzędne.

Symetria środkowa o dowolnym środku

Dla środka $S=(a,\,b)$ obrazem punktu $P=(x,\,y)$ jest:

$$P^{\prime}=(2a-x,\ 2b-y)$$

Wynika to z faktu, że $S$ jest środkiem odcinka $PP^{\prime}$.

Symetria względem prostej $y=x$

$$(x,\,y) \ \longrightarrow \ (y,\,x)$$

Współrzędne zamieniają się miejscami — tak właśnie powstaje wykres funkcji odwrotnej.

Własności symetrii

• zachowuje odległości — figura i jej obraz są przystające
• zachowuje miary kątów i pola
• symetria osiowa zmienia orientację figury, środkowa ją zachowuje
• złożenie dwóch symetrii osiowych o osiach prostopadłych daje symetrię środkową

Figury symetryczne

• kwadrat ma $4$ osie symetrii i środek symetrii
• prostokąt ma $2$ osie symetrii i środek symetrii
• romb ma $2$ osie symetrii (przekątne) i środek symetrii
• trójkąt równoboczny ma $3$ osie symetrii, ale nie ma środka symetrii
• koło ma nieskończenie wiele osi symetrii i środek symetrii

Na co uważać

Łatwo pomylić, która współrzędna zmienia znak. Zapamiętaj tak: symetria względem osi OX „odbija w pionie”, więc rusza $y$; symetria względem osi OY „odbija w poziomie”, więc rusza $x$. Posiadanie osi symetrii nie oznacza posiadania środka symetrii — trójkąt równoboczny jest dobrym kontrprzykładem.

Wektor i jego współrzędne

$$\vec{AB}=[x_B-x_A,\ y_B-y_A]$$

Od końca odejmujemy początek. Wektor $\vec{BA}$ ma te same liczby ze zmienionym znakiem — to wektor przeciwny.

Działania

$$\vec{u}\pm\vec{v}=[u_1\pm v_1,\ u_2\pm v_2],\qquad k\vec{u}=[ku_1,\ ku_2]$$

Mnożenie przez liczbę dodatnią zmienia długość, zachowując kierunek i zwrot. Liczba ujemna dodatkowo odwraca zwrot.

Długość wektora

$$|\vec{u}|=\sqrt{u_1^2+u_2^2}$$

To twierdzenie Pitagorasa w przebraniu.

Wektor jednostkowy

$$\vec{e}=\frac{1}{|\vec{u}|}\vec{u}$$

Dla $\vec{u}=[3,-4]$ długość wynosi $5$, więc $\vec{e}=\left[\frac35,-\frac45\right]$. Sprawdzenie: $\sqrt{\frac{9}{25}+\frac{16}{25}}=1$ ✔

Iloczyn skalarny

$$\vec{u}\circ\vec{v}=u_1v_1+u_2v_2=|\vec{u}||\vec{v}|\cos\alpha$$

Wynikiem jest liczba, nie wektor — to pierwsza rzecz do zapamiętania.

Co mówi znak iloczynu

• dodatni — kąt ostry
• zero — kąt prosty
• ujemny — kąt rozwarty

Długości są zawsze dodatnie, więc o znaku decyduje wyłącznie $\cos\alpha$.

Prostopadłość i równoległość

$$\vec{u}\perp\vec{v} \iff \vec{u}\circ\vec{v}=0$$

$$\vec{u}\parallel\vec{v} \iff \vec{v}=k\vec{u} \ \text{dla pewnego } k$$

Przykład: $[3,\,4]$ i $[-8,\,6]$ są prostopadłe, bo $-24+24=0$. Natomiast $[2,\,6]$ i $[1,\,3]$ są równoległe, bo pierwszy to podwojony drugi.

Kąt między wektorami

$$\cos\alpha=\frac{\vec{u}\circ\vec{v}}{|\vec{u}||\vec{v}|}$$

Dla $[1,\,\sqrt3]$ i $[\sqrt3,\,1]$: iloczyn to $2\sqrt3$, obie długości po $2$, więc $\cos\alpha=\frac{\sqrt3}{2}$ i $\alpha=30^\circ$.

Kwadrat długości

$$\vec{u}\circ\vec{u}=|\vec{u}|^2$$

Bo kąt wektora z samym sobą wynosi $0^\circ$, a $\cos0^\circ=1$.

Zastosowania

Przesunięcie punktu: do współrzędnych punktu dodajemy współrzędne wektora.

Czwarty wierzchołek równoległoboku $ABCD$: korzystamy z $\vec{AD}=\vec{BC}$.

Kąt prosty w trójkącie: wystarczy pokazać, że iloczyn skalarny dwóch boków wychodzących z wierzchołka wynosi zero.

Na co uważać

Nie myl iloczynu skalarnego z mnożeniem współrzędnych „po parach” dającym wektor — wynik jest liczbą. Przy wyznaczaniu wektora z dwóch punktów zawsze odejmuj początek od końca, nie odwrotnie.

Wektor przesunięcia

$y=\frac{a}{x-p}+q$ powstaje z $y=\frac{a}{x}$ przez przesunięcie o wektor $[p,q]$.

Asymptoty

Pionowa $x=p$, pozioma $y=q$.

Środek symetrii

Punkt przecięcia asymptot $(p,q)$ jest środkiem symetrii hiperboli.

Przykład

$y=\frac{2}{x-1}+3$ ma asymptoty $x=1$, $y=3$.

Kryterium

Porównujemy odległość $d$ środka okręgu od prostej z promieniem $r$.

Trzy przypadki

$d\lt r$ — prosta sieczna (dwa punkty), $d=r$ — styczna (jeden), $d>r$ — rozłączne.

Styczna

Jest prostopadła do promienia w punkcie styczności.

Metoda

Można też wstawić prostą do równania okręgu i badać liczbę rozwiązań.

Prosta

Postać kierunkowa $y=ax+b$ i ogólna $Ax+By+C=0$.

Odległości

Punkt od prostej: $\frac{|Ax_0+By_0+C|}{\sqrt{A^2+B^2}}$; między punktami z twierdzenia Pitagorasa.

Okrąg

$(x-a)^2+(y-b)^2=r^2$.

Pole trójkąta

Wzór wyznacznikowy ze współrzędnych wierzchołków.

Wzór

Środek odcinka o końcach $A(x_1,y_1)$, $B(x_2,y_2)$ to $S\left(\frac{x_1+x_2}{2},\frac{y_1+y_2}{2}\right)$.

Interpretacja

Współrzędne środka to średnie arytmetyczne współrzędnych końców.

Przykład

Dla $A(1,2)$, $B(5,4)$ środek to $(3,3)$.

Zastosowanie

Znajdowanie środka ciężkości, punktu symetrii.

Wzór

$y=f(x-p)+q$ przesuwa wykres $y=f(x)$ o wektor $[p,q]$.

Poziomo

$p>0$ w prawo, $p\lt 0$ w lewo.

Pionowo

$q>0$ w górę, $q\lt 0$ w dół.

Przykład

$y=(x-2)^2+3$ to $y=x^2$ przesunięte o $[2,3]$.

Budowa

Dwie prostopadłe osie: pozioma $OX$ i pionowa $OY$, przecinające się w początku $(0,0)$.

Współrzędne punktu

Punkt zapisujemy jako $(x,y)$: odcięta i rzędna.

Ćwiartki

Osie dzielą płaszczyznę na cztery ćwiartki.

Odległość

$|AB|=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}$.

Odległość środków

Oznaczmy $d$ jako odległość środków, $R,r$ promienie.

Przypadki

$d>R+r$ rozłączne zewnętrznie; $d=R+r$ styczne zewnętrznie; $|R-r|\lt d\lt R+r$ przecinają się; $d=|R-r|$ styczne wewnętrznie; $d\lt |R-r|$ jeden w drugim.

Zastosowanie

Badanie liczby punktów wspólnych okręgów.