Zadanie 8 Matura z matematyki (poziom rozszerzony) - Czerwiec 2018 — zadania z rozwiązaniami

Krok 1. Przeniesienie wszystkiego na jedną stronę.

\(x^8+x^2-2x^4-2x+2=0\)

Krok 2. Grupowanie w kwadraty.

\(\left(x^8-2x^4+1\right)+\left(x^2-2x+1\right)=0\)

\(\left(x^4-1\right)^2+(x-1)^2=0\)

Krok 3. Wniosek.

Suma dwóch kwadratów liczb rzeczywistych jest równa zeru wtedy i tylko wtedy, gdy oba składniki są równe zeru:

\(x^4-1=0\;\wedge\;x-1=0\)

Z drugiego równania \(x=1\), co spełnia także pierwsze (\(1-1=0\)).

Zatem jedynym rozwiązaniem rzeczywistym równania jest \(x=1\). \(\blacksquare\)