Zadanie 9 Matura z matematyki (poziom rozszerzony) - Czerwiec 2018 — zadania z rozwiązaniami

Krok 1. Liczba wszystkich zdarzeń elementarnych.

Pierwsza cyfra nie może być zerem, więc wybieramy ją spośród \(\{1,3,5,7,9\}\) — \(5\) możliwości; każdą z pozostałych siedmiu cyfr wybieramy spośród sześciu:

\(|\Omega|=5\cdot 6^7=5\cdot 279\,936=1\,399\,680\)

Krok 2. Zdarzenia sprzyjające.

Suma ośmiu cyfr ze zbioru \(\{0,1,3,5,7,9\}\) ma być równa \(3\). Możliwe zestawy cyfr:

• jedna trójka i siedem zer,

• trzy jedynki i pięć zer.

Przypadek A (jedna trójka): pierwsza cyfra nie może być zerem, więc trójka musi stać na pierwszym miejscu. Otrzymujemy jedną liczbę: \(30\,000\,000\).

Przypadek B (trzy jedynki): pierwsza cyfra musi być jedynką, a pozostałe dwie jedynki rozmieszczamy wśród siedmiu dalszych pozycji:

\(\binom{7}{2}=21\)

\(|A|=1+21=22\)

Krok 3. Prawdopodobieństwo.

\(P(A)=\frac{22}{5\cdot 6^7}=\frac{22}{1\,399\,680}=\frac{11}{699\,840}\approx 0{,}0000157\)

Odpowiedź: \(P(A)=\frac{11}{699\,840}\)