Obliczamy kolejne czynniki, sprowadzając logarytmy do podstawy \(2\) lub \(3\).

Pierwszy czynnik:

\(\log_{\sqrt{2}}2=\frac{\log_2 2}{\log_2\sqrt{2}}=\frac{1}{\frac{1}{2}}=2\)

Drugi czynnik:

\(\log_2\sqrt{3}=\frac{1}{2}\log_2 3\)

Trzeci czynnik:

\(\log_{\sqrt{3}}4=\frac{\log_3 4}{\log_3\sqrt{3}}=\frac{2\log_3 2}{\frac{1}{2}}=4\log_3 2\)

Iloczyn:

\(L=2\cdot\frac{1}{2}\log_2 3\cdot 4\log_3 2=4\cdot\log_2 3\cdot\log_3 2\)

Ponieważ \(\log_2 3\cdot\log_3 2=1\) (logarytmy wzajemnie odwrotne):

\(L=4\)

Odpowiedź: D.

Krok 1. Dane pierwszego okręgu.

Środek \(S_1=(3,-7)\), promień \(R=\sqrt{625}=25\).

Krok 2. Odległość środków.

\(|S_1S|=\sqrt{(12-3)^2+(5+7)^2}=\sqrt{81+144}=\sqrt{225}=15\)

Krok 3. Warunki styczności.

Styczność zewnętrzna: \(R+r=15\Rightarrow r=-10\) — niemożliwe.

Styczność wewnętrzna: \(|R-r|=15\Rightarrow r=10\) lub \(r=40\).

Wśród podanych odpowiedzi występuje tylko \(r=10\).

Odpowiedź: C.

Korzystamy ze wzoru \(\sqrt{a^2}=|a|\).

Pierwszy składnik:

Ponieważ \(\sqrt{2}\approx 1{,}41\gt 1\), mamy \(1-\sqrt{2}\lt 0\), więc:

\(\sqrt{\left(1-\sqrt{2}\right)^2}=\left|1-\sqrt{2}\right|=\sqrt{2}-1\)

Drugi składnik:

Ponieważ \(\sqrt{2}\lt 2\), mamy \(2-\sqrt{2}\gt 0\), więc:

\(\sqrt{\left(2-\sqrt{2}\right)^2}=2-\sqrt{2}\)

Suma:

\(\left(\sqrt{2}-1\right)+\left(2-\sqrt{2}\right)=1\)

Odpowiedź: A.

Każdą z nierówności \(|ax+b|\lt 2\) zapisujemy w postaci \(-2\lt ax+b\lt 2\) i wyznaczamy przedział rozwiązań.

A. \(-7\lt\frac{3}{4}x\lt-3\Rightarrow x\in\left(-\frac{28}{3},-4\right)\approx(-9{,}33;-4)\) — liczby całkowite: \(-9,-8,-7,-6,-5\), czyli \(5\).

B. \(-7\lt\frac{4}{3}x\lt-3\Rightarrow x\in\left(-\frac{21}{4},-\frac{9}{4}\right)=(-5{,}25;-2{,}25)\) — liczby całkowite: \(-5,-4,-3\), czyli 3 ✓

C. \(-6\lt\frac{3}{5}x\lt-2\Rightarrow x\in\left(-10,-\frac{10}{3}\right)\) — liczby całkowite: \(-9,\dots,-4\), czyli \(6\).

D. \(-5\lt\frac{4}{5}x\lt-1\Rightarrow x\in\left(-\frac{25}{4},-\frac{5}{4}\right)=(-6{,}25;-1{,}25)\) — liczby całkowite: \(-6,\dots,-2\), czyli \(5\).

Odpowiedź: B.

Krok 1. Pochodna ilorazu.

\(f'(x)=\frac{2x(x-1)-x^2\cdot 1}{(x-1)^2}=\frac{2x^2-2x-x^2}{(x-1)^2}=\frac{x^2-2x}{(x-1)^2}\) dla \(x\neq 1\)

Krok 2. Współczynnik kierunkowy stycznej w punkcie o odciętej \(6\).

\(f'(6)=\frac{36-12}{(6-1)^2}=\frac{24}{25}=0{,}96\)

Odpowiedź: \(0\), \(9\), \(6\)

Krok 1. Oznaczenia.

Niech \(|\angle ABC|=\alpha\), wtedy \(|\angle BAC|=2\alpha\) oraz \(|\angle ACB|=180^\circ-3\alpha\).

Oznaczmy \(a=|BC|\) (naprzeciw kąta \(A\)), \(b=|AC|\) (naprzeciw kąta \(B\)), \(c=|AB|\) (naprzeciw kąta \(C\)).

Teza przyjmuje postać \(a^2-b^2=bc\).

Krok 2. Twierdzenie sinusów.

Niech \(R\) będzie promieniem okręgu opisanego. Wtedy:

\(a=2R\sin 2\alpha\), \(\;b=2R\sin\alpha\), \(\;c=2R\sin(180^\circ-3\alpha)=2R\sin 3\alpha\)

Krok 3. Przekształcenie lewej strony.

\(a^2-b^2=4R^2\left(\sin^2 2\alpha-\sin^2\alpha\right)\)

Korzystamy z tożsamości \(\sin^2 X-\sin^2 Y=\sin(X+Y)\sin(X-Y)\):

\(\sin^2 2\alpha-\sin^2\alpha=\sin(3\alpha)\sin(\alpha)\)

Zatem:

\(a^2-b^2=4R^2\sin 3\alpha\sin\alpha=(2R\sin 3\alpha)(2R\sin\alpha)=c\cdot b\)

czyli \(|BC|^2-|AC|^2=|AB|\cdot|AC|\), co należało wykazać.

Uwaga: wykorzystaną tożsamość otrzymujemy z zależności \(\sin^2 X-\sin^2 Y=\frac{1-\cos 2X}{2}-\frac{1-\cos 2Y}{2}=\frac{\cos 2Y-\cos 2X}{2}=\sin(X+Y)\sin(X-Y)\). \(\blacksquare\)

Krok 1. Zamiana iloczynu na sumę.

Korzystamy ze wzoru \(\sin X\cos Y=\frac{1}{2}\left[\sin(X+Y)+\sin(X-Y)\right]\) dla \(X=\frac{\pi}{12}-\alpha\) oraz \(Y=\frac{\pi}{12}+\alpha\):

\(X+Y=\frac{\pi}{6}\), \(\;X-Y=-2\alpha\)

\(\sin\left(\frac{\pi}{12}-\alpha\right)\cos\left(\frac{\pi}{12}+\alpha\right)=\frac{1}{2}\left[\sin\frac{\pi}{6}+\sin(-2\alpha)\right]\)

Krok 2. Uproszczenie.

\(\sin\frac{\pi}{6}=\frac{1}{2}\) oraz \(\sin(-2\alpha)=-\sin 2\alpha\), więc wyrażenie jest równe:

\(\frac{1}{2}\left(\frac{1}{2}-\sin 2\alpha\right)=\frac{1}{4}-\frac{1}{2}\sin 2\alpha\)

Krok 3. Oszacowanie.

Dla \(\alpha\in\left(0,\frac{\pi}{2}\right)\) mamy \(2\alpha\in(0,\pi)\), a więc \(\sin 2\alpha\gt 0\), skąd \(\frac{1}{2}\sin 2\alpha\gt 0\) i

\(\frac{1}{4}-\frac{1}{2}\sin 2\alpha\lt\frac{1}{4}\)

co kończy dowód. \(\blacksquare\)

Krok 1. Przeniesienie wszystkiego na jedną stronę.

\(x^8+x^2-2x^4-2x+2=0\)

Krok 2. Grupowanie w kwadraty.

\(\left(x^8-2x^4+1\right)+\left(x^2-2x+1\right)=0\)

\(\left(x^4-1\right)^2+(x-1)^2=0\)

Krok 3. Wniosek.

Suma dwóch kwadratów liczb rzeczywistych jest równa zeru wtedy i tylko wtedy, gdy oba składniki są równe zeru:

\(x^4-1=0\;\wedge\;x-1=0\)

Z drugiego równania \(x=1\), co spełnia także pierwsze (\(1-1=0\)).

Zatem jedynym rozwiązaniem rzeczywistym równania jest \(x=1\). \(\blacksquare\)

Krok 1. Liczba wszystkich zdarzeń elementarnych.

Pierwsza cyfra nie może być zerem, więc wybieramy ją spośród \(\{1,3,5,7,9\}\) — \(5\) możliwości; każdą z pozostałych siedmiu cyfr wybieramy spośród sześciu:

\(|\Omega|=5\cdot 6^7=5\cdot 279\,936=1\,399\,680\)

Krok 2. Zdarzenia sprzyjające.

Suma ośmiu cyfr ze zbioru \(\{0,1,3,5,7,9\}\) ma być równa \(3\). Możliwe zestawy cyfr:

• jedna trójka i siedem zer,

• trzy jedynki i pięć zer.

Przypadek A (jedna trójka): pierwsza cyfra nie może być zerem, więc trójka musi stać na pierwszym miejscu. Otrzymujemy jedną liczbę: \(30\,000\,000\).

Przypadek B (trzy jedynki): pierwsza cyfra musi być jedynką, a pozostałe dwie jedynki rozmieszczamy wśród siedmiu dalszych pozycji:

\(\binom{7}{2}=21\)

\(|A|=1+21=22\)

Krok 3. Prawdopodobieństwo.

\(P(A)=\frac{22}{5\cdot 6^7}=\frac{22}{1\,399\,680}=\frac{11}{699\,840}\approx 0{,}0000157\)

Odpowiedź: \(P(A)=\frac{11}{699\,840}\)

Krok 1. Warunek ciągu arytmetycznego.

Ciąg jest rosnący, więc największym wyrazem jest \(aq^2\). Po zmniejszeniu go o \(4\) ciąg \(\left(a,\;aq,\;aq^2-4\right)\) ma być arytmetyczny:

\(2aq=a+\left(aq^2-4\right)\)

Krok 2. Przekształcenie do postaci iloczynowej.

\(aq^2-2aq+a=4\)

\(a\left(q^2-2q+1\right)=4\)

\(a(q-1)^2=4\)

Krok 3. Wykorzystanie nieparzystości.

Liczba \(a\) jest nieparzysta i całkowita oraz jest dzielnikiem liczby \(4\), zatem \(a=1\) (wartość \(a=-1\) odpada, bo wtedy \((q-1)^2=-4\lt 0\)).

Stąd:

\((q-1)^2=4\Rightarrow q-1=2\;\vee\;q-1=-2\Rightarrow q=3\;\vee\;q=-1\)

Dla \(q=-1\) ciąg \((1,-1,1)\) nie jest rosnący — odrzucamy. Pozostaje \(q=3\).

Sprawdzenie: ciąg \((1,3,9)\) — wszystkie wyrazy i iloraz nieparzyste, ciąg rosnący ✓; po zmniejszeniu \(9\) o \(4\) otrzymujemy \((1,3,5)\) — ciąg arytmetyczny ✓

Odpowiedź: \(aq=3\)

Krok 1. Promienie okręgów.

Z równania \(x^2+y^2=2^{11-n}\) odczytujemy \(r_n^2=2^{11-n}\).

Krok 2. Pole \(k\)-tego pierścienia.

\(P_k=\pi\left(r_{2k-1}^2-r_{2k}^2\right)=\pi\left(2^{11-(2k-1)}-2^{11-2k}\right)\)

\(=\pi\left(2^{12-2k}-2^{11-2k}\right)=\pi\cdot 2^{11-2k}(2-1)=\pi\cdot 2^{11-2k}\)

Dla \(k=1\): \(P_1=2^9\pi=512\pi\).

Krok 3. Ciąg pól.

Pola pierścieni tworzą ciąg geometryczny o pierwszym wyrazie \(512\pi\) i ilorazie:

\(q=\frac{\pi\cdot 2^{11-2(k+1)}}{\pi\cdot 2^{11-2k}}=2^{-2}=\frac{1}{4}\)

Krok 4. Suma szeregu.

Ponieważ \(|q|=\frac{1}{4}\lt 1\), szereg jest zbieżny:

\(S=\frac{512\pi}{1-\frac{1}{4}}=\frac{512\pi}{\frac{3}{4}}=\frac{2048\pi}{3}\)

Odpowiedź: \(S=\frac{2048\pi}{3}\)

Krok 1. Oznaczenia.

Niech \(|CD|=b\), wtedy \(|AB|=2b\); niech \(|AD|=h\) (wysokość trapezu).

Krok 2. Warunek opisania na okręgu.

W czworokącie opisanym na okręgu sumy przeciwległych boków są równe:

\(|AB|+|CD|=|BC|+|AD|\)

\(2b+b=10+h\)

\(h=3b-10\)

Krok 3. Twierdzenie Pitagorasa.

Rzut ramienia \(BC\) na podstawę \(AB\) ma długość \(|AB|-|CD|=b\), a drugą przyprostokątną jest wysokość \(h\):

\(10^2=h^2+b^2\)

Podstawiamy \(h=3b-10\):

\(100=(3b-10)^2+b^2\)

\(100=9b^2-60b+100+b^2\)

\(10b^2-60b=0\)

\(10b(b-6)=0\Rightarrow b=6\) (bo \(b\gt 0\))

\(h=3\cdot 6-10=8\)

Sprawdzenie: \(8^2+6^2=100\) ✓

Krok 4. Pole trapezu.

\(P=\frac{|AB|+|CD|}{2}\cdot h=\frac{12+6}{2}\cdot 8=9\cdot 8=72\)

Odpowiedź: \(P=72\)

Krok 1. Środek i promień okręgu wpisanego.

Bok \(AB\) leży na osi \(Oy\), a punkt styczności \(P=(0,10)\) jest rzutem środka \(I\) na tę oś. Promień \(IP\) jest prostopadły do \(Oy\), więc:

\(I=(r,10)\), gdzie \(r\) jest promieniem okręgu.

Z warunku \(|IQ|=r\):

\((r-8)^2+(10-6)^2=r^2\)

\(r^2-16r+64+16=r^2\)

\(16r=80\Rightarrow r=5\), czyli \(I=(5,10)\)

Sprawdzenie: \(|IR|=\sqrt{(9-5)^2+(13-10)^2}=\sqrt{16+9}=5\) ✓

Krok 2. Równania prostych zawierających boki.

Prosta \(BC\) jest styczna w \(Q=(8,6)\), więc jest prostopadła do \(\vec{IQ}=[3,-4]\):

\(3(x-8)-4(y-6)=0\Rightarrow 3x-4y=0\)

Prosta \(CA\) jest styczna w \(R=(9,13)\), a \(\vec{IR}=[4,3]\):

\(4(x-9)+3(y-13)=0\Rightarrow 4x+3y=75\)

Krok 3. Wierzchołki.

\(B\) — przecięcie prostej \(BC\) z osią \(Oy\) (\(x=0\)): \(-4y=0\Rightarrow y=0\), czyli \(B=(0,0)\).

\(A\) — przecięcie prostej \(CA\) z osią \(Oy\): \(3y=75\Rightarrow y=25\), czyli \(A=(0,25)\).

\(C\) — przecięcie prostych \(BC\) i \(CA\):

\(3x=4y\Rightarrow x=\frac{4y}{3}\); \(\;4\cdot\frac{4y}{3}+3y=75\Rightarrow\frac{25y}{3}=75\Rightarrow y=9\), \(x=12\)

\(C=(12,9)\)

Sprawdzenie kąta prostego: \(\vec{CB}=[-12,-9]\), \(\vec{CA}=[-12,16]\), iloczyn skalarny \(144-144=0\) ✓

Odpowiedź: \(A=(0,25)\), \(B=(0,0)\), \(C=(12,9)\)

Krok 1. Warunek dwóch różnych rozwiązań.

\(\Delta=9m^2-4(m+1)(2m-1)=9m^2-4\left(2m^2+m-1\right)=m^2-4m+4=(m-2)^2\)

\(\Delta\gt 0\iff m\neq 2\)

Krok 2. Warunek \(x_1x_2\neq 0\).

\(x_1x_2=(m+1)(2m-1)\neq 0\Rightarrow m\neq-1\;\wedge\;m\neq\frac{1}{2}\)

Krok 3. Przekształcenie warunku na sumę odwrotności.

\(\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}=\frac{x_1+x_2}{x_1x_2}=\frac{3m}{(m+1)(2m-1)}\)

Część A: \(\frac{3m}{(m+1)(2m-1)}\gt 0\).

Mianownik jest dodatni dla \(m\lt-1\) lub \(m\gt\frac{1}{2}\), ujemny dla \(-1\lt m\lt\frac{1}{2}\). Licznik ma znak liczby \(m\). Iloraz jest dodatni, gdy:

\(m\in(-1,0)\cup\left(\frac{1}{2},+\infty\right)\)

Część B: \(\frac{3m}{(m+1)(2m-1)}\le\frac{2}{3}\).

\(\frac{3m}{(m+1)(2m-1)}-\frac{2}{3}\le 0\)

\(\frac{9m-2(m+1)(2m-1)}{3(m+1)(2m-1)}\le 0\)

\(9m-2\left(2m^2+m-1\right)=-4m^2+7m+2=-(m-2)(4m+1)\)

Nierówność jest równoważna:

\(\frac{(m-2)(4m+1)}{(m+1)(2m-1)}\ge 0\)

Punkty krytyczne: \(-1\), \(-\frac{1}{4}\), \(\frac{1}{2}\), \(2\). Analiza znaków daje:

\(m\in(-\infty,-1)\cup\left\langle-\frac{1}{4},\frac{1}{2}\right)\cup\langle 2,+\infty)\)

Krok 4. Część wspólna wszystkich warunków.

\(\left[(-1,0)\cup\left(\frac{1}{2},+\infty\right)\right]\cap\left[(-\infty,-1)\cup\left\langle-\frac{1}{4},\frac{1}{2}\right)\cup\langle 2,+\infty)\right]=\left\langle-\frac{1}{4},0\right)\cup\langle 2,+\infty)\)

Z warunku \(m\neq 2\) usuwamy liczbę \(2\).

Odpowiedź: \(m\in\left\langle-\frac{1}{4},0\right)\cup(2,+\infty)\)

a) Objętość drewna.

Szkielet składa się z \(12\) listewek o kwadratowym przekroju o boku \(x\):

• \(4\) listewki pionowe o długości \(6-2x\),

• \(4\) listewki poziome równoległe do płaszczyzny rysunku o długości \(10-3x\),

• \(4\) listewki poziome prostopadłe do płaszczyzny rysunku o długości \(6-x\).

\(V=4x^2(6-2x)+4x^2(10-3x)+4x^2(6-x)\)

\(V=4x^2\left[(6-2x)+(10-3x)+(6-x)\right]=4x^2(22-6x)\)

\(V(x)=8x^2(11-3x)=88x^2-24x^3\)

b) Dziedzina.

Z warunków geometrycznych: \(x\gt 0\), \(\;6\ge 2x\) oraz \(10-2x\ge 2x\).

Pierwszy daje \(x\le 3\), drugi \(x\le\frac{5}{2}\).

Dziedzina: \(x\in\left(0,\frac{5}{2}\right\rangle\)

c) Największa objętość.

\(V'(x)=176x-72x^2=8x(22-9x)\)

W dziedzinie \(x\gt 0\), więc o znaku pochodnej decyduje czynnik \(22-9x\):

\(V'(x)=0\iff x=\frac{22}{9}\approx 2{,}44\), a \(\frac{22}{9}\lt\frac{5}{2}\) ✓

\(V'(x)\gt 0\) dla \(x\in\left(0,\frac{22}{9}\right)\), \(\;V'(x)\lt 0\) dla \(x\in\left(\frac{22}{9},\frac{5}{2}\right\rangle\)

Funkcja rośnie, a następnie maleje, więc w punkcie \(x=\frac{22}{9}\) osiąga wartość największą.

\(V\left(\frac{22}{9}\right)=8\cdot\left(\frac{22}{9}\right)^2\left(11-3\cdot\frac{22}{9}\right)=8\cdot\frac{484}{81}\cdot\left(11-\frac{22}{3}\right)\)

\(=8\cdot\frac{484}{81}\cdot\frac{11}{3}=\frac{42\,592}{243}\approx 175{,}3\)

Odpowiedź: a) \(V(x)=8x^2(11-3x)\); b) \(x\in\left(0,\frac{5}{2}\right\rangle\); c) \(x=\frac{22}{9}\), \(V_{\max}=\frac{42\,592}{243}=175\frac{67}{243}\)