Zadanie 11 Matura z matematyki (poziom rozszerzony) - Czerwiec 2018 — zadania z rozwiązaniami

Krok 1. Promienie okręgów.

Z równania \(x^2+y^2=2^{11-n}\) odczytujemy \(r_n^2=2^{11-n}\).

Krok 2. Pole \(k\)-tego pierścienia.

\(P_k=\pi\left(r_{2k-1}^2-r_{2k}^2\right)=\pi\left(2^{11-(2k-1)}-2^{11-2k}\right)\)

\(=\pi\left(2^{12-2k}-2^{11-2k}\right)=\pi\cdot 2^{11-2k}(2-1)=\pi\cdot 2^{11-2k}\)

Dla \(k=1\): \(P_1=2^9\pi=512\pi\).

Krok 3. Ciąg pól.

Pola pierścieni tworzą ciąg geometryczny o pierwszym wyrazie \(512\pi\) i ilorazie:

\(q=\frac{\pi\cdot 2^{11-2(k+1)}}{\pi\cdot 2^{11-2k}}=2^{-2}=\frac{1}{4}\)

Krok 4. Suma szeregu.

Ponieważ \(|q|=\frac{1}{4}\lt 1\), szereg jest zbieżny:

\(S=\frac{512\pi}{1-\frac{1}{4}}=\frac{512\pi}{\frac{3}{4}}=\frac{2048\pi}{3}\)

Odpowiedź: \(S=\frac{2048\pi}{3}\)