Zadanie 10 Matura z matematyki (poziom rozszerzony) - Czerwiec 2018 — zadania z rozwiązaniami

Krok 1. Warunek ciągu arytmetycznego.

Ciąg jest rosnący, więc największym wyrazem jest \(aq^2\). Po zmniejszeniu go o \(4\) ciąg \(\left(a,\;aq,\;aq^2-4\right)\) ma być arytmetyczny:

\(2aq=a+\left(aq^2-4\right)\)

Krok 2. Przekształcenie do postaci iloczynowej.

\(aq^2-2aq+a=4\)

\(a\left(q^2-2q+1\right)=4\)

\(a(q-1)^2=4\)

Krok 3. Wykorzystanie nieparzystości.

Liczba \(a\) jest nieparzysta i całkowita oraz jest dzielnikiem liczby \(4\), zatem \(a=1\) (wartość \(a=-1\) odpada, bo wtedy \((q-1)^2=-4\lt 0\)).

Stąd:

\((q-1)^2=4\Rightarrow q-1=2\;\vee\;q-1=-2\Rightarrow q=3\;\vee\;q=-1\)

Dla \(q=-1\) ciąg \((1,-1,1)\) nie jest rosnący — odrzucamy. Pozostaje \(q=3\).

Sprawdzenie: ciąg \((1,3,9)\) — wszystkie wyrazy i iloraz nieparzyste, ciąg rosnący ✓; po zmniejszeniu \(9\) o \(4\) otrzymujemy \((1,3,5)\) — ciąg arytmetyczny ✓

Odpowiedź: \(aq=3\)