Pojęcia równania i nierówności, rozwiązanie i zbiór rozwiązań, równania równoważne, proporcje, równania kwadratowe i wymierne.
14 definicjiRównanie nie zmienia zbioru rozwiązań, gdy do obu stron dodamy (lub od obu odejmiemy) tę samą liczbę albo pomnożymy (podzielimy) obie strony przez tę samą liczbę różną od zera.
Przykład: $2(x-3)=x+5 \Rightarrow 2x-6=x+5 \Rightarrow x=11$. Sprawdzenie: $2\cdot8=16$ i $11+5=16$. ✔
Ten sam mechanizm stosujemy do wzorów. Z $P=a\cdot b$ otrzymujemy $b=\frac{P}{a}$ (przy $a\ne0$).
Przenosząc wyraz na drugą stronę, zmieniamy jego znak. Mnożąc równanie przez nawias, mnóż każdy składnik: $3(2x-5)=6x-15$, a nie $6x-5$.
To zapis, w którym obok liczb występują litery oznaczające liczby nieznane. Litera zastępuje wartość, której jeszcze nie znamy albo która może się zmieniać.
Nawias jest istotny — $2(x+5)$ i $2x+5$ to różne wyrażenia.
Podstawiamy liczby w miejsce liter. Dla $a=2$, $b=5$: $3a+2b=6+10=16$.
Łączymy wyrazy z tą samą literą:
$$4x+3-2x+5=2x+8$$
To równość dwóch wyrażeń z niewiadomą. Rozwiązać równanie to znaleźć wartość niewiadomej, dla której równość jest prawdziwa.
Wolno: dodać lub odjąć tę samą liczbę do obu stron, pomnożyć lub podzielić obie strony przez tę samą liczbę różną od zera.
$$3x-5=16 \;\Rightarrow\; 3x=21 \;\Rightarrow\; x=7$$
Zawsze sprawdzaj wynik przez podstawienie do pierwotnego równania — to wychwytuje błędy rachunkowe. Przenosząc wyraz na drugą stronę, pamiętaj o zmianie znaku.
Rozwiązać równanie to znaleźć wszystkie liczby, które po wstawieniu w miejsce niewiadomej dają zdanie prawdziwe.
Równanie można zmieniać, o ile to samo robimy z obiema stronami:
$$5x-3=2x+9$$
$$5x-2x=9+3 \quad\Rightarrow\quad 3x=12 \quad\Rightarrow\quad x=4$$
Sprawdzenie: lewa strona $5\cdot4-3=17$, prawa $2\cdot4+9=17$. Zgadza się.
Przy przenoszeniu przez znak równości zmieniamy znak składnika. Minus przed nawiasem dotyczy całego nawiasu: $7y-2(y+3)=7y-2y-6$, a nie $7y-2y+6$. Sprawdzenie wyniku kosztuje kilkanaście sekund i wyłapuje większość pomyłek rachunkowych.
Równanie to równość zawierająca niewiadomą, na przykład $x+3=7$.
Rozwiązać równanie to znaleźć wartość niewiadomej spełniającą równość. Dla $x+3=7$ jest to $x=4$.
Wykonujemy te same działania po obu stronach: od $x+3=7$ odejmujemy $3$ i otrzymujemy $x=4$.
Podstawiamy wynik: $4+3=7$ — równość jest prawdziwa.
Niewiadomą oznaczamy literą, np. $x$, i zapisujemy treść zadania równaniem.
„Liczba powiększona o $5$ daje $12$": $x+5=12$, więc $x=7$.
1. Wprowadź niewiadomą. 2. Ułóż równanie. 3. Rozwiąż je. 4. Sprawdź i zapisz odpowiedź.
Podstawiamy wynik do treści zadania, aby upewnić się, że pasuje.
Dwa równania są równoważne, gdy mają dokładnie ten sam zbiór rozwiązań.
Równanie pozostaje równoważne, gdy do obu stron dodamy tę samą liczbę lub obie strony pomnożymy przez tę samą liczbę różną od zera.
$x+3=7$ jest równoważne równaniu $x=4$.
Pomnożenie obu stron przez zero niszczy równoważność.
Nie ma rozwiązań, bo prowadzi do fałszywej równości, np. $0\cdot x=5$.
Spełnia je każda liczba, bo sprowadza się do prawdziwej równości, np. $0\cdot x=0$ lub $2x=2x$.
$x+1=x+2$ jest sprzeczne — po redukcji otrzymujemy fałsz $1=2$.
Po redukcji: fałszywa równość oznacza równanie sprzeczne, prawdziwa — tożsamościowe.
Szukaną wielkość oznaczamy literą, zapisujemy warunki zadania równaniem, rozwiązujemy je i sprawdzamy wynik.
„Liczba powiększona o swoją połowę daje $9$": $x+\frac{1}{2}x=9$, czyli $\frac{3}{2}x=9$, więc $x=6$.
1. Wprowadź niewiadomą. 2. Ułóż równanie z treści. 3. Rozwiąż. 4. Sprawdź i zapisz odpowiedź.
Odpowiedź musi mieć sens — liczba osób czy przedmiotów jest liczbą naturalną.
Wartość bezwzględna to odległość liczby od zera na osi liczbowej — nigdy nie jest ujemna:
$$|a|=\begin{cases} a & \text{dla } a\ge 0 \\ -a & \text{dla } a\lt 0 \end{cases}$$
To najważniejsze narzędzie w tym dziale:
$$|a-b| = \text{odległość między liczbami } a \text{ i } b$$
Dlatego $|x-2|$ czytamy jako „odległość liczby $x$ od liczby $2$”, a samo $|x|$ jako „odległość $x$ od zera”.
Równanie $|W(x)|=a$ dla $a>0$ rozbijamy na dwa przypadki:
$$W(x)=a \quad \text{lub} \quad W(x)=-a$$
Przykład: $|x-3|=2$ daje $x-3=2$ lub $x-3=-2$, czyli $x=5$ lub $x=1$. Geometrycznie: szukamy liczb odległych o $2$ od liczby $3$.
Gdy $a\lt 0$, równanie nie ma rozwiązań — odległość nie może być ujemna. Gdy $a=0$, rozwiązanie jest jedno.
$$|x|\lt a \iff -a\lt x\lt a \qquad (a>0)$$
Rozwiązaniem jest przedział — liczby blisko zera. Przykład: $|x|\lt 4$ daje $x\in(-4,\,4)$.
$$|x|\ge a \iff x\le -a \ \text{ lub } \ x\ge a$$
Rozwiązaniem jest suma dwóch przedziałów — liczby daleko od zera. Przykład: $|x|\ge3$ daje $x\in(-\infty,\,-3\rangle\cup\langle 3,\,+\infty)$.
$$|x-p|\lt r \iff x\in(p-r,\ p+r)$$
To przedział o środku $p$ i promieniu $r$ — bardzo wygodny sposób zapisu otoczenia punktu.
Najczęstszy błąd to podanie tylko jednego rozwiązania równania — pamiętaj o obu przypadkach. Drugi to pomylenie kierunku nierówności: „mniejsze” daje jeden przedział w środku, „większe” daje dwa przedziały po bokach. Zawsze warto naszkicować oś liczbową.
$|x|$ to odległość $x$ od zera na osi liczbowej.
$|x|=a$ (dla $a\ge0$) ma rozwiązania $x=a$ lub $x=-a$.
$|x|\lt a$ oznacza $-a\lt x\lt a$; $|x|>a$ oznacza $x\lt -a$ lub $x>a$.
$|x-c|$ to odległość $x$ od punktu $c$.
$|ax+b|=c$ (dla $c\ge0$) rozbijamy na $ax+b=c$ oraz $ax+b=-c$.
$|ax+b|\lt c$ oznacza $-c\lt ax+b\lt c$; $|ax+b|>c$ daje alternatywę.
$|x-a|$ to odległość $x$ od $a$ na osi liczbowej.
Równania z kilkoma modułami rozwiązujemy przedziałami.
Przekształcamy jak równania, ale przy mnożeniu przez liczbę ujemną odwracamy znak.
Zapisujemy jako przedział, np. $x>3$ to $(3,+\infty)$.
Rozwiązaniem jest część wspólna zbiorów.
Kółko otwarte dla nierówności ostrej, domknięte dla nieostrej.
Wykonując te same działania po obu stronach, otrzymujemy równanie równoważne o tym samym zbiorze rozwiązań.
Wyraz przenosimy na drugą stronę, zmieniając jego znak.
$2x+3=11\Rightarrow 2x=8\Rightarrow x=4$.
Wynik podstawiamy do równania pierwotnego.
$|x|\lt a\iff -a\lt x\lt a$ (dla $a>0$).
$|x|>a\iff x\lt -a \lor x>a$.
$|x-c|\lt a$ oznacza $x\in(c-a,c+a)$.
$|x-c|$ to odległość $x$ od $c$ na osi liczbowej.
Załóż bezpłatne konto i otwórz dostęp do pełnego śledzenia postępów, planów nauki i quizów. Arkusze i zadania podstawowe są dostępne bez rejestracji. Już ponad 5 000 uczniów uczy się z Matematix.