Zadanie 15 Matura z matematyki (poziom rozszerzony) - Czerwiec 2018 — zadania z rozwiązaniami

a) Objętość drewna.

Szkielet składa się z \(12\) listewek o kwadratowym przekroju o boku \(x\):

• \(4\) listewki pionowe o długości \(6-2x\),

• \(4\) listewki poziome równoległe do płaszczyzny rysunku o długości \(10-3x\),

• \(4\) listewki poziome prostopadłe do płaszczyzny rysunku o długości \(6-x\).

\(V=4x^2(6-2x)+4x^2(10-3x)+4x^2(6-x)\)

\(V=4x^2\left[(6-2x)+(10-3x)+(6-x)\right]=4x^2(22-6x)\)

\(V(x)=8x^2(11-3x)=88x^2-24x^3\)

b) Dziedzina.

Z warunków geometrycznych: \(x\gt 0\), \(\;6\ge 2x\) oraz \(10-2x\ge 2x\).

Pierwszy daje \(x\le 3\), drugi \(x\le\frac{5}{2}\).

Dziedzina: \(x\in\left(0,\frac{5}{2}\right\rangle\)

c) Największa objętość.

\(V'(x)=176x-72x^2=8x(22-9x)\)

W dziedzinie \(x\gt 0\), więc o znaku pochodnej decyduje czynnik \(22-9x\):

\(V'(x)=0\iff x=\frac{22}{9}\approx 2{,}44\), a \(\frac{22}{9}\lt\frac{5}{2}\) ✓

\(V'(x)\gt 0\) dla \(x\in\left(0,\frac{22}{9}\right)\), \(\;V'(x)\lt 0\) dla \(x\in\left(\frac{22}{9},\frac{5}{2}\right\rangle\)

Funkcja rośnie, a następnie maleje, więc w punkcie \(x=\frac{22}{9}\) osiąga wartość największą.

\(V\left(\frac{22}{9}\right)=8\cdot\left(\frac{22}{9}\right)^2\left(11-3\cdot\frac{22}{9}\right)=8\cdot\frac{484}{81}\cdot\left(11-\frac{22}{3}\right)\)

\(=8\cdot\frac{484}{81}\cdot\frac{11}{3}=\frac{42\,592}{243}\approx 175{,}3\)

Odpowiedź: a) \(V(x)=8x^2(11-3x)\); b) \(x\in\left(0,\frac{5}{2}\right\rangle\); c) \(x=\frac{22}{9}\), \(V_{\max}=\frac{42\,592}{243}=175\frac{67}{243}\)