Równania, proporcjonalność prosta

Krok 1 — czas w godzinach:

$$40\ \text{min}=\frac{40}{60}=\frac23\ \text{h}$$

Krok 2 — droga:

$$s=90\cdot\frac23=60\ \text{km}$$

Odpowiedź: B. $60$ km.

Liczby mają różne znaki, więc odejmujemy wartości bezwzględne, a wynik dostaje znak liczby o większej wartości bezwzględnej:

$$7{,}2-3{,}5=3{,}7$$

Większa jest $7{,}2$, która jest dodatnia.

Odpowiedź: $3{,}7$.

Krok 1 — cena za kilogram:

$$15:6=2{,}50\ \text{zł}$$

Krok 2 — dziesięć kilogramów:

$$10\cdot2{,}50=25\ \text{zł}$$

Odpowiedź: $25$ zł.

Iloczyn dwóch liczb ujemnych jest dodatni:

$$(-4)\cdot(-6)=24$$

Reguła znaków: jednakowe znaki dają plus, różne — minus.

Odpowiedź: C. $24$.

Od temperatury końcowej odejmujemy początkową:

$$5-(-7)=5+7=12^\circ\text{C}$$

Kontrola na osi: od $-7$ do $0$ jest $7$ stopni, a od $0$ do $5$ jeszcze $5$ — razem $12$ ✔

Odpowiedź: o $12^\circ$C.

Krok 1 — obniżka w złotych:

$$180-126=54\ \text{zł}$$

Krok 2 — odnosimy do ceny początkowej:

$$\frac{54}{180}=0{,}3=30\%$$

Uwaga: $54$ to obniżka w złotych, a nie w procentach — to typowa pomyłka.

Odpowiedź: A. $30\%$.

Krok 1 — dodajemy godziny:

$$9{:}20+3\ \text{h}=12{:}20$$

Krok 2 — dodajemy minuty. $20+50=70$ min, czyli $1$ h $10$ min:

$$12{:}20+50\ \text{min}=13{:}10$$

Odpowiedź: o $13{:}10$.

Dzielimy kwotę przez zużycie:

$$186:310=0{,}60\ \text{zł}$$

Sprawdzenie: $310\cdot0{,}60=186$ zł ✔

Odpowiedź: $0{,}60$ zł za kWh.

Iloraz dwóch liczb ujemnych jest dodatni:

$$-12:(-3)=4$$

Odpowiedź: D. $4$.

Krok 1 — wysokość raty:

$$2400:16=150\ \text{zł}$$

Krok 2 — spłacono po sześciu ratach:

$$6\cdot150=900\ \text{zł}$$

Krok 3 — pozostało:

$$2400-900=1500\ \text{zł}$$

Odpowiedź: rata $150$ zł, do spłaty zostaje $1500$ zł.

Liczba wymierna to taka, którą można zapisać jako iloraz dwóch liczb całkowitych.

Ułamek $-\frac37$ spełnia tę definicję.

Liczby $\sqrt2$, $\sqrt5$ i $\pi$ są niewymierne — ich rozwinięcie dziesiętne jest nieskończone i nieokresowe.

Odpowiedź: B. $-\frac37$.

Krok 1 — powierzchnia ściany:

$$8\cdot2{,}5=20\ \text{m}^2$$

Krok 2 — liczba puszek:

$$20:12\approx1{,}67$$

Krok 3 — zaokrąglenie w górę. Jedna puszka nie wystarczy, a puszek nie kupuje się w kawałkach:

$$2\ \text{puszki}$$

Odpowiedź: trzeba kupić $2$ puszki.

Krok 1 — znak. Iloczyn liczby ujemnej i dodatniej jest ujemny.

Krok 2 — wartość, ze skracaniem:

$$\frac23\cdot\frac94=\frac{18}{12}=\frac32$$

Krok 3 — składamy:

$$-\frac32=-1\frac12$$

Odpowiedź: $-\frac32$.

Zależność jest wprost proporcjonalna:

$$\frac{300}{4}=75\ \text{g na porcję}$$

$$6\cdot75=450\ \text{g}$$

Odpowiedź: C. $450$ g.

Krok 1 — czas napełniania:

$$450:25=18\ \text{minut}$$

Krok 2 — po ośmiu minutach:

$$8\cdot25=200\ \text{litrów}$$

Odpowiedź: pełny po $18$ minutach; po $8$ minutach będzie $200$ litrów.

Odejmowanie liczby ujemnej to dodawanie liczby przeciwnej:

$$-5+8=3$$

Zapamiętaj: dwa minusy obok siebie dają plus.

Odpowiedź: A. $3$.

Krok 1 — koszt wody miesięcznie:

$$14\cdot9{,}50=133\ \text{zł}$$

Krok 2 — rachunek miesięczny z abonamentem:

$$133+12=145\ \text{zł}$$

Krok 3 — pół roku to sześć miesięcy:

$$6\cdot145=870\ \text{zł}$$

Uwaga: abonament doliczamy co miesiąc, a nie raz — dlatego mnożymy całą kwotę przez $6$, nie tylko koszt wody.

Odpowiedź: $870$ zł.

Opcja 1 — rabat:

$$1200\cdot0{,}85=1020\ \text{zł}$$

Opcja 2 — raty:

$$12\cdot105=1260\ \text{zł}$$

Porównanie:

$$1260-1020=240\ \text{zł}$$

Wniosek. Rabat jest tańszy o $240$ zł. Raty kosztują nawet więcej niż cena wyjściowa ($1260>1200$) — nadwyżka $60$ zł to koszt rozłożenia płatności w czasie.

Odpowiedź: tańszy jest rabat, o $240$ zł.

Krok 1 — czas pierwszego odcinka:

$$t_1=\frac{180}{60}=3\ \text{h}$$

Krok 2 — czas drugiego odcinka:

$$t_2=\frac{120}{80}=1{,}5\ \text{h}$$

Krok 3 — czas łączny:

$$t=3+1{,}5=4{,}5\ \text{h}$$

Krok 4 — średnia prędkość. To cała droga podzielona przez cały czas:

$$v=\frac{180+120}{4{,}5}=\frac{300}{4{,}5}\approx66{,}7\ \text{km/h}$$

Częsty błąd: uśrednienie prędkości ($\frac{60+80}{2}=70$ km/h). To zawyża wynik, bo z mniejszą prędkością jechano dłużej.

Odpowiedź: $4{,}5$ godziny, średnio około $66{,}7$ km/h.

Krok 1 — cena po obniżce:

$$84\cdot0{,}9=75{,}60\ \text{zł}$$

Krok 2 — porównanie z ceną zakupu:

$$75{,}60>60 \quad\Rightarrow\quad \text{sklep nadal zarabia}$$

Krok 3 — zysk:

$$75{,}60-60=15{,}60\ \text{zł}$$

Dla porównania: przed obniżką zysk wynosił $24$ zł, więc spadł o $8{,}40$ zł — czyli o $35\%$ dotychczasowego zysku, mimo że cenę obniżono tylko o $10\%$.

Wniosek: niewielka obniżka ceny potrafi mocno uszczuplić zysk, bo koszt zakupu pozostaje bez zmian.

Odpowiedź: tak, zysk wynosi $15{,}60$ zł.