Krok 1. Środek i promień okręgu wpisanego.
Bok \(AB\) leży na osi \(Oy\), a punkt styczności \(P=(0,10)\) jest rzutem środka \(I\) na tę oś. Promień \(IP\) jest prostopadły do \(Oy\), więc:
\(I=(r,10)\), gdzie \(r\) jest promieniem okręgu.
Z warunku \(|IQ|=r\):
\((r-8)^2+(10-6)^2=r^2\)
\(r^2-16r+64+16=r^2\)
\(16r=80\Rightarrow r=5\), czyli \(I=(5,10)\)
Sprawdzenie: \(|IR|=\sqrt{(9-5)^2+(13-10)^2}=\sqrt{16+9}=5\) ✓
Krok 2. Równania prostych zawierających boki.
Prosta \(BC\) jest styczna w \(Q=(8,6)\), więc jest prostopadła do \(\vec{IQ}=[3,-4]\):
\(3(x-8)-4(y-6)=0\Rightarrow 3x-4y=0\)
Prosta \(CA\) jest styczna w \(R=(9,13)\), a \(\vec{IR}=[4,3]\):
\(4(x-9)+3(y-13)=0\Rightarrow 4x+3y=75\)
Krok 3. Wierzchołki.
\(B\) — przecięcie prostej \(BC\) z osią \(Oy\) (\(x=0\)): \(-4y=0\Rightarrow y=0\), czyli \(B=(0,0)\).
\(A\) — przecięcie prostej \(CA\) z osią \(Oy\): \(3y=75\Rightarrow y=25\), czyli \(A=(0,25)\).
\(C\) — przecięcie prostych \(BC\) i \(CA\):
\(3x=4y\Rightarrow x=\frac{4y}{3}\); \(\;4\cdot\frac{4y}{3}+3y=75\Rightarrow\frac{25y}{3}=75\Rightarrow y=9\), \(x=12\)
\(C=(12,9)\)
Sprawdzenie kąta prostego: \(\vec{CB}=[-12,-9]\), \(\vec{CA}=[-12,16]\), iloczyn skalarny \(144-144=0\) ✓
Odpowiedź: \(A=(0,25)\), \(B=(0,0)\), \(C=(12,9)\)