Zadanie 12 Matura z matematyki (poziom rozszerzony) - Czerwiec 2018 — zadania z rozwiązaniami

Krok 1. Oznaczenia.

Niech \(|CD|=b\), wtedy \(|AB|=2b\); niech \(|AD|=h\) (wysokość trapezu).

Krok 2. Warunek opisania na okręgu.

W czworokącie opisanym na okręgu sumy przeciwległych boków są równe:

\(|AB|+|CD|=|BC|+|AD|\)

\(2b+b=10+h\)

\(h=3b-10\)

Krok 3. Twierdzenie Pitagorasa.

Rzut ramienia \(BC\) na podstawę \(AB\) ma długość \(|AB|-|CD|=b\), a drugą przyprostokątną jest wysokość \(h\):

\(10^2=h^2+b^2\)

Podstawiamy \(h=3b-10\):

\(100=(3b-10)^2+b^2\)

\(100=9b^2-60b+100+b^2\)

\(10b^2-60b=0\)

\(10b(b-6)=0\Rightarrow b=6\) (bo \(b\gt 0\))

\(h=3\cdot 6-10=8\)

Sprawdzenie: \(8^2+6^2=100\) ✓

Krok 4. Pole trapezu.

\(P=\frac{|AB|+|CD|}{2}\cdot h=\frac{12+6}{2}\cdot 8=9\cdot 8=72\)

Odpowiedź: \(P=72\)