Krok 1. Warunek dwóch różnych rozwiązań.
\(\Delta=9m^2-4(m+1)(2m-1)=9m^2-4\left(2m^2+m-1\right)=m^2-4m+4=(m-2)^2\)
\(\Delta\gt 0\iff m\neq 2\)
Krok 2. Warunek \(x_1x_2\neq 0\).
\(x_1x_2=(m+1)(2m-1)\neq 0\Rightarrow m\neq-1\;\wedge\;m\neq\frac{1}{2}\)
Krok 3. Przekształcenie warunku na sumę odwrotności.
\(\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}=\frac{x_1+x_2}{x_1x_2}=\frac{3m}{(m+1)(2m-1)}\)
Część A: \(\frac{3m}{(m+1)(2m-1)}\gt 0\).
Mianownik jest dodatni dla \(m\lt-1\) lub \(m\gt\frac{1}{2}\), ujemny dla \(-1\lt m\lt\frac{1}{2}\). Licznik ma znak liczby \(m\). Iloraz jest dodatni, gdy:
\(m\in(-1,0)\cup\left(\frac{1}{2},+\infty\right)\)
Część B: \(\frac{3m}{(m+1)(2m-1)}\le\frac{2}{3}\).
\(\frac{3m}{(m+1)(2m-1)}-\frac{2}{3}\le 0\)
\(\frac{9m-2(m+1)(2m-1)}{3(m+1)(2m-1)}\le 0\)
\(9m-2\left(2m^2+m-1\right)=-4m^2+7m+2=-(m-2)(4m+1)\)
Nierówność jest równoważna:
\(\frac{(m-2)(4m+1)}{(m+1)(2m-1)}\ge 0\)
Punkty krytyczne: \(-1\), \(-\frac{1}{4}\), \(\frac{1}{2}\), \(2\). Analiza znaków daje:
\(m\in(-\infty,-1)\cup\left\langle-\frac{1}{4},\frac{1}{2}\right)\cup\langle 2,+\infty)\)
Krok 4. Część wspólna wszystkich warunków.
\(\left[(-1,0)\cup\left(\frac{1}{2},+\infty\right)\right]\cap\left[(-\infty,-1)\cup\left\langle-\frac{1}{4},\frac{1}{2}\right)\cup\langle 2,+\infty)\right]=\left\langle-\frac{1}{4},0\right)\cup\langle 2,+\infty)\)
Z warunku \(m\neq 2\) usuwamy liczbę \(2\).
Odpowiedź: \(m\in\left\langle-\frac{1}{4},0\right)\cup(2,+\infty)\)